复数诞生的故事
负数的发展历史
负数的发展历史一、负数的起源与发展负数是数学中的一个重要概念，它代表着小于零的数。
负数的发展历史可以追溯到古代文明时期。
在古希腊、古印度和古中国等地的数学研究中，人们开始意识到存在着一种数，它比零还要小，但是并没有赋予其明确的定义和符号表示。
直到16世纪，意大利数学家乌尔萨利斯·卢卡·帕西奥利（Ursalis Luca Pacioli）首次提出了负数的概念，并用“-”符号表示。
这一概念的提出引起了广泛的讨论和争议，但随着时间的推移，负数逐渐被接受并成为数学中不可或者缺的一部份。
二、负数的数学性质负数在数学中具有独特的性质和运算规则。
以下是负数的一些基本性质：1. 负数与正数相加等于零：例如，-3 + 3 = 0。
这个性质被称为负数的相反数。
2. 负数与负数相加等于更小的负数：例如，-5 + (-3) = -8。
这个性质可以通过在数轴上表示负数来理解，负数的绝对值越大，表示的数值越小。
3. 负数与正数相乘得到负数：例如，-2 × 4 = -8。
这个性质可以通过考虑数的正负性来理解，正数乘以正数为正数，负数乘以负数为正数，而正数乘以负数或者负数乘以正数为负数。
4. 负数与零相乘等于零：例如，-4 × 0 = 0。
这个性质可以通过考虑乘法的定义来理解，任何数与零相乘都等于零。
三、负数在实际生活中的应用负数在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 温度计：温度的正负用于表示高温和低温。
例如，-10°C表示比冰点更低的温度。
2. 账户余额：银行账户中的负数表示欠款或者透支的金额。
3. 海拔高度：海拔高度可以是正数（山顶）或者负数（海平面以下）。
4. 股票市场：股票价格的涨跌可以用正数和负数表示。
5. 借贷关系：负数可以表示借贷关系中的债务。
四、负数在数学领域的应用负数在数学领域中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 代数运算：负数在代数运算中起着重要的作用，例如，在解方程时，负数可以表示未知数的负值。
复数民间故事简短
复数民间故事简短
相传在很早以前，南阳城西牛家庄里有个聪明．忠厚的小伙子，父母早亡，只好跟着哥哥嫂子度日，嫂子马氏为人狠毒，经常虐待他，逼他干很多的活一天，天上的织女和诸仙女一起下凡游戏，在河里洗澡，牛郎在老牛的帮助下认识了织女，二人互生情意。
后来织女便偷偷下凡，来到人间，做了牛郎的妻子。
牛郎和织女结婚后,一家人生活得很幸福。
但是好景不长，王母娘娘强行把织女带回天上，恩爱夫妻被拆散。
牛郎拉着自己的儿女，一起腾云驾雾上天去追织女，眼见就要追到了，岂知王母娘娘拔下头上的金簪一挥，一道天河就出现了。
牛郎和织女被隔在两岸，只能相对哭泣流泪。
他们的忠贞爱情感动了喜鹊，千万只喜鹊飞来，搭成鹊桥，让牛郎织女走上鹊桥相会，王母娘娘对此也无奈，只好允许两人在每年七月七日于鹊桥相会。
4复数-简单难度-讲义 (2)
复数引入复数的引入（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：5与5（二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）解读一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i =-=，2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（plex number ），复数通常用小写字母z )b ∈R z 的实部，z 的虚部．教师内容:注意虚部是一个实数．如34i +的实部为3，虚部为4；34i -的虚部为4-．3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数． 如34i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数． 可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． 常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别． 5．复数相等与比较大小：⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小． 教师内容:注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根2b x a =-互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）二、复数的几何意义教师内容:如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考： 实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面． 用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系．这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，|i |a b +=三、复数的运算教师内容:复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3．定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．教师内容:“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走． 共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．教师内容:讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解． 例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ． ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z 称为复数z （0z ≠）的倒数． 教师内容:复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒如(34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．典例精讲一．选择题（共20小题）1．（2017秋•嘉兴期末）若复数z=2﹣i ，i 为虚数单位，则（1+z ）（1﹣z ）=（ ） A ．2+4iB ．﹣2+4iC ．﹣2﹣4iD ．﹣4【分析】把z=2﹣i 代入（1+z ）（1﹣z ），再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=2﹣i ，∴（1+z ）（1﹣z ）=（3﹣i ）（﹣1+i ）=﹣2+4i ． 故选：B ．2．（2017秋•海南期末）设复数z=1+2i （i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 2对应的点的坐标为（ ） A ．（﹣3，4）B ．（5，4）C ．（﹣3，2）D ．（3，4）【分析】把z 代入z 2，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=1+2i ，∴z 2=（1+2i ）2=﹣3+4i ， 则复数z 2对应的点的坐标为（﹣3，4）， 故选：A ．3．（2018春•海珠区期末）若复数Z 满足（1+i ）z=1﹣2i ，则复数Z 的虚部为（ ）A ．32B ．−32C ．32iD ．−32i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i ）z=1﹣2i ，得z=1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴复数z 的虚部为﹣32．