对数与对数的运算第二课时(教案)
对数运算法则教案
§2.2.1 对数与对数运算（第2课时)--对数的运算法则一、教学内容分析：本节课课程标准要求理解对数的运算法则，能灵活运用对数运算法则进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念"后进行的,它是上节内容的延续与深入，同时也是研究学习后续知识对数函数的必备基础知识.高考大纲中要求要理解对数的概念及其运算法则。
二、教学目标：知识与技能目标:理解并掌握对数法则及运算法则，能初步运用对数的法则和运算法则解题．过程与方法目标：通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 情感态度与价值观目标：通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．三、教学重难点：教学重点:对数的运算法则及推导和应用;教学难点：对数运算法则的探究与证明．四、教具准备：幻灯片、课件、多媒体五、教学方法本课采用“探究——发现”教学模式六、 教学过程:（一）复习引入1、对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0)2、指数的运算法则;m n m n m n m na a a a a a +-⋅=÷= ()mn n m a a =我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则,得出相应的对数运算法则吗？（二）运算法则（1）我们知道m n m n a a a +⋅=,那m n +如何表示，能用对数式运算吗？解: ,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设 于是,m n MN a +=由对数的定义得到log ,m a M a m M =⇔=log n a N a n N =⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=N M MN a a a log log log +=即：两数积的对数，等于各数的对数的和。
提问：你能根据指数的法则按照以上的方法推出对数的其它法则吗?（2)我们知道 ，那m n -如何表示，能用对数式运算吗？即:两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。
《对数与对数运算(2)》的教学设计
《对数与对数运算2》导学案一、温故而知新：1、指数与对数间的关系 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,底数范围是 ＿＿＿, 真数范围是 ＿＿＿＿ 。
2、常用的对数等式： ㏒a a=＿＿＿ , ㏒a 1= ＿＿＿ .3、指数的运算性质：(1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (2) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (3) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
二、探究对数的运算性质：1.自主完成表格，并从对数值间关系的角度，分析表中各列数据，你有哪些发现？如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：M a (log =)N ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,=NMa log ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,n a M log =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
学生任选一组验证：log a M + log a N = ＿＿ ，M a (log =)N ＿＿ ,log a M - log a N = ＿＿ ， =NMalog ＿＿＿ ， n ·log a M = ＿＿ ， n a M log =＿＿＿＿ 。
（充分验证后填好前面的结论）2.运算性质的证明：① M a (log =)N M a log ＋N a log ；证明如下：NM MN n m MN a MN N n M m N a M a a a a a a a a n m a a n m n m n m log log )(log )(log log ,log ,,,+=+=======++，即，于是则令② =NMa log M a log －N a log ；证明一下？③ n a M log n =M a log )(R n ∈．证明一下？三、变式训练1.求值： （1）㏒（2）㏒31272.化简：㏒1014—2㏒1073+㏒107—㏒1018四、本节我学到了什么？（有总结才有提高噢！）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
第二课时 对数的运算性质(二)
第二课时对数的运算性质(二)课标要求素养要求1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 通过掌握对数的运算性质及换底公式，用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.通过用对数解决实际问题，提升数学建模素养.自主梳理换底公式log a N＝log c Nlog c a，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1.特别地log a b·log b a＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1).换底公式中的底数c有什么要求？换底公式中的底数c可以是大于0且不等于1的任意数.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)log52＝log215.(×)提示log52＝1 log25.(2)log23log25＝log235.(×)提示log23log25＝log53.(3)log a M＋log b N＝log a(MN)(M>0，N>0).(×)提示 底数都为a 才是正确的. (4)log 32·log 23＝1.(√)2.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 D解析 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5 ＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.3.若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝( ) A.a ＋b B.a －b C.b aD.a b答案 D解析 log 75＝lg 5lg 7＝ab .4.若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________. 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4， 所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81.