隐函数定理及其在几何上的应用

隐函数定理及其在几何上的应用【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。

讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。

同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。

【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明隐函数存在惟一性定理设方程 ()0,=y x F 中的函数()y x F ,满足以下四个条件： (i) 在以 为内点的某一区域D 上连续 ;(ii); (初始条件 );(iii) 在D 内存在连续的偏导数;(iv).则在点0P 的某邻域()D P U ∈0内 , 方程()y x F ,＝0唯一地确定一个定义在某区间()αα+-∈00,x x x 内的隐函数()x f y =，使得 ⑴ 当()00y x f = ，()αα+-∈00,x x x 时， 有(())()0,P U x f x ∈且()()0,≡x f x F ；⑵ 函数()x f 在区间()αα+-∈00,x x x 内连续。

证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设()0,00>y x F y 因为()y x F y ,连续，所以根据保号性0>∃β 使得()0,>y x F y ，()S y x ∈,其中[][]D y y x x S ⊂+-⨯+-=ββββ0000,, (b) “正、负上下分 ” 因()0,>y x F y ，()S y x ∈,，故[]ββ+-∈∀00,x x x ，把()y x F ,看做y 的函数， 它在[]ββ+-00,y y 上严格递增，且连续（据条件 (i)） 特别对于函数()y x F ,0，由条件可知()0,00<-βy x F ，()0,00>+βy x F(c) “同号两边伸”因为()β-0,y x F ，()β+0,y x F 关于x 连续，故由（b ）的结论，根据保号性α∃，()βα≤<0，使得()β-0,y x F ＜0，()β+0,y x F ＞0，()αα+-∈00,x x x(a) 一点正,一片正++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ x 0x 0x β-0x β+•0y 0y β-0y β+y SO (b) 正、负上下分＋＋＋•••_ _ _ +_0 xyO 0x β-0x β+0x y β+y β-0y (c) 同号两边伸•＋＋＋＋－ － －－ x 0x yy O 0x α-0x α+-y βy β+••(d) “利用介值性”()αα+-∈∀00,ˆx x x，因()y x F ,ˆ关于y 连续， 且严格递增，故由（c ）的结论，依据介值定理，存在惟一 的()ββ+-∈00,ˆy y y，满足()0ˆ,ˆ=y x F 由xˆ的任意性，这就证得存在惟一的隐函数： ()x f y =，其中{()().,,,0000ββαα+-=∈+-=∈y y J y x x I x 若记()J I P U ⨯=0，则定理结论[1]得证。

下面再来证明上述隐函数的连续性:即()αα+-∈∀00,x x x ，欲证上述()x f 在x 连续。

如右图所示，0>∀ε，取ε足够小，使得βεεβ+≤+<-≤-00y y y y ，其中()x f y =.由()y x F ,对y 严格增，而()0,=y x F ，推知()0,<-εy x F ，()0,>+εy x F . 类似于前面（c ），0>∃δ，使得()()ααδδ+-⊂+-00,,x x x x ， 且当()δδ+-∈x x x ,时，有()0,<-εy x F ，()0,>+εy x F .类似于前面（d ）,由于隐函数惟一，故有()εε+<<-y x f y ，()δδ+-∈x x x ,， 因此()x f 在x 连续。

由x 的任意性，便得证()x f 在()αα+-00,x x 上处处连续。

..x xOyδ-x δ+x y ε-y ε+y β-0y β+0y ＋＋＋＋ －－－－ 0P . .(d) 利用介值性＋＋＋＋ － －－ － x0x y0y O 0x α-0x α+0()U P0y β-0y β+()y f =•••隐函数可微性定理设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 ,且()()()y x F y x F x f y x ,,-=' . 证 设{()().,,,0000ββαα+-=∈+-=∈y y J y x x I x ，且x x ∆+∈I ，则()J x x f y y ∈∆+=∆+.由条件易知F 可微，并有()0,=y x F ，()0,=∆+∆+y y x x F . 使用微分中值定理，θ∃()10<<θ，使得()()()()y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=θθθθ,,,,0，⇒()()y y x x F y y x x F y xy x ∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ,, . 因y x F F f ,,都是连续函数，故0y 0→∆→∆时x ，并有()()()y y x x F y y x x F y x x f yx x x ∆+∆+∆+∆+-=∆∆='→∆→∆θθθθ,,lim lim00=()()y x F y x F y x ,,-，()J I y x ⨯∈,.显然()x f '也是连续函数。

隐函数组定理设方程组 {),,,(0),,,(==v u y x G v u y x F ，中的函数F 与 G 满足下列条件：①在以点()00000,,,v u y x P 为内点的某区域4R V ⊂上连续；②()()000==P G P F ,(初始条件)； ③在 V 内存在连续的一阶偏导数；④()()0,,0≠∂∂=P P v u G F J. 则有如下结论成立：a. 存在邻域()()()V W U Q U P U ⊂⨯=000，其中()()000000,,,v u W y x Q ==，使得()()()()00,!,,W U v u Q U y x ∈∃∈∀即有 {()()y x v v y x u u ,,==，()()()()00,,,W U v u Q U y x ∈∈；且满足()000,y x u u =，()000,y x v v =以及{()()()()()(),0,,,,,,0,,,,,≡≡y x v y x u y x G y x v y x u y x F ()()()()00,,,W U v u Q U y x ∈∈. b. ()()y x v y x u ,,,在()0Q U 上连续.c. ()()y x v y x u ,,,在()0Q U 上存在一阶连续偏导数，且有()()()()()()()()y u G F J y v v y G F Jy u x u G F J x v v x G F J x u ,,1,,,1,,1,,,1∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ .2 隐函数定理在几何上的应用 应用一：平面曲线的切线与法线设平面曲线方程为. 有.切线方程为 ,法线方程为 .例1 求笛卡尔叶形线在点处的切线和法线 .解：设()()xy y x y x F 92,33-+=，易得在点处满足隐函数定理条件。

易算出)12,15(),(-=y x F F ，于是所求切线与法线方程为：()()()().01354,0115212;0645,0112215=-+=-+-=--=---y x y x y x y x 即即应用二： 空间曲线的切线与法平面（1） 曲线由参数式给出 :.切线的方向数与方向余弦.切线方程为 .法平面方程为 .例2 求曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点处的切线与法平面方程。

解 曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2t t t -，在2π=t 对应点的切向量为2)。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2(22)2x y z π-++-+-=2402x y z π++--=.（2） 曲线由两面交线式给出 :设曲线 ：点在 上.切线方程为 .法平面方程为.例3 求曲线⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点处的切线与法平面方程。

解 曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ，法平面方程为 z x =应用三：曲面的切平面与法线设曲面 的方程为 , 点在 上.切平面方程为.法线方程为 .例4 求曲面3432y x z +=，在点)35,1,2(的切平面与法线方程：解 曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得到(64,9,1)-，所以切平面方程为0)35()1(9)2(64=---+-z y x ，即 6491020x y z +--=，法线方程为13591642--=-=-z y x . 【参考文献】1 同济大学应用数学系.《数学分析》.第3版.北京：高等教育出版社，2 华中科技大学数学系.《<数学分析>教材辅导与习题详解》.北京：高等教育出版社.。