(较难)小学生数学解题中的思维训练

因此用26+26÷2=39瓶， 成为运用简单置换策略解决问题 的典型题例。
（四）假设与图解：
【例题十三】
有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两种颜 色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里 的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子 占全部棋子的几分之几？ 分析与解：假设黑子有5颗，则第三堆黑子有2颗，第一、 二堆黑子共有3颗，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子 一样多，所以每堆有3颗棋子，画图如下： 第一堆 第二堆 第三堆
(1)以鸭为标准量“1”，鸡就是1/2，鹅就是1/2×1/3= 1/6； 鹅︰鸭 = 1/6 ︰1 = 1︰6
(2)以鸡为标准量“1“，鹅就是1/3，鸭就是1÷1/2= 2， 鹅︰鸭 = 1/3︰2 = 1︰6 (3)可以假设鸡为3份，那鹅就是1份，鸭为6份， 鹅︰鸭 = 1︰6
【例题七】
在2008年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天 的状况为：雨天比晴天少1/3, 阴天比晴天少3/5 , 这个月晴天有多少天? 分析与解： ① 因为，雨天与晴天的比为2︰3，阴天与晴天的比为 2︰5；如果把晴天设为3和5的最小公倍数15，那么，雨 天为10天，阴天6天，晴天15天，合计31天，符合生活 实际； ②用通比也能得出结论： 雨天︰晴天︰阴天 2 ︰ 3 5︰2 10 ︰ 15 ︰ 6 合计：10+15+6=31（天）
因此选择①
2、解决单位“1”发生变化时容易混淆的问题： 【例题三】
一种商品先提价1/10，再降价1/10。现价与原价相比（ ①与原价相等 ②比原价高 ③比原价低 ）
分析与解： 一般学生会认为是与原价相等，实际两次单位“1”不同，所 以提的价不等于降的价。可以假设原价为100元，提价1/10后 为:100×（1+1/10 ）=110元，而降低了1/10是110元的1/10， 现价是：110×(1-1/10)=99(元），因此选择③比原价低。 且永远现价是原价的: （1+1/10 ）×（1- 1/10）= 11/10 × 9/10 = 99/100
1 【例题十八】
分析与解：
1 ＋ ＋
1 ＋
1
计算
2
பைடு நூலகம்
4
8
16
这道题学生只会想到“可以先通分转化成同分母分数后再相加”； 或将“分数转化为小数求和”进行计算； 其实，化小数计算反而麻烦。如果给这题再添上一个加数，加一个 1/32 ，再加1/64呢？如果这样加下去，一直加到1/1024呢？通分 算还简便吗？ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 + 1 + 1 + 1 …… 132
九、周期（推理）：
【例题二十】
李医生定期去甲、乙、丙三位病人家巡诊。按计划他每三天（中 间空2天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每6天去丙家一次。 4月30日那天，连续去了甲、乙、丙三家，那么从5月1日到12月 31日，李医生应该去巡诊的天数是多少？ 分析与解： 这也是一个周期问题，从李医生4月30日连续去了3家巡诊的时 间是一个周期。我们可以通过列表观察李医生在甲、乙、丙三家 巡诊的天数，从中找出相应的规律。 本题可列表如下，从4月30日开始：
当长度为1米时，两根用去的长度相等；
当长度大于1米时，第二根的3/10> 3/10米； 当长度小于1米时，第二根的 3/10<3/10 米，
因此选择③无法比较
【例题二】
一根钢管两次用完，第一次用去3/10米，第二次用 去全长的3/10，两次相比（ ） ①第一次用去的多 ②第二次用去的多 ③无法比较 分析与解： 因为第二次用去全长的3/10，那么第一次用去了全长 的（1-3/10）=7/10，大于全长的3/10，
○○ ○ ○
4÷9=4/9
（五）还原法：
【例题十四】
甲、乙、丙三个水桶中各装有一些水，共72升。先将甲桶 中1/3的水倒入乙桶，再将乙桶中现有水的1/5倒入丙桶，最 后将丙桶中现有水的1/7倒回甲桶，这时三个水桶中的水同 样多。三个水桶原来各有水多少升？ 分析与解：首先根据“这时三个水桶中的水同样多”，得 出每个水桶中的水为72÷3=24升，再列表如下： 甲
【例题十】
一张小圆桌的周长是3.14米,把四边撑开的部分折叠起来就成了 一张方桌,求方桌的桌面是多少平方米?