题型一 换底公式的直接应用 【例1】 (1)log 29·log 34＝( ) A.14B.12C.2D.4(2)log 58log 52＝( ) A.log 54B.3log 52C.2D.3答案 (1)D (2)D解析 (1)原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. (2)原式＝log 28＝3.思维升华 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数. 【训练1】 计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 答案 56解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56. 题型二 有附加条件的对数式求值问题 【例2】 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值； (2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z . 解 (1)法一 由3a ＝4b ＝36， 得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364， ∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 法二 由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得a log 63＝b log 64＝log 636＝2， ∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b ＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 5， 由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56. 思维升华 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练2】 (1)已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b ＝2，则M ＝________. (2)若实数a ，b 满足2a ＝5b ＝10，则下列关系正确的是( ) A.2a ＋1b ＝2 B.1a ＋1b ＝1 C.1a ＋2b ＝1D.1a ＋2b ＝12答案 (1)15 (2)B解析 (1)由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ， 故1a ＋1b ＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.(2)∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2， 1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故选B.题型三 用代数式表示对数【例3】 已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645. 解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b .又log 189＝a ，于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 思维升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 【训练3】 (1)若ln 2＝a ，ln 3＝b ，则log 418＝( ) A.a ＋3b a 2 B.a ＋3b 2a C.a ＋2b a 2D.a ＋2b 2a(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. (1)答案 D解析 log 418＝ln 18ln 4＝ln （2×32）2ln 2＝ln 2＋2ln 32ln 2＝a ＋2b2a .(2)解 ∵log 23＝a ，∴1a ＝log 32，又log 37＝b ， ∴log 4256＝log 356log 342＝log 3（7×8）log 3（7×2×3）＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝b ＋3ab ＋1a ＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 题型四 对数的实际应用【例4】 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留整数， lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫34x＝13，∴x ＝log 3413＝lg 13lg 34＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈－0.477 10.477 1－0.602 0≈4. 故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13. 思维升华 解决对数应用题的一般步骤【训练4】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 解 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时， 它的游速是1 m/s.(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v 1，θ1， 提速后的游速、耗氧量分别为v 2，θ2. 由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，∴12log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2100÷θ1100＝1，即log 3θ2θ1＝2， 得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.1.记牢1个知识点换底公式.2.注意2个问题(1)运用换底公式注意成立条件.(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.一、选择题1.若log513·log36·log6x＝2，则x＝()A.9B.19 C.25 D.125答案 D解析由题意知lg13lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝－lg xlg 5＝2，∴lg x＝－2lg 5＝lg 1 25，∴x＝1 25.2.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为()A.6B.9C.12D.18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3.∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.3.