人教版高中数学选修4-5：第一讲1.1-1.1.2基本不等式含解析
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
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1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
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3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
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∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.2
,则ab的最小值为 ( )
A1a.
2 b
ab
B.2
C.2
D.4
2.已2知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求2x·y的最大值.
【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 1 2 ab 可得a>0,b>0,然后借助基本不
等式
a b 构造关于
的不等式.
2.如何1a利 b2用“2 x1a+2b2y,+xy=30”这个ab条件?
2.基本不等式
【自主预习】
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____
时,等号成立.
≥
a=b
2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__a__b____a_b_. 2
当且仅当____时,等号成立. a=b
(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的 x=y
(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结 论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切 忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同 时取到.
【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1. 求证: (1 1 )(1 1 ) 9.
ab
【证明】 1 1 1 a b 2 b ,
4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤ (3)
a
2
b
2
(2)ab≤ .?
(
a
≥22(ab>0).(4)
2
b
)2
(a>0,b>0).
ba
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。
【精选】高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.1 1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法含解析
1．1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系[小问题·大思维]1．“若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b2－4ac<0且a>0”是否正确？提示：当Δ＝0时，易知ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集也是∅，从而满足的条件应为“a>0且b2－4ac≤0”．2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|α<x<β}．3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合．[对应学生用书P5][例1] 不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}[思路点拨] 根据不等式性质把ba <0转化为ab <0，再求解．[精解详析] 因为不等式x －2x 2－1<0，等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}． [答案] D解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即f (x )g (x )≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0⇒f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0. f (x )g (x )＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0g (x )＜0⇒f (x )·g (x )＞0.1．解不等式：x ＋1x －2≤2.解：∵x ＋1x －2≤2，∴x ＋1x －2－2≤0.即－x ＋5x －2≤0.∴x －5x －2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x <2或x ≥5. 即原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}.[例2] 解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [思路点拨] 由于a ∈R ，故分a ＝0，a >0，a <0讨论． [精解详析] 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1<0， 即x >1.若a <0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 即x <1a或x >1.若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0 (*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故(1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a >1时，由(*)式可得1a <x <1；(3)当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．2．若k ∈R ，求解关于x 的不等式：x 22－x <(k ＋1)x －k2－x.解：不等式x 22－x <(k ＋1)x －k 2－x 可化为x 2－(k ＋1)x ＋k2－x<0，即(x －2)(x －1)(x －k )>0.当k<1时，x∈(k,1)∪(2，＋∞)；当k＝1时，x∈(2，＋∞)；当1<k<2时，x∈(1，k)∪(2，＋∞)；当k≥2时，x∈(1,2)∪(k，＋∞).[例3]国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？[思路点拨]由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解．[精解详析]设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R，由题意得70(100－10R)R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a 元(a>0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解：(1)根据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则 y ＝(100－x )×3 000×(1＋2x %)＋3 000ax 100＝－60x 2＋3 000(a ＋1)x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值； ②若25(a ＋1)>50，即a >1， 则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．[对应学生用书P6]一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤1} C ．{x |x <－3或x >1}D ．{x |x <－1或x >3}解析：因为M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ，所以∁U M ＝{x |x <－1或x >3}． 答案：D2．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1. 答案：C3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为()解析：由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2. 答案：C4．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 有f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②解得x <1或x >3.故选C. 答案：C 二、填空题5．若不等式－x 2＋2x －m >0在x ∈[－1,0]上恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：由m <－x 2＋2x 知m 只需小于u ＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,0]的最小值即可． 又∵u 在[－1,0]上递增， ∴u min ＝－1－2＝－3. ∴m <－3.答案：(－∞，－3)6．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是______________． 解析：由题意知，k 2－6k ＋8≥0， 即(k －2)(k －4)≥0， ∴k ≥4或k ≤2，又∵k ≠0，∴k 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)7．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________________．解析：(等价转化法)将原不等式化为： m (x 2－1)－(2x －1)<0. 令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )<0恒成立，只需⎩⎨⎧f (－2)<0，f (2)<0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得－1＋72<x <1＋32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋328．已知方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________．解析：设函数f (x )＝x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15， 则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m －3)2－4(m 2－15)＞0，f (－2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m ＋69＞0，m 2－4m －5＜0.∴－1＜m ＜5. 答案：(－1,5) 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R? 解：(1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0.若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，日利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500， 由日利润不少于1 300元， 得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解：(1)对任意的x 1，x 2∈R ， f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0，要使上式恒成立，所以a ≥0. 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0，解得A ＝⎝⎛⎭⎫－1a ，0. (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a. 解得0<a ≤－2＋ 5.即a 的取值范围是(0，－2＋5]．。
高中数学人教A版选修4-5课件：1-1-2基本不等式
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典例透析
������2 +������2 ������ +������2 ax+by≤ + 2 2
2
=
������2 +������ +������2 +������2 2
2
= 2.
