人教版高中数学选修4-5：第一讲1.1-1.1.2基本不等式含解析

第一讲 不等式和绝对值不等式

1.1 不等式

1.1.2 基本不等式

A 级 基础巩固

一、选择题

1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )

A ．a ＋b ≥2ab

B.a b ＋b a ≥2

C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab

解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；

当a ，b 一正一负时，B 不成立；

当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．

答案：C

2．下列各式中，最小值等于2的是( )

A.x y ＋y x

B.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ

D ．2x ＋2－x

解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，

所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.

当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．

答案：D

3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )

A ．10

B ．6 3

C ．4 6

D ．18 3 解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝2

3x ＋y ＝235＝183， 当且仅当x ＝y ＝52

时，等号成立． 答案：D

4．设x ，y 为正数，则(x ＋y)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6

B ．9

C ．12

D ．15

解析：x ，y 为正数，(x ＋y)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x 时，等号成立，选B.

答案：B

5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b

＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b

＝1. 又a ，b 均大于0，

所以a ＋b ＝(a ＋b) ⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

答案：C

二、填空题

6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x

的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝

⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33

时，等号成立． 所以y max ＝3－2

3. 答案：3－2 3

7．已知函数f(x)＝2x ，点

P(a ，b)在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．

解析：点P(a ，b)在函数y ＝1x

(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f(a)·f(b)＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22

ab ＝4， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．

答案：4