设log23＝a，log215＝b，则log5395＝()A.3a＋b2b－aB.2a＋b2b－aC.3a＋b2a－bD.2a＋b2a－b答案 A解析log5395＝log295log253＝2log23＋12log25 log25＋12log23＝2a＋12（log215－log23）log215－log23＋12log23＝2a＋12（b－a）b－a＋12a＝3a＋b2b－a.4.log916·log881＝()A.18B.118 C.83 D.38答案 C解析log916·log881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.5.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b＝log c aB.log a b·log c a＝log c bC.log a(bc)＝log a b·log a cD.log a(b＋c)＝log a b＋log a c答案 B解析log a b·log c b＝lg blg a·lg blg c≠log c a，故A错误；log a b·log c a＝lg blg a·lg alg c＝lg blg c＝log c b，B正确；C，D显然错误.二、填空题6.若2a＝3，b＝log32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.答案15 2解析∵2a＝3，∴a＝log23，∴ab ＝log 23·log 32＝log 23·1log 23＝1， 3b ＋3－b ＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52. 7.若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________. 答案 829解析 因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 23＋2－2log 23＝2log 232＋2log 23－2＝9＋19＝829.8.已知log 32＝m ，则log 3218＝________(用m 表示). 答案m ＋25m解析 log 3218＝log 318log 332＝log 3（2×32）log 325＝log 32＋25log 32＝m ＋25m .三、解答题9.计算：(1)log 89·log 2732； (2)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5). 解 (1)原式＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. (2)原式＝(log 25＋log 220.2)(log 52＋log 520.5) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 25＋12log 20.2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋12log 50.5 ＝(log 25＋log 20.212)(log 52＋log 50.512) ＝log 2(5×0.212)·log 5(2×0.512) ＝log 2(5×5－12)·log 5(2×2－12) ＝log 2512·log 5212＝lg 52lg 2·lg 22lg 5＝14.10.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.解 (1)由log 1227＝a ，得lg 27lg 12＝3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a lg 33－a2a lg 3＋lg 3＝4（3－a ）3＋a.(2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法二 原式＝(log 253＋log 2252＋log 2351)·(log 52＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝133×3＝13.11.(多选题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( ) A.ab ＋bc ＝2ac B.ab ＋bc ＝ac C.2c ＝2a ＋1bD.1c ＝2b －1a答案 AD解析 令4a ＝6b ＝9c ＝N (显然N ＞0且N ≠1)，则a ＝log 4N ，b ＝log 6N ，c ＝log 9N ，∴1a ＝log N 4，1b ＝log N 6，1c ＝log N 9，∴log N 4＋log N 9＝2log N 6，即1a ＋1c ＝2b ， ∴bc ＋ab ＝2ac .12.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝13，log 74＝b ，则log 4948＝________(用含a ，b 的式子表示). 答案 a ＋2b 2解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝13，则a ＝log 1713＝log 73，又b ＝log 74， ∴log 4948＝log 748log 749＝log 7（3×16）log 772＝log 73＋2log 742＝a ＋2b 2. 13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y .(1)解 设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py 得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明 由(1)知1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y . 所以原式得证.14.已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两实根，且关于x 的方程x 2－(lg a )·x －(1＋lg a )＝0有两个相等实数根，求实数a ，b 和m 的值.解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝1 ①lg a ·lg b ＝m ， ②（lg a ）2＋4（1＋lg a ）＝0， ③ 由③得(lg a ＋2)2＝0，所以lg a ＝－2.代入①，得lg b ＝1－lg a ＝3；代入②，得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6. 所以a＝0.01，b＝1 000，m＝－6.。
教学设计3：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1 第2课时对数的运算（一）教学目标1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. （2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程课后作业作业：习题2.2 学生独立完成巩固新知提升能力。
《对数与对数运算》第二课时 教学设计
