chapter1偏微分方程定解问题
第一章 数学物理中的偏微分方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ的外法线方向。
当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件问题（7）中的边界条件称为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为其中为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。
chapter1_偏微分方程定解问题
定理 2 ： 若 ( x1 , x2 ,, xn ) h 是特征方程组 (11) 在D R n 内的一个首次积分， 则 是一阶线 性偏微分方程 (10) 在D 上的一个解。 其证明方式同两个自变量的的情况。 现在归纳求解一阶线性偏微分方程 (9) 的方法： 由定理 2，如果找到特征方程组 (11) 的n 1 个独立的首次积分
u c( x, y ) f ( x, y ) ， u y b( x, y ) b ( x, y )
(1)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：
y c ( x , ) c( x,s ) y0 b ( x , ) d ) y y 0 b ( x , s ) ds f ( x, ) u ( x, y ) e y e d g ( x) 0 b( x, ) ，
n
b
j 1
j
u 0. x j
(10)
为此，引入特征方程组
dx dx1 dx2 n b1 b2 bn
(11)
它相当于n 1 个一阶常微分方程，从中解出n 1 个隐函数
j ( x1 , x2 , , xn ) h j
( j 1,2, , n 1)
称为常微分方程组的n 1 个首次积分。方程 (10) 与方程 (11) 的首次积分之间有确定的关系：
当n 时，初始条件一致趋于 0，但对任意固定的 y，当n 时，解u ( x, y ) 无界，因而解 不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：
通解法求两个自变量的一阶线性偏微分方程： 今有两个自变量的一阶线性偏微分方程：
1. 偏微分方程的一般概念与定解问题
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面.[齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yu y x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂ 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y u u y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yu u y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂ 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y y u y x d x y u y x c yu y x b x u y x a 就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yu x u u 就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题.2︒边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒混合问题既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.。
偏微分方程的解法
顾
1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念
4、常系数线性偏微分方程的通解
1
方程的通解和特解
例子 7.4 二阶线性非齐次偏微方程 uxy
2
2 y x 的通解是
1 2 u x, y xy x y F x G y , 2
u x, t f1 x at f 2 x at
x at ,则有 f1 x at f1 x ' .这表明在相对于
原来坐标轴以速度 a 运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和 时间无关的;回到原来坐标系中观察 ,则第一部分贡献的波形随时间变 化以速度 a 沿 x 轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列 反向传播的行波的贡献.
总可以化为如下标准形式：
, xn aij xi x j bi xi c
i , j 1 i 1
2 i n
n
n
f x1 ',
, xn ' di x ' bi ' xi ' c ' 二次型的主轴定理
i 1 i 1
3
n
类似地，二阶线性偏微分方程
a u
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：
utt a 2uxx 0 u x, 0 x ut x, 0 x
8
在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论，该方程的附
2 2 a 0 ;且解为 a .故原方程的通解可以表示为: 加方程为：
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
a u
偏微分方程
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
第一章 偏微分方程定解问题
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类边界条件 第二类 第三类
dS u1
u
(2) 第二类（Neumann）边界条件
VS
k u q(t ) n s
当q(t) 0（齐次，表示绝热）
热场
(3) 第三类（Robin）边界条件 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
h(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
h 热交换系数；u1 周围介质的温度, k为热传导系数
举例（设未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
f 为任意函数
2. u a u 0 t x
x
t
1
a
(
)
作变量代换
x x at
a u 0
解为：u f (x at)
f 为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
解为： u g(x) h(t)
数学物理方程主要内容
三种基本问题
初值问题 边值问题 混合问题
三种基本方程、 五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
通解法 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法
叠加原理 齐次化原理
贝塞尔函数 勒让德函数
一些常见符号
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
偏微分方程讲义
习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .
chapter1_偏微分方程定解问题
对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，
找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即 可得到二维 Laplace 方程2u 0 的中心对称解u ln 1 (r 0) ，周期解u ex sin y ，多项式解
r
u x2 y 2 等。
u
c(x, y)
u
f (x, y) ，
(1)
y b(x, y) b(x, y)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：
， y c( x, )
u(x,
y)
e ( y0
d ) b( x, )
y
y
0
c( b(
x,s x,s
) )
ds
e y
0
f (x,)
d g(x)
b( x, )
其中g(x) 是任意的C1 函数。
1.2 定解问题及其适定性：
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：
例 1.2.1：求解二阶偏微分方程 2u 0 ，u u( ,) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g() ， 对于任意C1(R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
#
称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数 为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
第一章． 偏微分方程定解问题
偏微分方程：是指含有多元的未知函数u
u(
x)
,
x
(
x1,
x2,,
xn)
及其若干阶偏导数的关式
u u u F (x,u, , ,..., ,...,
第一章 偏微分方程定解问题.