故选：B ．4．（2017秋•赣州期末）复数11+i+(1−i)3（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．32iB ．32C ．−52iD ．−52【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵11+i +(1−i)3=1−i (1+i)(1−i)+(1−i)2(1−i)=12−12i −2i(1−i)=12−12i −2−2i =−32−52i ． ∴数11+i +(1−i)3的虚部是﹣52．故选：D ．5．（2017秋•白山期末）已知复数z 的实部为﹣1，虚部为2，则5iz对应的点位于（ ） A ．第四象限B ．第一象限C ．第三象限D ．第二象限【分析】由已知求得z ，代入5iz，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意可知，z=﹣1+2i ，则z =−1−2i ，∴5i z =5i −1−2i =5i(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)=−2−i ， 则5iz对应的点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限． 故选：C ．6．（2017秋•漳州期末）在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A （2，1）和B （0，1），则z 1z 2=（ ）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由已知得z 1=2+i ，z 2=i ，∴z 1z 2=2+i i =i(2+i)i 2=−1+2i −1=1﹣2i ． 故选：C ．7．（2017秋•城阳区期末）z 为虚数，i 为虚数单位，若z(1+i)=2i ，则z =（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由z （1+i ）=2i ，得z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，则z =1−i ． 故选：B ．8．（2017秋•沧州期末）已知（a +b i ）（1﹣2i ）=5（ i 为虚数单位，a ，b ∈R ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、复数相等的定义即可得出． 【解答】解：（a +bi ）•（1﹣2i ）=5（i 为虚数单位，）， ∴（a +bi ）•（1﹣2i ）（1+2i ）=5（1+2i ）， ∴a +bi=1+2i ，可得a=1，b=2． ∴a +b=3． 故选：D ．9．（2018春•张家口期末）若复数z 满足z （2﹣i ）=18+11i ，则|z −4i|=（ ） A ．√13B ．√15C ．13D ．15【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由z （2﹣i ）=18+11i ，得z=18+11i 2−i =(18+11i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+8i ，∴z −4i =5−12i ，则|z −4i|=√52+(−12)2=13． 故选：C ．10．（2017秋•岳阳县期末）复数2i−1的共轭复数是（ ）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1﹣iD ．1+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵2i−1=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ， ∴复数2i−1的共轭复数是﹣1+i ． 故选：A ．11．（2017秋•池州期末）若复数z =i2−i ，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再求出z 对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，∴z=−15−25i．∴z对应的点的坐标为（−15，−25），在第三象限．故选：C．12．（2017秋•菏泽期末）已知z（1+3i）=2i，则复数z的共轭复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+3i）=2i，得z=2i1+3i =2i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=6+2i10=35+15i，∴z=35−15i，则z在复平面内所对应的点的坐标为（35，−15），位于第四象限．故选：D．13．（2017秋•泉州期末）已知复数z满足（1+i）•z=2，则其共轭复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）•z=2，得z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则其共轭复数z=1+i．故选：B．14．（2017秋•马鞍山期末）i是虚数单位，复数z=i2+11+i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=i2+11+i=﹣1+1−i(1+i)(1−i)=﹣12﹣12i在复平面内对应的点(−12，−12)在第三象限．故选：C ．15．（2017秋•昭通期末）若复数Z 满足（1﹣z ）（1+2i ）=i ，则在复平面内表示复数Z 的共轭复数z 的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算，求出z 的坐标得答案． 【解答】解：由（1﹣z ）（1+2i ）=i ， 得1﹣z=i1+2i =i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25+15i ，∴z=35−15i ，则z =35+15i ，∴在复平面内表示复数Z 的共轭复数z 的点的坐标为（35，15），位于第一象限．故选：A ．16．（2017秋•台州期末）若复数z =(i1−i )2（i 为虚数单位），则|z |=（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．√22【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=i 2(1−i)2=−1−2i =−i 2i(−i)=﹣12i ，∴|z |=12．故选：C ．17．（2018春•城阳区期末）已知i 为虚数单位，记z 为复数z 的共轭复数，若z=（1+i ）（2﹣i ），则|z |=（ ） A ．4B ．√10C ．1D ．10【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵z=（1+i ）（2﹣i ）=3﹣i ， ∴|z |=√32+(−1)2=√10． 故选：B ．18．（2018春•天门期末）设复数z =|3+4i|−2i2，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．52−iB ．52+iC ．−52+iD ．−52−i【分析】求解复数的模化简z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=|3+4i|−2i2=5−2i2=52−i，∴z=52+i．故选：B．19．（2018春•辽阳期末）复数13i2+3i的共轭复数为（）A．3+2i B．3﹣2i C．2+3i D．2﹣3i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵13i2+3i=13i(2−3i)(2+3i)(2−3i)=39+26i13=3+2i，∴复数13i2+3i的共轭复数为3﹣2i．