《对数与对数运算》第二课时 教学设计一、概述：学科：数学年级：高一课时：1个课时内容：对数运算的法则本节课的价值及重要性：让学生体会重要的数学思想方法，如归纳的思想，类比的思想；掌握对数运算的法则.二、教学目标知识与技能：掌握对数运算的法则，并能理解这些法则的依据.过程与方法：通过对数运算性质的推导与探究过程，培养学生“合情推理”，“演绎归纳”的数学思想.情感、态度与价值观：通过数学思想的运用，培养学生“从特殊到一般”的归纳思维，以及从指数的运算法则到对数的运算法则的类比思想，大胆探索，小心求证，实事求是的科学品质.三、教学重点与难点教学重点：对数运算的性质教学难点：对数运算的性质的探究过程及方法四、教学资源多媒体，教学卡片，人教版教师参考书五、教学设计思路教材分析：教科书的思路是根据指数与对数的关系及指数运算性质，推导对数运算的性质.教学时，要注意将指数与对数的运算性质进行对照加以复习和巩固.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，只要求学生知道换底公式并利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.学情分析:对数对于学生来讲是一个全新的知识，学生对它并不熟悉，甚至可以说是很生疏，要自主地去探究对数的运算性质是有难度的.为此需要设计好教学的流程，为学生的探究创造条件.六、教学流程回忆过去 → 探究未知 → 实战演练 → 思考交流 →课堂练习→ 课堂小结 → 作业七、板书设计0,1,0,0,1log ()log log (2)log log log (3)log log ()a a a aa a n a a a a M N MN M NM M N NM n M n R >≠>>=+=-=∈如果则（）八、教学过程一、回忆过去问：对数是怎样定义的？答：如果x a N =（a＞０，a ≠１ ），那么x 叫做以a 为底N 的对数。
记作log a x N =.（PPT 投影）师强调：1.对数是一个数(log a N R ∈)2.指数式与对数式如何相互转化（PPT 投影）问：对数的几个结论?答：log 10,log 1a a a ==（PPT 投影）二、探究未知1）动手实践：填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质（PPT 投影）（PPT 投影）提示：可以让学生自己再找几组类似的数据，关系式中分别从指数值，对数值两个角度思考2）活动：活动1：请同学们类比上面两组数据分组讨论，根据指数的运算法则猜想对数的运算法则，a a =n n m m a a a-= （说明：教师在活动中巡视小组合作情况，对有需要的小组提供帮助. ）活动结束选取小组作为代表用实物投影仪展示学生的成果，并请学生作出说明，教师做适当2log 8补充.最后幻灯片播放法则1的证明.（PPT 投影）活动结束得出对数运算法则（对其中的真数，底数的范围进行说明，师生合作探讨）3）实战演练例1：计算12525361log (93);(2)lg100;(3);(4)log Ine -⨯（）PPT 投影）例2：log ,log ,log .a a a x y z 用表示下列各式132232(1)log ;(2)log ;(3)log (4)log a a a a x x yz xy z yz -（PPT 投影）4）思考交流（PPT 投影）判断下列各式是否成立，如果不成立，举一个反例(1)lg()lg lg lg (2)lg lg (3)lg()lg lg lg (4)lg lg lg MN M NM M N N M N M NMM N N==+=-= 5）课堂练习：课本第68页练习题1，2，3（PPT 投影） 补充练习：（1）7lg142lglg 7lg183-+-（PPT 投影） （2（说明：对数运算时一般原则是把真数转化成质因子的乘积） 课后思考题：证明：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a =>≠>≠>且且（PPT 投影） 6）课堂小结：（1）对数的运算法则（2）运算的小技巧（真数转化成质因子的乘积）（3）数学方法：观察——归纳——总结——证明从特殊到一般（归纳思想）先猜后证（类比思想）即合情推理，演绎归纳（PPT 投影）7）作业：练习本 对数与对数运算2（PPT 投影）。
2.2.1对数与对数运算(二) 教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.2.1对数与对数运算（二） 教案学习目标：对数的运算性质．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；学习重点：证明对数的运算性质．学习难点：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．学习过程一、 复习1．对数的定义 b N a =log 其中 ),1()1,0(+∞∈Y a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明⑴：设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =q a ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =a log q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．证明⑵：设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log ∴q p N M a -=log 即证得N M NM a a a log log log -=．证明⑶：设a log M =P 由对数定义可以得M =p a ,∴n M ＝npa ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是否成立？ 不成立)10(log 2)10(log 10210-=-是否成立？ 不成立 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：（1）()z x y log a ===332log )3((2)log z y x zy x a a（4）z y x a3log =例2． 计算（1）25log 5（1）解：5log 25= 5log 25=2 （按照范例，求解（2）、（3）（4）题）（2）1log 5.0=（3）)24(log 572⨯=（4）5100lg =例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+(1)解： 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1； （按照范例，求解（2）、（3）题）(2);25log 20lg 100+ (3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+-评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1). 解：（1）M ＝lg20－lg0.001= lg 001.020=lg20000= lg2+ lg104≈4.3 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg 0A A <=> 0A A =10M <=> A= A 0 · 10M 当M=7.6时，地震的最大振幅为A 1= A 0·107.6 ；当M=5时，地震的最大振幅为A 2= A 0 · 105，所以，两次地震的最大振幅之比是 21A A = 507.6010A 10••A =5-7.610= 2.610≈ 398 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。