第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。
如牛顿定律22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2) 热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3)静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。
其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。
这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。
数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。
从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。
本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。
为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。
1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。
含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。
2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u ta u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’) 230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’) 其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。
偏微分方程定解问题
05 偏微分方程的数值解法
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过 在离散点上逼近微分算子，将微分方程转化为离散的差分方程
组。
02
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区 域。
03
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较 低。
有限元法
有限元法是一种将偏微分方程转化为有限元方程的方法，通过将连续的求解区域离散化 为有限个小的子区域（即有限元），将微分方程转化为离散的有限元方程组。
弦或梁的振动模式。
Fisher方程的初值问题
总结词
Fisher方程描述了生物种群的增长或扩散过程，其初值问题涉及到种群在初始时刻的状 态。
详细描述
Fisher方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = frac{partial^2 u}{partial x^2} + cu$，其中 $u$ 是种群密度，$t$ 是时间，$x$ 是空间位置，$c$ 是种群扩散系数。 初值问题通常包括初始条件（如 $u(x,0) = f(x)$），其中 $f(x)$ 表示种群在初始时刻
混合问题
同时给定初始条件和边界条件，求解偏微分方程在整个定义域内的解。
定解问题的求解方法
分离变量法
将多维偏微分方程转化为多个一维常微分方程，通过求解 这些常微分方程得到原方程的解。
有限差分法
将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代求解差分方程得 到原方程的近似解。
有限元方法
将偏微分方程的定义域划分为有限个小的子域（即有限元 ），在每个子域上构造近似函数，通过求解这些近似函数 的线性方程组得到原方程的近似解。
分类
偏微分方程的解法
? 把通解代入初始条件易得 :
f1 ?x ??
f2
?x ??
1 a
x
?
x0
?x '?dx ' ? C0
从中易解得 :
f1 ?x??
1 [?
2
?x ??
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C ]
f2 ?x??
1 [? ?x ??
2
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C]
9
故原方程满足初始条件的特解可以表示为:
容易知道 ,若设 ? ? b2 ? 4ac ,则分别当 ? ? 0、? ? 0 和
? ? 0 时该方程分别对应于 xy 平面上的双曲线、抛物线和椭圆。
一般地 ,对于一个任意的二次函数
n
n
? ? ? ? f x1, , xn ? aij xi x j ? bi xi ? c
总可以化为如下标准形式：
i, j?1
11
? ? ? ? 时间(足够短 ) 内,外力的冲量为 f x,? ? ? ,? 时刻该冲量在弦
中引起的振动可以由以下方程确定 :
??vtt ? a2vxx ? 0, ??? ? x ? ?? ,? ? t ? ? ? ? ? ?
? ?
v
?x,?
??
0,
vt ?x,? ??
f
?x,? ?
而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加 ,即:
n
? di 'uxixi ? c 'u ? f ' ? 0 i
7
行波法 d'Alembert 公式
偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
第一章 定解问题
第一章 定解问题§1 基本概念1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地点、各个时刻之间相互制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）2．数学物理方程的分类数学物理方程按其所代表的物理过程可分为如下三类：（1）描述振动和波动特征的波动方程f u a u tt +∆=2（2）反映输运过程的扩散（或热传导）方程f u D u t +∆=（3）描述稳定过程或稳定状态的poisson 方程h u -=∆其中 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆ 22t u u tt ∂∂=，t u u t ∂∂= 而未知函数u (x , y , z , t )在三类方程中分别表示位移、浓度（或温度）和稳定现象特征；a 和D 表示波速和扩散（或热传导）系数；f 和h 是与源（汇）有关的已知函数，当f =0或h =0时，相应的方程称为齐次方程。
3．用数学物理方程研究问题的一般步骤（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部分）（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳定性），并作出适当的物理解释4．求解数学物理方程的方法求解数学物理方程的方法大致可以分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green 函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；数值方法§2 数学物理方程的建立或推导1．建立（或推导）数学物理方程的步骤建立数学物理方程一般步骤step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与邻近单元体之间的相互关系； step2：根据相关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达这个作用；step3：化简、整理即得所研究问题满足的数学物理方程。
2．建立（导出）方程时经常要用到的物理定律（1）Newton 第二定律：F=ma（2）Fourier 实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。
【数理方程】92偏微分方程的定解问题
即
（ u n
u）S
u1
S
其中 k1 / k
因此，边界条件可以写成：
（u n
u）S
g( x,
y, z,t)
其中u 表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向
n
导数，g( x, y, z, t)表示点（x, y, z) 上的已知函数，
k1 / k为已知正数.
