chapter1偏微分方程定解问题

第一章．偏微分方程定解问题

偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u(x) , ( , , , )

x 及其若干阶偏导数的关式

x1 x x n

2

u u u u 。

（1）

F(x,u, , ,..., ,..., ) 0

m

x x x n x x x

1 2 1 2

m m m

n

1 2 n

其中，最高阶导数的阶数m 1 为方程的阶。我们把从物理问题中导出的偏微分

m m m

2 n

方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。如果（1）式中与u(x) 有关的部分是u 及u 的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。

偏微分方程的解：如果多元函数u( , ,, ) 在空间区域V 内具有方程中出现的各阶连

x1 x x n R

n

2

续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域V 内的解或称古典解。

1.1 数理方程中的三个典型方程

1.1.1 数理方程中的三个典型方程：

2u

a u f (t, x) （波动方程）

2

t

2

发展方程

u

a u f (t, x) （热传导方程）

2

t x ),

n

n

1,2,3

稳态方程: x ,

u f ( ) （场位方程）x (x ,

x ,

1 2

1.2 定解问题及其适定性：1.

2.1 通解和特解

偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：

例1.2.1：求解二阶偏微分方程 2 0

u ，u u(,) 。

解：两边依次对，积分，得

u ，

f () g()

对于任意C ( )函数f 和g ，都是方程在全平面的解。

1 R

#称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。

对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维Lapl a ce 方程0 u ，周期解u e y ，多项式解

u 的中心对称解 ln 1 (r 0)

x sin

2

r

u 等。

x2 y 2

1.2.2 定解条件

方程的解中可以出现任意函数，不能确定一个真实的运动，这是因为在建立方程的过程中，仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。

常见的定解条件有：

1.初始条件：如果方程中关于时间自变量t 的最高阶导数是m 阶的，则

u u

m 1

u 为泛定方程的初始条件。

0 , ,...,

t t

t0 t 0

m 1

t

u

2.边界条件：( u) (t)

V

n

第Ⅰ类边界条件：=0。例如：( )

u x 1 ,, t

x y y z z

1 1

u

第Ⅱ类边界条件：=0。例如：( )

t

x f

x

x

1

u

第Ⅲ类边界条件： 0, 0。例如：( 2 ) ( )

u

x 3 t

x

1.2.3 定解问题及其适定性

常见的定解问题类型：

初值问题：泛定方程+ 初始条件；

边值问题：泛定方程+ 边界条件；

混合问题：泛定方程+ 初始条件+ 边界条件。

如果泛定方程在区域V 内的解及其在定解条件中出现的偏导数都连续到V 的边界，并且在边界上满足定解条件，则称此解为定解问题的解（古典解）。当定解条件的偏差在一定的小范围时，相应的定解问题的古典解的偏差可以控制在任意事先给定的小范围内，则称该解是稳定的。古典解的稳定性很重要，因为实际测量得到的定解条件存在一定的误差。如果一个定解问题的古典解存在、唯一和稳定，则称此定解问题是适定的。

调和方程的混合问题是不适定的。1917 年阿达玛（Hadamard）曾给出著名例子：定解问题

u u

2 2

x y

2 2

u u

x0

x

u 0,

y0 0,

0,

u

y

y0

1

n

x

,

nx,

sin

y 0,

n为整数

有唯一解：( , ) 1 sin sinh .

u 2 nx ny

x y

n

当n 时，初始条件一致趋于0，但对任意固定的y，当n 时，解u(x, y) 无界，因而解

不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。

1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：