对数与对数的运算详细教案
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:1.知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力；3.情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：1 教法:讲解法，合作法.2 学法:类比学习法，合作学习法.3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.教学过程：1.创设情境，引入新知（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：51,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.125?2xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()1311%18y⨯+=即181.01?13y y =⇒=师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.对512a⎛⎫=⎪⎝⎭，大家认为是什么运算呢？a的值为多少呢？对于1180.125 1.01213xy⎛⎫==⎪⎝⎭和，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已知底数和幂值，求指数）.是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x y和的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数.2.探究新知⑴对数定义如果x a N=(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x =loga N（01a a>≠且）其中a叫对数的底数，N叫做真数.师：从上述定义要知道对数的记法为：logaN；读作：以a为底N的对数.师：得出logaN表示a的多少次幂为N.师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a＞0且a≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a＞0且a≠1．师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的,x y表示出来了：因为10.1252x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以12log0.125x=；因为181.0113y=，所以1.0118log13y=.师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看.⑵指数式和对数式的关系师: 讨论两者之间的关系前要明确a的取值范围是a＞0且a≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
高一(人教A版)第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算(第2课时对数及运算)
x loga|x| (3)loga|xy|＝loga|x|· loga|y|；(4)log y＝ . loga|y|
a
A．1 C．3
B．2 D．4
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【错解】 D
【错因】 产生错解的主要原因是没有准确掌握对数的运算性质．
(1)logax2＝2logax，不能保证x>0； (3)(4)虽保证了真数大于零，但是公式应用有误．
在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (3)关于换底公式的另外两个结论： ①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1.
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设x，y为非零实数，a>0，a≠1，则下列式子中正确的个数为(
)
(1)logax2＝2logax；(2)logax2＝2loga|x|；
(1) (2) (3) loga(MN)＝logaM＋log .aN loga(M/N)＝
logaM－.logaN
logaMn＝ nlogaM (n∈R).
2.对数换底公式 logcb logab＝log a (a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)； c 特别地：logab· logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
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(1)本例的解法均利用了换底公式，关于换底公式： ①换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对 数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题． ②换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法． 解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、 自然对数． (2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的 对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式； 还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．
对数与对数运算 教学设计 说课稿 教案