例
杆的热传导问题，x =L 的一端处在一种自由
稳定的解有实用价值，否则所得的解就无使用价值。
注意
1）定解条件通常总是利用实验的方法获得的， 因此所得的结果总是有一定的误差。 2）当所得的解变动很大时，这种解显然是 不符合客观实际要求的。 3）如果一个定解问题存在唯一且稳定的解， 则此问题称为适定的。 4）讨论定解问题的适定性往往十分困难， 而我们所讨论的定解问题，它们的适定性都 是经过证明了的。在以后的讨论中，我们应 把着眼点放在讨论定解问题的解法上。
面流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x(l x)，
试写出相应的定解问题。
2
答案
热传导温度的微分方程为：
u t
a2
2u x 2
这 里a2 k .
c
x(l x) 初始条件： u t0 2
边界条件： u x0 0
定解问题为：
u
k x
xl
q
u t
a2
2u x 2
x(l x)
u t0
答案
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x 2
初始条件：
e u t0 l x
u t t0 0
边界条件：
u x0 0
u x
xl
0
定解问题为：
§6.5 偏微分方程定解问题的变分形式
⋅ ∇u
+
k 2u
−
2
fu
dV
−
1 2
∫∫∂Ω u
∂u ∂n
dS
（18）
将（15）式代入（18）式，最终得到第三类齐次边界条件下 Helmholtz 方程对应的泛函：
[ ] J[u] =
1 2
∫∫∫Ω
∇u
⋅ ∇u
+
k 2u
−
2
fu
dV
+
α 2
∫∫∂Ω
⎜⎛ ⎝
∂u ∂n
⎟⎞2 dS ⎠
（19）
上式中第一项也等于零，因此泛函仍然为：
J[y] =
∫b⎡1
⎢ a ⎢⎣ 2
p(x)⎜⎛
⎝
dy ⎟⎞2 dx ⎠
+
1 q(x)y2
2
−
⎤ fy⎥dx
⎥⎦
{ } 定义域 D[y] = y y(x)∈ C2[a,b]
（11）
利用微分算子公式直接推导的泛函与利用变分法逆推得到变分的结果完全一致，因此， 以后推导定解方程对应的泛函，可直接利用公式（9）。 三、泊松方程的边值问题
本节主要研究偏微分方程定解问题的变分形式。 一般形式的二阶偏微分方程：
⎪⎧− ⎨
d dx
⎡ ⎢⎣
p(x)
dy(x)⎤
dx ⎥⎦
+
q(x)y(x)
=
f
(x),
a≤ x≤b
⎪⎩y(a) = y1, y(b) = y2
（1）
一、利用变分法逆推
由前面泛函知识逆推可知，上述定解方程来自泛函的一阶变分 δJ = 0 ，即
（4） （5）
δJ
1 偏微分方程定解问题
均匀杆形变产生的应力与应变 满足胡克定律。 F
S =E
∆L
L
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
相对伸长量： 原长：dx t时刻长度 dx + u ( x + dx, t ) − u ( x, t ) (现长)：
∂ 2u ∂u 2 2 =a + f (t, x ) 2 2 ∂t ∂x
ut + 6u x u x + u xxx = 0
(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 自由项 偏微分方程中 项称为自由项 自由项． 项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
∂ 2u = a 2∇ 2u + f (t , x) ☆波动方程： ∂t 2
2 2 2
每个时刻都有： 长度ds不随时间而变化 不随时间而变化： 每个时刻都有：ds ≅ dx，长度 不随时间而变化： 胡克定律
T= T1=常数 =常数
代入(2) 代入(2)
2
∂ 2u ∂ ∂u ∂ 2u ρ 2 = T + g (t, x ) = T 2 + g (t, x ) ∂t ∂x ∂x ∂x
物理定律： 物理定律：
1、能量守恒 、
Q = Q流入 + Q放出
∂u Qn = − k ∂n
热传导系数 热流密度矢量
v n
2、傅里叶热传导定律 、
16
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
傅立叶热传导定律： 傅立叶热传导定律： 在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为 ， 在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为h，面 积为S，温度分别为 的平行平面， 秒内， 积为 ，温度分别为T1、T2的平行平面，在∆t秒内，从一个 秒内 平面传到另一个平面的热量∆Q，满足下式： 平面传到另一个平面的热量 ，满足下式：
偏微分方程答案
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。
由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。
同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。
利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。
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第一章．偏微分方程定解问题偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u(x) , ( , , , )x 及其若干阶偏导数的关式x1 x x n2u u u u 。