故选：B．20．（2018春•济宁期末）若i为虚数单位，a，b∈R，且a−ii=b+2i，则ab（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由a−ii=b+2i，得a﹣i=（b+2i）i=﹣2+bi，∴a=﹣2，b=﹣1，则ab=2．故选：D．二．填空题（共6小题）21．（2018春•东莞市期末）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）•z=2i，则z 的虚部为1．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）•z=2i，得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴z的虚部为1．故答案为：1．22．（2017秋•宁波期末）设i 为虚数单位，则复数2+3i i 的虚部为 ﹣2 ，模为√13 ． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模求解．【解答】解：∵2+3i i =(2+3i)(−i)−i 2=3−2i ， ∴复数2+3i i的虚部为﹣2；模为√32+(−2)2=√13． 故答案为：﹣2；√13．23．（2017秋•南京期末）已知复数z 满足z （1+i ）=i ，其中i 是虚数单位，则|z |为 √22． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z （1+i ）=i ，得z=i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故答案为：√22． 24．（2018春•吉安期末）若复数z 满足z （1﹣i ）=|1﹣i |+i ，则z 的虚部为 √2+12． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z （1﹣i ）=|1﹣i |+i ，得z=√2+i 1−i =(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i ． ∴z 的虚部为√2+12， 故答案为：√2+12． 25．（2018春•朝阳区期末）在复平面内，复数z=21−i对应的点的坐标为 （1，1） ． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．26．（2018春•淮安期末）设复数z=（1﹣i ）2（i 是虚数单位），则z 的模为 2 ．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z=（1﹣i ）2=﹣2i ，∴|z |=2．故答案为：2．三．解答题（共3小题）27．（2017秋•上饶期末）已知复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位．（1）当z 是实数时，求m 的值；（2）当z 是纯虚数时，求m 的值．【分析】（1）由复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i 是实数，列出方程组，能求出m 的值．（2）由复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i 是纯虚数，列出方程组，能求出m 的值．【解答】解：（1）∵复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位． z 是实数，∴{m 2−2m −15=0m +3≠0， 解得m=5时，z 的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z 是实数．…………（5分）（2）∵复数z=m 2−m−6m+3+（m 2﹣2m ﹣15）i ．m ∈R ，i 是虚数单位． z 是纯虚数，∴{m 2−2m −15≠0m +3≠0m 2−m −6=0，解得m=﹣2或m=3， ∴当m=﹣2或m=3时，z 是纯虚数．…………（10分）28．（2018春•中山市期末）已知复数z=（1﹣i ）2+1+3i ．（1）求|z |；（2）若z 2+az +b =z ，求实数a ，b 的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）化简z =z 2+az +b ，结合z =1−i 列式即可求得a ，b 的值．【解答】解：（1）∵z=（1﹣i ）2+1+3i=1﹣2i ﹣1+1+3i=1+i ，∴复数z 的模|z|=√12+12=√2；（2）∵z =z 2+az +b=（1+i ）2+a （1+i ）+b=1+2i ﹣1+a +ai +b=（a +b ）+（a +2）i ， 而z =1−i ，∴{a +b =1a +2=−1，可得{a =−3b =4． 29．（2017秋•平罗县校级期末）设复数Z 满足Zi ﹣Z=2i ，求：（1）复数Z 的共轭复数；（2）复数Z 的模|Z |．【分析】（1）先根据复数的运算可得z ，再求出共轭复数即可，（2）根据复数的模的定义即可求出．【解答】解：（1）zi ﹣z=2i ，∴z=2i i−1=2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1﹣i ， ∴z =1+i ，（2）|z |=√12+(−1)2=√2。
复数的产生和发展历史__概述说明以及解释
复数的产生和发展历史概述说明以及解释1. 引言1.1 概述复数是语言中一种用来表示多个事物的形式。
它在不同语言和文化中有着丰富而多样的表达方式。
本篇文章将探讨复数的产生和发展历史，并分析复数概念在不同语言、文化以及社会中的意义。
1.2 背景复数作为一个语法概念，在人类语言发展的早期就已经出现。
随着人类社会的进步，复杂性和多样性也逐渐增加，对于数量词描述多个事物的需求也变得更为迫切。
因此，人们开始创造并演变出各种方法来表达复数概念。
1.3 目的本文旨在回顾复数产生和发展的历史，并比较不同语言中复数形式的表达方式。
同时，我们将探讨复数概念对文化和社会结构的影响，并提供对于未来可能带来多样性和文化交流发展方向的展望。
以上是“引言”部分内容，介绍了文章对于复数产生和发展历史这一主题的背景和目标。
2. 复数产生的历史2.1 早期语言发展在人类语言的起源阶段，人们主要使用单数形式表达物体和概念。
这是因为早期人类社会的生活方式非常简单，没有出现大规模的集体行动或群居。
因此，单数形式足以满足沟通需求。
然而，随着人类社会进化和发展，社会结构变得更加复杂。
人们开始组成部落、家族和其他群体形式。
为了更准确地表示众多对象的存在，复数形式逐渐产生。
2.2 多种复数形式出现不同语言中对复数的处理方式存在差异。
有些语言仅仅在名词后面添加一定的标志符号来表示复数形式，例如英语中加上“-s”或“-es”。
而另一些语言则通过改变词根本身来表示复数。
这可能包括变化词尾、重音位置或者词干整个变化等。
早期的复数形式并不稳定，不同地区和文化之间也存在差异。
随着时间推移，一些用于表示复数的规则逐渐固定下来，并在特定语言中得到共享和传承。
2.3 文明交流中的影响随着不同文明之间的交流和贸易增加，语言之间也产生了相互影响。
这导致了复数形式在不同文化和语言之间的进一步交融。
通过文化交流，人们开始学习其他语言，并将外来语词汇纳入自己的语言系统。
这个过程中，复数形式也可能被借鉴或逐渐融合到现有的语法规则中。
复数的萌芽形成与发展论文
复数的萌芽形成与发展论文复数的萌芽形成与发展论文我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决。
对于复数a＋bi（a、b都是实数）来说，当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数，当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数’‘与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