分析与解： ① 圆的直径：3.14÷3.14=1（米） 1×0.5÷2×2 = 0.5（平方米） ②这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是157/100这一知 识点进行解答， 2 圆面积=3.14×（3.14÷3.14÷2）×100/157=0.5（平方米）
先求出盐的质量：500×（1－90%）=50（克）
再求出加热后盐水的质量：50÷（1－75%）=200（克） 最后求出蒸发了的水的质量：500－200=300（克）
【例题十六】
配制20%的糖水1000克，需要用浓度为18%和23%的 糖水各多少克？ 分析与解： 这道题糖的质量是不变量： 1000×20%=200(克) 设18%的糖水为x克，则23%糖水为（1000-x）克 18%x + 23%×（1000-x）=200 0.18x+230-0.23x=200 0.05x=30 X=600——(18%的糖水) 1000-600=400——（23%的糖水）
（三）替换法：
4、图形中的条件转换 【例题九】
已知下图中阴影部分三角形面积为5平方米，求圆的面积。 分析与解： ① r×r = 5(平方米)；3.14×5 = 15.7(平方米) ②这里运用到一个“常数”的知识，圆与内切 正方形面积的比是157/100，因此用5×2÷ 100/157 =15.7 (平方米)
现在 第三次操作前 第二次操作前 第二次操作前 （原来） 24 24-4=20 20
20÷（1-1/3） =30
乙
24 24
24÷（1-1/5）
丙
24
24÷（1-1/7） =28
28-6=22 22
=30
30-10=20
（六）抓住不变量：
【例题十五】
有含水量为90%的盐水500克，加热后变成了含水量为 75%的盐水。蒸发了多少克的水？ 基本数量关系：盐+水=盐水 盐水×含盐率=盐；盐水×含水率=水 分析与解：这道题盐的质量不变。
【例题十一】
如图两个正方形之间阴影部分的面积是20平方厘米，求圆 环的面积。
分析与解： 设内圆半径为r,外圆半径为R，从图上可以看出：
R的平方- r的平方=20（平方厘米）
圆环的面积=3.14×（ R的平方- r的平方） =3.14×20=62.8（平方厘米）
【例题十二】
26名同学一起去春游,每人只买一瓶饮料,如果3个空瓶可 以换回1瓶饮料,他们最多可以喝到几瓶饮料？ 分析与解： ①学生会用图示法进行分析，得出最多可以喝到38瓶饮料 还剩下2个空瓶，缺乏借一个空瓶再置换一瓶汽水后喝完 还回空瓶的策略。 此题还可以转化为每2个空瓶就能有一瓶饮料的思路，
数学教学要留下思考，留下数学意识， 留下 数学思想方法，留下解决问题的能力。
数学是思维的体操，思维活动是数学学科的 本质特征，任何数学教学活动都离不开思维活动。 因此在教学的全过程中，教师必须以培养学生的 思维能力为目标，注重学生思维的发展与提高， 在发展与提高学生思维能力的过程中，培养学生 解题的灵活性、敏捷性、深刻性与独创性。
小学生数学解题中的思维训练
四、结合例题讲解数学思想方法的运用
（数学思维训练） 易错的典型题例及分析
（一）类比法：
1、解决“分率与分数易混淆”的问题：
【例题一】
有两根同样长的钢管，第一根用去3/10米，第二根用去 3/10，两根相比（ ）。 ① 第一根用去的多 ②第二根用去的多 ③无法比较
分析与解：这道题无法直接比较，它需要讨论：
谢 谢 ！
八、概率问题：
【例题十九】
箱内不规则地散放着式样、尺码相同的黑球鞋和白球鞋各 4双，未加分辨地从中随即取出2只，恰好得到同色且左右 配好对的一双鞋的概率是多少？ 分析与解： 8双鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的时候有15种不 同的取法。任取的这只鞋子肯定有颜色（黑或白），与它同 色且左右配对的有4只，取这4只中的任意一只都符合题意， 所以是4/15。
4.30 5.1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
甲
乙 丙
√
√ √
√
√
√
√ √
√
√
√ √
√
√
解题秘诀：每12 天为一个周期。其中巡诊6天。 解答：从5月1日到12月31日共有的天数为：31×5+30×3=245（天） 李医生巡诊的周期数为：245÷12=20……5 剩下5天他巡诊2天，李医生总共巡诊的天数为：6×20+2=122（天） 答：从5月1日到12月31日，李医生应该去巡诊的天数为122天。
【例题八】 把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从 顶点往下直切成两等份，切面是（ ）。 A、直角三角形 B、正三角形 C、钝角等腰三角形 D无法确定
分析与解： 假设扇形的弧长为3.14厘米，则其半径 （圆锥的母线L）为1厘米，因为扇形的弧 长为3.14厘米，所以底部圆的周长也是3.14 厘米，推导出底部圆的直径： 3.14÷3.14=1厘米 因此切面为等边（正） 三角形。
（二）假设法：
3、等式中的假设
【例题五】
甲数的2/5与乙数的1/2相等，则甲数与乙数的最简比是（
分析与解： 把相等的量设为单位“1” 甲数为：1÷2/5=5/2；乙数为：1÷1/2 = 2 甲数︰乙数 = 5/2︰2 = 5︰4
）
【例题六】
鸡的只数是鸭的1/2，鹅的只数是鸡的1/3，鹅的 只数与鸭的只数的比（ ）。 分析与解：这道题把谁为标准量:
【例题四】
一种商品先降价1/10，再提价1/10。现价与原价相比（ ①与原价相等 ②比原价高 ③比原价低 分析与解： 可以假设原价为100元，降低100元的1/10后为90元， 提价了90元的1/10（90×1/10=9元）后是99元，因此还 是选择③比原价低。 且永远现价是原价的: （1- 1/10）×（1+ 1/10）= 9/10 × 11/10 = 99/100 ） ）
【例题十七】
甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水 120克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器 中盐水的浓度一样，求每个容器应倒入水多少克？
分析与解：这道题抓住盐的质量不变。
300×8%=24（克） 120×12.5%=15（克） 24 15 = 300+x 120+x 15×(300+x)=24×(120+x) 4500+15x=2880+24x 24x-15x=4500-2880 9x=1620 X=180（克）
2
4
8
16
32
64
这里教师把加数增多，让学生在无法用通分来解决此题的过 程中生成策略上的内需，然后出示下图：
在直观图形的启发下，独立探索转化的方法通过数形结合解 释图意，图中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就 是正方形里涂色部分的大小。重点突出了算式转化是根据 “涂色部分的大小等于1减空白部分的差”进行的。让学生 充分体会把原题这样转化，使计算简便了。