（1）F(x,u, , ,..., ,..., ) 0mx x x n x x x1 2 1 2m m mn1 2 n其中，最高阶导数的阶数m 1 为方程的阶。
我们把从物理问题中导出的偏微分m m m2 n方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。
如果（1）式中与u(x) 有关的部分是u 及u 的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。
偏微分方程的解：如果多元函数u( , ,, ) 在空间区域V 内具有方程中出现的各阶连x1 x x n Rn2续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域V 内的解或称古典解。
1.1 数理方程中的三个典型方程1.1.1 数理方程中的三个典型方程：2ua u f (t, x) （波动方程）2t2发展方程ua u f (t, x) （热传导方程）2t x ),nn1,2,3稳态方程: x ,u f ( ) （场位方程）x (x ,x ,1 21.2 定解问题及其适定性：1.2.1 通解和特解偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：例1.2.1：求解二阶偏微分方程 2 0u ，u u(,) 。
解：两边依次对，积分，得u ，f () g()对于任意C ( )函数f 和g ，都是方程在全平面的解。
1 R#称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。
通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。
但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解来满足实际需要。
例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维Lapl a ce 方程0 u ，周期解u e y ，多项式解u 的中心对称解 ln 1 (r 0)x sin2ru 等。
x2 y 21.2.2 定解条件方程的解中可以出现任意函数，不能确定一个真实的运动，这是因为在建立方程的过程中，仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。
而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。
通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。
泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。
常见的定解条件有：1.初始条件：如果方程中关于时间自变量t 的最高阶导数是m 阶的，则u um 1u 为泛定方程的初始条件。
0 , ,...,t tt0 t 0m 1tu2.边界条件：( u) (t)Vn第Ⅰ类边界条件：=0。
例如：( )u x 1 ,, tx y y z z1 1u第Ⅱ类边界条件：=0。
例如：( )tx fxx1u第Ⅲ类边界条件： 0, 0。
例如：( 2 ) ( )ux 3 tx1.2.3 定解问题及其适定性常见的定解问题类型：初值问题：泛定方程+ 初始条件；边值问题：泛定方程+ 边界条件；混合问题：泛定方程+ 初始条件+ 边界条件。
如果泛定方程在区域V 内的解及其在定解条件中出现的偏导数都连续到V 的边界，并且在边界上满足定解条件，则称此解为定解问题的解（古典解）。
当定解条件的偏差在一定的小范围时，相应的定解问题的古典解的偏差可以控制在任意事先给定的小范围内，则称该解是稳定的。
古典解的稳定性很重要，因为实际测量得到的定解条件存在一定的误差。
如果一个定解问题的古典解存在、唯一和稳定，则称此定解问题是适定的。
调和方程的混合问题是不适定的。
1917 年阿达玛（Hadamard）曾给出著名例子：定解问题u u2 2x y2 2u ux0xu 0,y0 0,0,uyy01nx,nx,siny 0,n为整数有唯一解：( , ) 1 sin sinh .u 2 nx nyx yn当n 时，初始条件一致趋于0，但对任意固定的y，当n 时，解u(x, y) 无界，因而解不稳定。
这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：通解法求两个自变量的一阶线性偏微分方程：今有两个自变量的一阶线性偏微分方程：(*)u ua(x, y ) b(x, y ) c(x, y)u f (x, y )x yD 上的连续函数，且a(x, y), b(x, y)不同时为其中，系数a(x, y), b(x, y), c(x, y) 是平面区域R20。
f (x, y) 在D 上连续，称为方程的非齐次项。
若f (x, y ) 0, 则方程是齐次的。
情况1：如果在D 上，a(x, y ) 0 ，b(x, y ) 0 ，方程(*) 改写为( y) ，(1)u c(x, y) f x,uy b(x, y) b(x, y)利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：u(x, y ) yx ,c(x,s)c( )f (x ,)(d) ds0 b(x ,b(x,s)) yy 0e y edyb(x ,)g(x )，其中g(x) 是任意的1C 函数。