数系中发现一颗新星──虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。
德国数学家菜不尼茨（1664—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。
瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。
对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。
”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。
法国数学家达兰贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i，而使用=一1）。
法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的探莫佛定理。
复数的概念发展过程
复数的概念发展过程复数的概念发展过程经历了多个阶段，从早期对负数的困惑到最终复数作为数学体系中的基本元素的确立，以下是其主要发展历程概要：1. 古希腊时期：-在古希腊数学中，数学家们最初仅考虑正数和零，对于负数以及后来的虚数持怀疑态度，因为它们当时被认为缺乏直观的几何解释或物理意义。
2. 负数的接受：-到了中世纪，随着数学问题解决的需求增加，负数逐渐被接受并在代数运算中开始应用。
3. 虚数的萌芽：-在解代数方程的过程中，尤其是遇到像x²=-1这样的二次方程无实数解时，数学家们开始意识到需要扩展数系。
16世纪初，意大利数学家Scipione del Ferro和NiccolòFontana Tartaglia等人在解三次方程时，实际上已经涉及到类似于虚数的运算。
4. 正式引入：-16世纪中期，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在探讨代数方程的解时，首次提出了“想象数”（imaginary numbers）的概念，这可以看作是虚数的初步形式。
5. 虚数的符号化：-17世纪，笛卡尔在自己的工作中，虽然他本人对虚数持保留意见，但首次使用了类似“实”和“虚”的术语来区分不同的数，并将虚数表示为直角坐标系中的垂直轴上的量。
6. 复数的规范化：-18世纪，欧拉在1777年开始使用现在通用的符号"i" 表示虚数单位，即i²= -1，并明确地提出了形如a + bi 的复数表达方式。
7. 理论完善：-19世纪，德国数学家高斯对复数进行了系统的理论研究，建立了复数的代数和几何基础，包括引入极坐标形式、复共轭、复数的加法和乘法法则等，并且证明了每一个复系数多项式都可以分解成线性因子（一次和二次的复数因子），这是复数理论的重大突破。
8. 广泛接受与应用：-随着复数理论的成熟，它逐渐被数学界接受并成为现代数学的基础之一。
到了19世纪及以后，复数在工程、物理学（特别是电磁学和量子力学）、信号处理、控制论以及现代数学的各个分支，如复分析、泛函分析等领域中找到了丰富的应用，从而确立了复数在现代数学和科学技术中的重要地位。
复数的产生——精选推荐
复数的产⽣形如的形式在数学中被定义为复数，其中为虚数单位，、为任意实数。
要说复数的产⽣，先从数的演变史开始说起。
最初，⼈们从⾃然界中启发，得到了数字1、2、3……，当然还有0，这就是⾃然数，来源⼈们对现实世界的认知。
接着，如果1个馒头要均分给5个⼈，要怎么分，每⼈分多少呢？1段树枝被折成相等的2半，那⼀半是多少，怎么表⽰呢？⼈类为了知识的记录和⽂化的传播，⼀切从简，就发明了分数，当然也可以写成⼩数的形式：=0.2，=0.5，=0.6等等。
到⽬前为⽌，来⾃于⼈们对现实世界的直观总结所建⽴的数字表达，它有明显的可参照对象、有轨迹可循、看得见、摸得着、想得到，⼈们后来就认为这些都是理所当然的，所以就叫它们为有理数。
即所有可以表⽰为分数形式的数都叫有理数，当然⾃然数也可以表⽰为分数=0，=1，=3，=2，=5……。
随着⼈类⽂化的不断迭代发展，数学运算和数学表⽰在不断的丰富，除了法、-法，根据类似22 2（3个2相加）难道就不能表⽰为更简单的形式么？3x2，于是乘法诞⽣，因为对于3 3 3 3 3 33 3这样的繁琐的运算，可以⽤更简单的表⽰8x3，so easy！⽂化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再简单地表达？⼈类总是向着⼤道⾄简的⽬标前进，于是5x5==25，2x2==4……，有了平⽅数。
⼈类⽂化在迭代中不断地向前狂奔，有些⼈就脑洞⼤开了，不对呀！4是2的平⽅，9是3的平⽅，16是4的平⽅，妈呀！也就是说1的平⽅是1，0的平⽅是0，那么在平⽅结果中，只有0、1、4、9、16、25……会出现，那中间是不是少了很多数啊，谁的平⽅是2呢？⼜谁的平⽅是3呢？谁的平⽅是5？……连续⾃然数平⽅的结果并不是连续的⾃然数！好吧，既然谁也不知道？那就给它个定义吧，难道还有数学不能描述的世界吗？数学就是为⼤世界服务的，必须补上这个漏洞，好嘞，的平⽅就是2，它表⽰=2，类似的=3，甚⾄还有=5等等。
复数的由来
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月•复数是16世纪人们在解代数方程时引入的.1545年，意大利数学物理学家H （ardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x（10_x）的根，它求出形式的根为5 、、TT5和5 八-75，积为25 -（-15）=40 •但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的•因而复数在历史上长期不能为人民所接受. “虚数”这一名词就恰好反映了这一点.直到十八世纪，D'Alembert （达朗贝尔）：L_Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕AL.Cauchy （柯西），K|_Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和吐Riemann （黎曼）三人的工作进行的.到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用.第一章§ 1复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商、幕与根运算.重点：德摩弗（DeMoiVre ）公式•难点：德摩弗（DeMoiVre ）公式•课时：2学时•1.复数域形如z = x，iy或z=z，yi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为x = Rez , y =lmz i-1，称为虚单位.两个复数z^ x1 iy1，与Z2伙2 y 2相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即为=X2且％=丫2虚部为零的复数可看作实数，即x • i L o=x，特别地，0 • iL0 = 0，因此，全体实数是全体复数的一部分.实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy和x - iy称为互为共轭复数，记(x iy)二 x _ iy 或 x _ jy = x jy设复数乙=X i • iy i , z 2 = x 2 iy 2，则复数四则运算规定:Z i _Z 2 二任 _X 2)—i(y i — y 2)缶2 =&必2 -y 』2)i(x 』2 X 2%)一确定.因此，如果我们把平面上的点 （x, y ）与复数z 二* iy 对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的 对应关系.