但是这种解法不正确,这四个数分两组使用基本不等式,不符合 使用的条件,本题中取等号的条件是 ������ = ������, 2 2 2 2 这与 a +b = 1 和 x +y =3 矛盾. ������ = ������, 因此正确的解法应是三角换元法: 令 a=cos α,b=sin α,x= 3cos β,y= 3sin β,则 ax+by=cos α· 3cos β+sin α· 3sin ������ = 3(cos αcos β+sin αsin β)= 3cos(������ − ������ ) ≤ 3, 当且仅当cos(α-β)=1,即 α=β 时,等号成立.故 ax+by 的最大 值是 3.
答案：B
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1
2
3
4
4.应用基本不等式求函数最值 已知 x,y 都为正数,则
������2 (1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 4
(2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 ������.
������
2 ( ������ + ������ ) D.a2+b2≥ 2
)
解析： 选项 A,C 显然正确;选项 D 中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,故
高中数学人教A版选修4-5课件：1.1.2基本不等式3
-1-
2.基本不等式
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学 习 目 标
思 维 脉 络
1.掌握重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R).
2.理解两个正数的算
术平均与几何平均.
3.掌握基本不等式及
其应用.
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2.基本不等式
(4)
≤
;(5)a+b≤ 2(2 + 2 ).
2
2
-4-
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4
4
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做一做 1 给出下列结论:①若 x≠0,则 x+ <2 · =4;②若
a>0,b>0,则
lg +lg
2
式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等
式的证明中,还可以用于求代数式的最值或范围.在条件等式中,如
果同时含有两个变量的和与积的情势,就可以先直接利用基本不等
式对两个正数的和与积进行转化,再通过解关于“和式”或“积式”的
不等式进行求解.
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2.基本不等式
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探究三
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
推荐-高中数学人教A版选修4-5课件1.1.2 基本不等式
1 ������
−
1
=
1-������ ������
=
������+������ ������
≥
2
������������ ������
,
可由此变形入手.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
证明:∵a,b,c>0,a+b+c=1,
·������3+21
=
50-2
16 = 42,
当且仅当
������+1 2
=
32 ������+1
,
即t=7
时,等号成立,ymax=42,
即当促销费定在 7 万元时,年利润最大.
反思解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步: (1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、 图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的 目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的 实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成借用数学模型 解决问题的思路,明确解题方向.
当年生产 x 万件时,∵年生产成本=年生产费用+固定费用,∴年
生产成本为 32x+3=32
3-
2 ������+1
+ 3.
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,则年销售收入为
150%
32
3-
2 ������+1
+3
+
1 2
������.
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润 y=
人教版高中数学选修4-5 练习：第一讲1.1-1.1.2基本不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立． 答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1. 又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立． 所以y max ＝3－2 3.答案：3－2 37．已知函数f (x )＝2x，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________． 解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12. 所以0＜2x ＋1x ≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值． 解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝22， 所以2x ＋1x≤－22， 当且仅当－2x ＝1－x， 即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， 则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， 所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy， 所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.1_1.1.1_不等式的基本性质
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结 论”的程序进行，即： 作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中变形 是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当 符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足 的条件是________________． 解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小． 解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a
人教版高中数学选修4-5《1.1.2基本不等式》
选修4-5
教学目标
• 1、知识与能力目标：理解并掌握重要的基本不等式；利用基本不等式求最 值及证明不等式. • • 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体 会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题 反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
复习导入
• 1. 不等式的基本性质： • 2. 比较两数大小的一般方法：
自主学习
1．定理1 如果 当且仅当 时, 等号成立. ab
a, b R , 那么
a b . 2ab
2 2
证明:
自主学习
2. 定理2(基本不等式)：如果a>0,b>0 那么 当且仅当 时, 等号成立.