情况2：如果在D 上，a(x, y)b(x, y ) 0 ，方程(*)不能直接积分求解，试作待定的自变量代换(x ,( x, y) y)，要求其雅可比（Jacobi）行列式(,) x yJ( ,) 0，(x, y )x y以保证新变量，与旧变量x，y 之间的双向映射。
利用链式法则u u u u uu，,x x x yy yu 的方程变为u u (,) 的新方程u(x, y )u u( . (2)a b ) (a b ) cu fx y x y若取为齐次一阶线性偏微分方程(3) a(x, y ) b(x, y ) 0x y的解，则新方程(2) 成为(1) 型的方程u( ，(*”)a b ) cu fx y对积分便可求出通解。
的特解就行了（引入的目的仅仅是为了让由于对只要求它是( , ) ( , ) 0a x yb x yx y成立），因此可以用一种比较方便的方法求一个符合要求的。
a(x, y ) b(x, y ) 0x y，它的解与相应的常微分方程以下求解( , ) ( , ) 0a x yb x yx y特征方程：a(x, y)dy b(x, y)dy 0 或dx dy (4)a(x, y) b(x, y)的解的关系为：定理1：若(x, y ) h（常数）是一阶常微分方程(4)在区域D 内的隐式通解（积分曲线族），则(x, y)是一阶线性偏微分方程(3)在区域D 上的一个特解。
证：若满足a bx y，对于dx dyh 两边微分dx 0 。
反之亦成立。
x y a b通过以上的铺垫，下面总结性地讨论情况2 下对(*)的求解方法：一般：由常微分方程理论，一阶常微分方程(4) 在区域D 内存在且仅存在一族独立的积分曲线。
如果求出了(4) 的积分曲线族(x, y ) h ，再任取函数(x, y)，使得在D 上J (,) 0，以此和代换原变量x, y ，则一阶线性偏微分方程(*)可化为可以积分求通解的方程(*”)。
如果再给定定解条件，则可以求出通解中的任意函数。
特殊：当c(x, y) f (x, y) 0时，方程(*)即为方程(3) （我们对于方程(3)只想求其一个特解，但u ，其通解为u g() 。
g()为任意C 函对原方程(*) 则是要求其通解），相应的方程(*”)为 0数。
故原方程(*)的通解为g((x, y)) 。
常微分方程(3)成为一阶线性偏微分方程(*) 的特征方程，其积分曲线称为特征曲线。
例1.3.1 求解右行单波方程的初值问题uuat xu t 0 (x )0, t 0, x其中，a 0 为常数。
dt 解：特征方程为1d xa，特征线族为x at h 。
令x at ，x ，有J 0，则方程化u为 0。
于是泛定方程的通解为u g () g(x at) ，其中g ()是任意C 函数。
由初始条件1u t 0 g(x )(x)得该初值问题的解为u(t, x ) (x at) 。
# 1.3.2 n个自变量的一阶线性偏微分方程(n 2）通解法求n 个自变量的一阶线性偏微分方程：n 个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为nubj cuxj j1 f，(9)其中，b ( , ,, ), 1,2,, ; ( , ,, ), ( , ,, ) 是已知的区域D 上j b x x x j n c c x x x f f x x x R j 1 2 n 1 2 n 1 2 nn 的连续函数。
与n=2 时一样，先求解相应的齐次方程n ub . (10)j xj j1为此，引入特征方程组dx dx dx1 (11)2 nb b b1 2 n它相当于n 1个一阶常微分方程，从中解出n 1个隐函数j(x1 x x h ( j 1, 2, ,n 1), , , )2 n j称为常微分方程组的n 1个首次积分。
方程(10) 与方程(11) 的首次积分之间有确定的关系：定理2 ：若x x x h 是特征方程组(11) 在D 内的一个首次积分，则是一阶线( 1, , n ), Rn2性偏微分方程(10) 在D 上的一个解。
其证明方式同两个自变量的的情况。
现在归纳求解一阶线性偏微分方程(9) 的方法：由定理2，如果找到特征方程组(11) 的n 1个独立的首次积分，j (x ,1, x , x ) h ( j 1, 2, ,n 1)2 n j作自变量的变量代换(首次积分)j x x x j n( , , , ) ( 1, 2, , 1)j 1 2 n(任取的函数)n使得在D 上1 1 1x x x1 2 n,(, ,) 2 22J( 1,,,)1 2 nx x x2 n(x , x ,, x )1 2 n1 n2n n nx x x1 2 n将新变量( , ,, )代入方程(9) ，由链式法则得1 n2.nuu n n u n nb b k) ( b )( kj j jx x xj j k jk k1 1 1kj j 1 j 1由定理2 知，当k 1,2,,n 1时，有nb kj xj 1ju 的方程(9) 变成u ( ,,,) 的方程u(x1, x x n ), , u2 1 2 nnu(12)( b j n cu) f .j 1xj n对积分，可得(12) 的通解u ( ,,,) ，再代回原来的自变量，便得原方程(9) 的通解。
n 1 2 n特殊情况：当c( , ,, ) ( , ,, ) 0 时，方程(12) 变为x1 x x n f x x x n2 1 2un其通解为( , , , )ug1 2 n 1其中，g 为任意n 1元C 函数。