由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称 x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面.弓I 进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后 我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”3•复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数x iy 与从原点到点z 所引的向量oz 也构成 ------- 对应关系（复数0对应零向量）•从而，我们能够借助于点 z 的极坐标r 和二来确定点x iy ,r =|z = \/x 2 + y 2 色0显然，对于任意复数 z = x + iy 均有x^|z , y^|z , z^x+|y (1. 1)Z 2 X 2 y ?竺匸警亿=0）x2y 2容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域， 必须特别提出的是,比较大小的.2 .复平面在复数域中，复数是不能从上述复数的定义中可以看出，一个复数z = x • iy 实际上是由一对有序实数 （x, y ）唯另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式W 十勺兰N +勺（三角形两边之和 _第三边，图1.2）（1.2）与（1.3）两式中等号成立的几何意义是：复数 Z 1，Z 2分别与Z 1 - Z 2及乙-乙?所表示的三个向量共线且同向.向量oZ 与实轴正向间的夹角二满足tan v - y 称为复数Z 的幅角（Argument ），记为x-ArgZ 由于任一非零复数 Z 均有无穷多个幅角，若以 Argz 表示其中的一个特定值，并的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有 -二 Argz 二 arg z 2k 二（k =0, 一1,一2川1）注意：当z =0时，其模为零，幅角无意义.从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数(1.2)图1.2I Z i-Z 2^|z i - Z 2（三角形两边之差 空第三边，图1.3）(1-3)称满足条件-二：：Argz -二(1-4)(1-5)z ，即有e°=cos 日+isi n B(1.7) 则(1.6)可化为 z 二 re^(1.8)可推得复数的乘除有Argz Z 2 二 Argz 「Argz ?乙Arg( 一)二 Argz — Argz ?Z 2乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当z? =1时可得砂2 = 9饰田）此即说明单位复数（|z 2| =1 ）乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角 度.另外，也可把公式（1.11）中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则 公式两端允许相差2二的整数倍，即有Arg （狂）=argz argz ? 2k 二 z i 卜 Arg （一）=argz 1 —argz ： 2k- z 2公式（1.9）可推广到有限个复数的情况，特别地，当N =z 2二川=z n 时，有ni' x n n in ■ nz (re ) r e r (cos i sin )当r =1时，就得到熟知的德摩弗 （DeMoiVre ）公式:(cos^ i sin^)n 二 cos n^ i sin n^ (1. 1 3 )因此牛2 —— z 1 Z 2召=-Z 2Z 2Z 1 能旧r 1 e i （0马）ZT 产飞e(z ? - 0) (1. 1 0)（1.6）与（1.8）式分别称为非零复数 z 的三角形式和指数形式，由（1.8）式几指数性质即(1.9) (1.11)公式（1.10）与（1.11）说明：两个复数 乙，Z 2的乘积（或商），其模等于这两个复数模的 (1. 12)例1.1求cos3）及sin3^用cos^与sin二表示的式子解：：（cos3 v i sin3=）=（cos v i sin v）3=cos% 3i cos% si n v - 3cos v si nJ - i s in3 v3 2 3.cos3 v - cos 3cos vsin =4cos 3cossin3 v - 3cos2 v sin v - sin3 v - 3sin r - 4sin 3 v4•曲线的复数方程例1.2连接z i及z2两点的线段的参数方程为z = Z i • “互-Z i）（0_t_1）过Z-!及z2两点的直线（图）的参数方程为z =乙• t（z2-zj （-：： _t _ •：：）例1.3 z平面上以原点为心，k为半径的圆周的方程为z=Rz平面上以z o为心，R为半径的圆周的方程为Z-z°|=R例1.4 z平面上实轴的方程为Im z二0,虚轴的方程为Rez=0.作业:第42页2,3,4§2复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念；掌握区域的概念；了解约当定理.重点：区域的概念，约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1.几个基本概念定义1.1满足不等式z-Z° £ P的所有点z组成的平面点集（以下简称点集）称为点Z。
复数 数学史
复数数学史复数，是数学领域一个非常基础的概念。
它与实数一同构成了数学中的数域。
在数学史上，复数的概念也是一个漫长而且曲折的历程。
本文将围绕”复数数学史”来进行分步骤的阐述。
1. 复数的起源在数学史上，复数的起源可以追溯到16世纪的意大利。
当时，由于方程 $ax^2+b=0$ 无法用实数解决，数学家们开始思考一个新的数系统，这就是现在所谓的复数。
然而，当时的数学家们并没有真正完全理解复数，因此在当时，复数被称为“虚数”。
2. 复数扩展虚数被发现之后，并没有得到广泛的应用。
直到18世纪，数学家们才开始尝试将虚数与实数结合，形成一种新的数系统：复数。
1777年，法国数学家欧拉将虚数定义为 $i = \sqrt{-1}$，并将其引入到数学系统中。
复数又被称为复数因为它具有实部和虚部两个部分。
3. 复数在几何中的应用19世纪，复数在几何中得到了广泛应用。
法国数学家阿贝尔利用复数来解释出花瓶的结构、切比雪夫利用复数来解释出正n边形的结构、黎曼则将复数引入到复变函数领域。
复数的几何应用也为数学的发展和应用带来了许多新的思路和方法。
4. 复数在物理学中的应用20世纪，复数在物理学中得到了广泛的应用。
量子力学中的波函数也可以用复数来表示，复数的模方可以表示概率密度，实部和虚部可以分别表示不同的物理量。
在电路中，复数的应用也是十分重要的。
复数在物理学领域中的应用，尤其是在量子力学和电路中，更是引领了数学与工程学科的无止尽交流与融合。
总之，复数概念的演化过程由虛数到复数，具有一个漫长而又曲折的历程。
复数的几何应用极大地拓展了数学的新思路和新方法，而在物理学中，复数的应用也是不可或缺的，它深刻地影响和改变了人们对于自然科学和数学领域的认识。
3.1.2 复数的概念