讨论: 1. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
1 1-������ ������+������ 本不等式可得三个“2”连乘, -1= = ������ ������ ������
≥
2 ������������ ,可由此入手. ������
(2)因为 a+b+c=1,所以
������+������+������ ������+������+������ = -1 -1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = + + + . ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 又 + ≥2 · , + ≥2 ������ ������ ������ ������ ������ ������
人教A版高中数学选修4-5第一讲第一节《基本不等式》课件(共18张PPT)
术平均
ab
何平均
ab
2
当且仅当a=b时，等号成立。
C
➢证明：因为
( a b )2 a b 2 ab 0,
所以Aa b 2 ab,O
D
B
上式当且仅当 a b,
即a=b时，等号成立。
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
➢ 定理称为2(基a,b本的算不等式)如果a，b>0，那么称为a,b的几
(2)如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最 大值 1 S 2 .
4
【例2】某居民小区要建一座八边形的 休闲场所，它的主体造型平面图（右图） 是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成 的面积为200平方米的十字型地域，计划 在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每 平方米4200元，在四个相同的矩形上（图 中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空 角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。 (1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。 (2)当x为何值时S最小，并求出这个最小值。
所以a b 2 ab,
上式当且仅当 a b,
即a=b时，等号成立。
➢ 定理称为2(基a,b本的算不等式)如果a，b>0，那么
术平均
a b ab
2
当且仅当a=b时，等号成立。
➢证明：因为
( a b )2 a b 2 ab 0,
所以a b 2 ab,
上式当且仅当 a b,
即a=b时，等号成立。
术平均
ab
何平均
ab
2
当且仅当a=b时，等号成立。
C
➢证明：因为
( a b )2 a b 2 ab 0,
高二数学之人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
同乘以3 -1da得
3
b，即 c
3
a d
3
b. c
a
3
d
3 b. c
2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他【条证件明不】变因,为证c明<d:<0,a所e以c2-＞c>b-ded>02,.
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
1 a
1. b
(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0, 所以a>|b|.又n为偶数,所以(an-bn)·(an-1-bn-1)>0,且 (ab)n>0,
故 an bn an1 bn1
abn
0,
即
bn1 an
a n1 bn
1 a
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<
,再由0<b<a,
1＜1
所以 a c b d
b＜a . ac bd
【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,证明: 3 a 3 b .
dc
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
所以 0 1 1 , 又a>b>0, 所以 c d
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号. (2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数 的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
数学·选修4-5(人教A版)课件：第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质
由①＋④得－π≤α－β＜π. 又 α＜β， 知 α－β＜0， 所以－π≤α－β＜0， 所以－π2≤ɑ－2 β＜0.
归纳升华 1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意 题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．例如，
ɑ－β 若忽略 ɑ＜β，则会导致 2 的取值范围变大．
2．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注 意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质．
2．不等式的性质． 对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄 清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强 后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定 要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理 由代替不等式的性质． 特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们
成立的前提条件．
①(移项法则)如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b.
②(同向可加性)如果 a＞b，且 c＞d，那么 a＋c＞b
＋d.
(4)乘法：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；如果 a＞b，
c＜0，那么 ac＜bc.
推论：如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd. (5)乘方：如果 a＞b＞0，那么 an＞bn(n∈N，n≥2)．
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝 贵的，不要全部用来玩手机哦~
类型 3 求代数式的取值范围 [典例 3] 已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值 范围． 解：因为 －π2≤α＜β≤π2， 所以 －π2≤α＜π2，①
－π2＜β≤π2，② α＜β.③ 由①＋②得 －π＜α＋β＜π， 所以 －π2＜ɑ＋2 β＜π2. 由②得－π2≤－β＜π2，④
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第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )
A ．a ＋b ≥2ab
B.a b ＋b a ≥2
C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab
解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；
当a ，b 一正一负时，B 不成立；
当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．
答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
A.x y ＋y x
B.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ
D ．2x ＋2－x
解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，
所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.
当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．
答案：D
3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )
A ．10
B ．6 3
C ．4 6
D ．18 3 解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝2
3x ＋y ＝235＝183， 当且仅当x ＝y ＝52
时，等号成立． 答案：D
4．设x ，y 为正数，则(x ＋y)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
解析：x ，y 为正数，(x ＋y)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x 时，等号成立，选B.
答案：B
5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b
＝1. 又a ，b 均大于0，
所以a ＋b ＝(a ＋b) ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
答案：C
二、填空题
6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x
的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33
时，等号成立． 所以y max ＝3－2
3. 答案：3－2 3
7．已知函数f(x)＝2x ，点
P(a ，b)在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．
解析：点P(a ，b)在函数y ＝1x
(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f(a)·f(b)＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22
ab ＝4， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．
答案：4。