复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的,人们在 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们 在当时是无法接受 认为她是想象的,不存在的, 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 假设研究 研究: 数单位 i 的 假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹， 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量” 论这种数的 ，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 取了一个名字——虚数． ——虚数 但 年， 笛卡尔才给这种 虚幻之数” “虚幻之数” 取了一个名字——虚数． 欧拉还是说这种数只是存在于“ 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 中” 并用 i （imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. ， 后来德国数学家高斯给出了复数的定义， 后来德国数学家高斯给出了复数的定义 ， 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用． 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a + bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数. 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一. 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
对于一元二次方程x =1有两个解，x=± 对于一元二次方程x2=1有两个解，x=±1． 有两个解 对于一元二次方程x +1=0没有实数根 对于一元二次方程x2+1=0没有实数根． 没有实数根． 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 我们能否将实数集进行扩充， 数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 实际上，早在16世纪时期 世纪时期， 实际上，早在16世纪时期，数学家们就已 经解决了这个矛盾， 经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完 整的理论。因为这个新数不是实的数， 整的理论。因为这个新数不是实的数，就 称为虚数单位，英文名为imaginary 称为虚数单位，英文名为imaginary number unit.所以，用“i”来表示这个新数。 unit.所以， 来表示这个新数。
复数的引入数学史(二)2024
复数的引入数学史（二）引言概述:在我们的日常生活和数学领域中，复数的引入扮演着重要的角色。
本文将进一步探讨复数的历史背景和其在数学领域中的应用。
通过回顾数学史上的重要人物和例子，我们将探讨复数的引入对数学领域的影响。
正文:1. 复数的引入:- 提出负数的概念: 数学家们在解方程时首次遇到了无法用实数解释的情况，因此开始探索负数的概念。
这为复数的引入奠定了基础。
- 复数的定义: 数学家们开始思考在实数范围之外扩展数的定义方式，引入了虚数单位i。
这样可以表示形如a+bi的复数，其中a是实部，b是虚部。
2. 重要人物:- 卡尔丹尼·布朗凯尔: 布朗凯尔首次提出了复数的概念，并将其视为数学中一个有用的工具。
- 亚尔·亥朵根·冯·米泽斯: 米泽斯在其著作中深入研究并发展了复数的理论，证明了复数域上的代数基本定理。
3. 复数的应用:- 电路理论: 复数在电路理论中扮演着重要的角色，可以描述电流和电压的相位差。
- 物理学: 复数在量子力学中起着至关重要的作用，特别是在描述波函数和量子力学算符时。
- 应用数学: 复数可以用于解决实数范围内无法解决的问题，如求解高次多项式的根。
4. 重要概念:- 共轭复数: 共轭复数是指在实部相等而虚部符号相反的两个复数。
在求解方程和进行计算时，共轭复数起着重要的作用。
- 复平面: 复平面是将复数与二维平面上的点相对应的平面。
通过在复平面上绘制复数，可以更直观地理解复数的运算规则和性质。
5. 复数的发展和应用:- 非欧几里德几何: 复数的引入推动了非欧几里德几何的发展，这种几何体系超越了欧几里德几何中实数的限制。
- 控制论: 复数在控制论中起着关键作用，能够描述控制系统中的动态行为。
总结:复数的引入为数学领域带来了新的视角和解决问题的方法。
通过负数和虚数的引入，数学家们不仅能够解决实数范围内的问题，还能够在更广阔的数学领域中应用复数。
复数的发展和应用深刻地改变了数学和其他学科的研究方法和理论体系。
世界上第一个提出“复数”概念的人是谁？
世界上第一个提出“复数”概念的人是谁？在人类文明发展历史上，“数的意识”出现具有里程碑的意义。
原始人类在与大自然进行斗争的过程中，渐渐明白“有”和“无”、“大”和“小”、多少等等最基本数的概念。
一旦原始人类掌握这些“数”，学会运用这些基本“数”的概念来解决生活当中的问题，就宣告人类开始脱离愚昧。
最初“数”的形成从自然数开始，随着人类社会不断发展，简单的自然数已经无法满足人类生活生产的需求，出现了整数、分数、负数等等。
“数”的系统也从简单的自然数集扩大到有理数集、实数集、复数集等等。
我们都知道，在实数范围内，负数是没有平方根的，这样我们在解一些方程时候就会显得“无能为力”。
进入高中后，把实数集扩大到复数集，负数可以有平方根，相应问题才得以解决。
什么是复数？我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数，当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
从集合论角度来说，复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
从这里我们可以看出，从实数集扩大到复数集，最大功劳归于“虚数”的出现，就像当年无理数的出现，促成实数集的完整。
不过不管无理数的出现还是虚数的出现，一开始都不被世人所接受，甚至遭到排挤，幸好无理数并非“无理”，虚数并非“虚无缥缈”，经得起时间和空间的考验。
那么在历史上是如何引进虚数？是哪些伟大数学家把实数集扩充到复数集？今天我们就要一起来简单了解一下。
在公元1世纪时期，希腊数学家海伦在解决平顶金字塔不可能问题时候，简单提到了复数方根，这是先有可以考查到最早复数有关的文献记载。
在1545年，意大利米兰学者卡尔达诺在《重要的艺术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
卡尔达诺是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成：尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。
高中数学复数的萌芽、形成与发展素材
复数的萌芽、形成与发展我们知道，在实数范围内，解方程x210 是力所不及的，只有把实数集扩大到复数集才能解决．关于复数a bi （a，b都是实数）来说，当b0 时，就是实数；当 b 0 时叫虚数；当 a 0， b 0 时，叫做纯虚数．但是，历史上引进虚数，把实数集扩大到复数集可不是件简单的事，那么，历史上是怎样引进虚数的呢？16 世纪意大利米兰学者卡当（1501－ 1576）在 1545 年发布的《重要的艺术》一书中，宣布了三次方程的一般解法，被后代称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在议论能否能把10 分红两部分，使它们的乘积等于40 时，他把答案写成 (515)(515)40 ，只管他以为(515) 和 (515) 这两个式子是没存心义的、虚无飘渺的，但他仍是把10 分红了两部分，并使它们的乘积等于40．给出“虚数”这一名称是法国数学家笛卡尔（1596 －1650），他在《几何学》（ 1637年发布）中使“虚的数”与“实的数”相对应，此后，虚数才流传开来．数系中发现一颗新星——虚数，于是惹起了数学界的一片疑惑，好多大数学家都不认可虚数．德国数学家莱不尼茨（1664-1716 ）在 1702 年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇怪的隐避所，它大体是存在和虚妄两界中的两栖物”．瑞士数学大师欧拉（ 1707-1783）说：“一切形如1， 2 的数学式子都是不行能有的，由于它们所表示的是负数的平方根．关于这种数，我们只好断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属空幻．”但是，真谛性的东西必定能够经得住时间和空间的考验，最终据有自己的一席之地．法国数学家达朗贝尔（1717-1783 ）在 1747 年指出，假如依照多项式的四则运算法例对虚数进行运算，那么它的结果老是 a1b 的形式（ a，b 都是实数）．法国数学家棣莫佛（ 1667－ 1754）在 1730 年发现公式 (cos1sin)n cos n1sin n ，这就是有名的棣莫佛定理．欧拉在1748 年发现了闻名的关系式 e i cos i sin，并且是他在《微分公式》（1777 年）一文中第一次用i 来表示 1 的平方根，开创了用符号i 作为虚数的单位．“虚数”实质上不是想象出来的，它是的确存在的．挪威的丈量学家成塞尔（1745-1818 ）在 1779 年试图给出虚数以直观的几何解说，并第一发布了其作法，但是没有获得学术界的重视．德国数学家高斯（1777-1855）在1806年宣布了虚数的图象表示法，即全部实数能用一条数轴表示，相同，虚数也能用一个平面上的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实数 a 的点 A，纵轴上取对应实数 b 的点 B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C 就表示复数a bi．像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，以后又称“高斯平面”．高斯在 1831 年，用实数组 ( a， b) 代表复数a bi ，并成立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数相同地“代数化”．他又在 1832 年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不一样方法——直角坐标法和极坐标法加以综合．一致于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应．高斯不单把复数看作平面上的点，并且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，论述了复数的几何加法与乘法．至此，复数理论才比较完好和系统地成立起来了．经过很多半学家长久不懈的努力，深刻商讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡专心爱心专心了 200 年的幽灵——虚数揭去了神奇的面纱，展现出它的本来面目，本来虚数不虚呵．虚数成了数系大家庭中一员，进而实数集才扩大到了复数集．跟着科学和技术的进步，复数理论已愈来愈显出它的重要性，它不只关于数学自己的发展有着极其重要的意义，并且为证明机翼上涨力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为成立巨大水电站供给了重要的理论依照．专心爱心专心。
复数的发展史
复数的发展史
虚数这个假设是需要勇气的，人们在当时是无法接受的，认为她是想象的，不存在的，但这丝毫不影响数学家对虚数单位i的假设和研究：第一次认真讨论这个数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这个数的，当时复数被他称为“诡辩量”。
几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了个名字---虚数。
但是又过了140年，欧拉还是说这中数只是存在与“幻想之中”并用i（imaginary,即虚幻的缩写）来表示她的单位。
后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数虚无缥缈，尽管他们也感到他的作用。
1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。
到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数学工具之一。
如,流体力学、热力学、机翼理论的应用;渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。
复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用,是现代人才必备的基础知识之一。
课件3：3.1数系的扩充与复数的引入
B
【例2】当实数为何值时，复数z＝(2－1)＋(－
为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数
小结: 复数z＝a＋b (a，b∈R)中，实 数a，b分别叫做复数的实部和虚部。 特别注意，b为复数的虚部而不是虚 部的系数，b连同它的符号叫做复数 的虚部。
谢谢各位
（2）复数集C的分类
．
①2＋ ②-3+ ③+ ④π ⑤ ⑥0.
解①的实部为2，虚部为3，是虚数； ②的实部为－3，虚部为 ，是虚数； ③的实部为 虚部为1，是虚数； ④的实部为π，虚部为 0， 是实数； ⑤的实部为0，虚部为，是纯虚数； ⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
3.1数系的扩充和复数的引入
第三章：数系的扩充和复数的引入
复数的发展史 在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－ y)i，求x与y.
复数的历史
6
复数的历史
• 高斯又在1832年第一次提出了‚复数‛这 个名词，还将表示平面上同一点的两种不 同方法──直角坐标法和极坐标法加以综 合，统一于表示同一复数的代数式和三角 式两种形式中，并把数轴上的点与实数— 一对应，扩展为平面上的点与复数—一对 应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而 且还看作是一种向量，并利用复数与向量 之间—一对应的关系，阐述了复数的几何 加法与乘法。至此，复数理论才比较完整 和系统地建立起来了。
5
复数的历史
• 德国数学家高斯（1777—1855）在1806 年公布了虚数的图象表示法。所有实数能 用一条数轴表示；同样，虚数也能用一个 平面上的点来表示。在直角坐标系中，横 轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实 数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的 直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象 这样，由各点都对应复数的平面叫做‚复 平面‛，后来又称‚高斯平面‛。高斯在 1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋ bi，并建立了复数的某些运算，使得复数 的某些运算也象实数一样地‚代数化‛。
复数的历史
• 16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576） 在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公 布了三次方程的一般解法，被后人称之为‚卡 当公式‛。他是第一个把负数的平方根写到公 式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分 成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答 案写成 ( 5 15 ) (义的、想象的、虚 无飘渺。
7
1
复数的历史
• 给出‚虚数‛这一名称的是法国数学家笛卡 尔（1596—1650），他在《几何学》 （1637年发表）中提到使‚虚的数’‘与 ‚实的数‛相对应，从此，虚数才流传开来.
2
复数的历史
• 数系中发现一颗新星──虚数，引起了数学界的 一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。 • 德国数学家莱不尼茨（1664—1716）在1702年 说：‚虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所， 它大概是存在和虚妄两界中的两栖物‛。 • 瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；‚一切 形如 1 的数学式子都是不可能有的、想象的 数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这 类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是， 也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是 少些什么，它们纯属虚幻。
复数的发展过程
复数的发展过程高祥旭在高中数学的学习中我们就学习了有关“复数”的知识，知道这是根据实际的需要，在实数的基础上扩充得到的新的数域。
这是许多数学家经过200多年不懈努力的结果,下面来看看它的发展过程：16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表了《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称为“卡当公式”,他是第一个把复数的平方根邪道公式中得数学家.他在讨论能否把10分成两部分,使它们的积为40时.尽管他认为是没有意义的,可还是把答案写成就这样把10分成两部分,而答案为40.1637年,法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：“虚的数”与“实的数相对应”.自此,虚数流传开来,但却引起数学系的一片困惑.很多大数学家都不承认.1702年德国数学家莱布尼茨说：“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”.欧拉也说过：“一切形如, 的数学式子是不可能有的”,“它们纯属虚幻的”.然而.真理是经得起考验的.1747年,法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算法则对虚数进行运算结果总是（a,b是实数）的形式.1730年,法国数学家棣莫佛发现公1748年,欧拉发现了有名的关系式并且在1777年发表的《微分公式》中第一次用了i来表示-1的平方根.1779年,挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法,但没有引起学术界的重视.1806年,德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法,又在1832年提出“复数”这个名词,并且将复数的知识系统的表述出来.终于虚数在高斯手中得到发展.自此复数理论才比较完整和系统的建立起来.然而复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。
人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。
在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
复数由来的小故事
复数由来的小故事
从前有一个名字叫小明的小男孩，他非常喜欢数学。
有一天，在学校的数学课上，老师教他们关于复数的概念。
小明对复数感到十分好奇，他不明白为什么数学里会出现一个虚数，即平方根为负数的数。
他决定去向老师请教。
“老师，为什么会有复数呢？”小明疑惑地问道。
老师微笑着回答：“小明，复数的出现是为了解决一些无法用实数表示的问题。
在数学中，有时候我们需要计算开方，但是某些数并没有实数的根。
这时，我们引入了虚数的概念，用虚数单位i表示平方根为负数的数。
”
小明听了老师的解释，依然感到有些不解：“为什么要用i表示呢？”
老师笑着说：“这是因为在数学里，i非常特殊。
当我们将i的平方记为-1时，i就可以成为一个强大的工具来解决很多实际问题。
它具有独特的性质和运算规则，让我们在解决复杂的数学问题时更加灵活和便捷。
”
小明听了老师的解释后，眼前豁然开朗。
他开始热衷于学习复数，因为他意识到，复数的引入为数学带来了更广阔的发展空间，并且在物理、工程学等领域有着重要的应用。
从那以后，小明成为了一名杰出的数学家，他在复数的研究和
应用方面取得了许多突破。
他的探索精神和对数学的热爱，为人们带来了更加丰富的数学知识和技术，使得数学在现代社会中发挥着重要的作用。
因此，复数的由来可以说是源于人们对解决实际问题的探索和求知欲望。
尽管它的概念在一开始可能让人困惑，但它的引入为数学的发展打开了新的大门，让我们能够更好地理解和应用数学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
• 此公式早于公元前四百年，已被巴比伦 人发现和使用。 • 在中国的古籍《九章算术》中，亦有提 及与二次方程有关的问题。
由二次方程到三次方程
• 由于实际应用上的需要，亦由于人类求 知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻 找三次方程的解法。 • 即寻找方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 一般根 式解。 • 很可惜，经过了差不多二千年的时间， 依然没有很大的进展！
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （无解） 2
回到二次方程结束…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
10 108 3 10 108
= 2
卡丹诺公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
2
3
例二 解 x3 = 15x + 4
卡丹诺公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
Байду номын сангаас
2
3
例一 解 x3 + 6x = 20
注意：m = 6、n = 20
x =
3
复数名称的确立
注意：
• 定义
36 36 1 6i
• i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 • i 4n + 1 = i , i 4n + 2 = 1 , i 4n + 3 = i , i 4n + 4 = 1
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
• 法国数学家，早期概 率理论著作者之一 • 最著名的成就，是发 现「棣美弗定理」， 把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 1783） • 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17 岁取 得硕士学位，30 岁右眼 失明，60 岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个 数学分支，对后世影响 深远。
注意：m = 15、n = 4
x =
3
2 121 3 2 121 （无解）
但非常明显，x = 4 是方程的一个解！
另辟蹊径
• 韦达（Franç Viè ois te; 1540 1603） • 法国人，律师兼业余数 学家。 • 在三角学、代数学、方 程理论及几何学都有杰 出贡献。 • 1591 年，利用恒等式 cos3A = 4cos3A 3cosA， 解三次方程。
复数名称的确立
• 复数 z 是一种可以表示为 a + bi 形式的数， 其中 a 和 b 都是实数，i = 。 • 我们称 a 为复数 z 的「实部」， 记为 Re(z)。 • 又称 b 为复数 z 的「虚部」，记为 Im(z)。 • 若 a = Re(z) = 0，则称 z 为 「纯虚数」。 • 若 b = Im(z) = 0，则称 z 为 「纯实数」。
虚数
• 笛卡儿（RenéDescartes; 1596 1650） • 法国著名的哲学家 • 坐标几何的创始人 • 1637 年，他称一个负 数的开方为「虚数」 (imaginary number)。 • 但他不承认虚数是数 字的一种。
一大突破
• 棣美弗（Abraham de Moivre; 1667 1754）
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （无解） 2
怪杰
• 卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576) • 一个多才多艺的学者 • 一个放荡不羁的无赖 • 他精通数学、医学、语 言学、天文学、占星学 • 一生充满传奇，人们称 为他「怪杰」。
怪杰
• 1545 年，卡丹诺在 他的著作《大术》 （Ars Magna）中， 介绍了解三次方程 的方法。 • 从此，解三次方程 的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。
复变函数的引入
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角 函数的关系，并写出以下公式： e ix = cos x + i sin x • 1777 年，在他的著作《微分公式》中， 首次使用 i 来表示 。 • 他创立了复变函数论，并把它们应用到 水力学、地图制图学上。
几何解释
• 1797 年，挪威数学家维塞尔（Caspar Wessel; 1745 1818）提出复数的几何解释。
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 2 6 i 2
复数诞生的故事
界首一中 心力
先从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例一 解 5x2 9x 18 = 0
注意：a = 5、b = 9、c = 18 ( 9) ( 9) 2 4(5)( 18) x 2(5) 6 9 441 = 3 或 5 10
虚轴
• 1806 年，法国数学家 a + bi = r (cos + i sin) 阿根（Jean Robert
r O 实轴
Argand; 1768 1822） 亦提出类似的解释。 • 自此，人们亦称复数 平面为「阿根图」。
代数基本定理
• 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 1855） • 德国数学家，人称 「数学王子」。 • 18 岁时，运用一些复 数运算原理，以标尺 画出正十七边形。 • 20 岁取得博士学位， 并成功地证明了「代 数基本定理」。