对数与对数运算（二）（一）教学目标1．知识与技能：理解对数的运算性质．2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．3．情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．（二）教学重点、难点1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.（三）教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程例1 计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 344932lg21+-； （2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++. 【解析】（1）方法一：原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--=5lg 212lg 21+=21)5lg 2(lg 21=+.方法二：原式=57lg 4lg 724lg+-=475724lg⨯⨯=21)52lg(=⨯. （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45； （2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.【解析】（1）1190lg 45lg 222== 1[lg 9lg10lg 2]2=+- 1[2lg 31lg 2]2=+- =-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266（2）log a 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=（3）由已知得：532532lglglglglgc bacbax=-+=，∴532 c bax=.【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M⇒N = M.。
优秀教案20-对数与对数运算(2)
2.2.1对数与对数运算（2）教材分析本节内容是数学1第二章 基本初等函数 2.2.1对数与对数运算 的第二课时.对数与对数运算是学生学习了指数运算后学习的又一重要运算，要求理解对数的运算性质，能灵活运用对数运算性质进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，是上节内容的延续与深入，也是为研究学习后续知识对数函数与性质的作必备的知识和思想上的准备，起到了承上启下的重要作用.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解对数运算性质的推导、证明及应用运算性质进行简单的对数运算、解决简单的数学问题.教学目标重 点: 探究、发现对数的运算性质及运算性质的简单应用. 难 点：对数运算性质的发现与证明以及正确使用对数的运算性质. 知识点：对数的运算性质.能力点：能利用对数运算性质解决简单的数学问题，通过自主探究发现对数的运算性质及证明，提高学生合情推理、等价转化和类比归纳等数学思维能力.教育点：经历由特殊到一般、由已知到未知、由具体到抽象的研究数学问题的过程，培养学生的观察力与团队合作精神，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：探究发现对数的运算性；并利用类比的方法证明对数的运算性质（2）和（3）. 考试点：利用对数的运算性质进行对数运算.易错易混点：运用对数运算性质时，学生容易忽略对数式中的底数、真数的取值范围；容易自创公式、误用公式，如：log ()log log a a a M N M N ±=±，log ()log log a a a M N M N ⋅=⋅等.拓展点：课外探究怎样进行不同底数的对数间的运算？为换底公式的讲解做铺垫.教具准备 多媒体课件、投影仪 课堂模式 学案导学 一、引入新课（一）知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题） 1.对数是怎样定义的？2.对数与指数有怎样的相互转化关系？3.指数有哪些运算性质？【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答问题，教师根据学生回答进行板书.【设计意图】“温故知新”学习新知识前的简单知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生的学习兴趣．通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备，更为学生自主探究铺平道路．二、探究新知 （一）归纳运算性质1.猜想问题：类比指数的运算性质，你能猜想对数的一些运算性质吗？[设计意图]培养学生自主发现问题、提出问题的能力，并为下一步探究发现对数运算性质指明方向. 2.探究、发现计算下列各式的值：（出示多媒体课件） （1）2log 64，2log 4，2log 16； （2）3243log 27，3log 9，3log 27； （3）23log 9，32log 9⋅. 师：请计算上述各组的对数值. 生：学生解答，得出答案：（1）2log (416)6⨯=，2log 42=，2log 164=； （2）3243log 227=，3log 2435=，3log 273=； （3）23log 94=，32log 94⋅=.师：引导学生分组讨论，你能发现各组对数值之间有哪些等价关系吗？ 生：分组讨论，同学间交流各自的意见，得出各组对数值之间的等价关系.222log (416)log 4log 16⨯=+； 333243log log 243log 2727=-；23log 932log 9=⋅. 师：将上述等式关系进行板书，并继续提问：你能发现一般形式的结论吗？例如：2log ()=?M N ⋅，3log =?MN，3log =?n M . 生：学生经过思考给出答案.222log ()=log +log M N M N ⋅，333log =log log MM N N-，33log log n M n M =.师：要注意M 和N 的取值范围(0)M N >，.对任意的底数a （01a a >≠，且）有没有更一般的结论呢？ 生：思考得出各自的成果，然后进行分组讨论，并最终分析得出小组成果. 师：将小组得出的成果进行投影展示.经过师生对话将小组成果进行完善，分析得出对数可能的运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么 （1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+； （2）log log log aa a MM N N=-； （3）log log ()na a M n M n R =∈【设计意图】通过具体对数计算进行引入，为学生的自主探究创设情景，引发学生探究知识的兴趣，培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力和由特殊到一般的科学思维方法.避免直接将公式抛给学生． 【设计说明】通过问题探究发现公式，培养学生分析、归纳、猜想的数学思维能力；通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的观察力与团队合作精神.（二）公式证明在上节课中，我们知道，指数式与对数式可以互化，即对数式可看作指数运算的逆运算，那么我们能不能把未知的对数问题转化为已知的指数问题呢？【设计意图】沟通本节内容与前面章节内容的联系，启发引导学生利用指数幂的运算性质及指数与对数的关系进行证明.分析：运用转化思想，通过假设，将对数式化成指数式，并利用指数幂的运算性质进行等价变形，进而证明对数运算性质．证明：设log log a a M m N n ==， ，由对数定义得：m na M a N ==，.+m n m n M N a a a ∴⋅=⋅=，log ()log log a a a M N m n M N ∴⋅=+=+.【设计意图】让学生明确由“归纳一猜想”是发现数学结论的有效方法；回归对数定义，让学生体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用，回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略． 师：你能按照以上的方法证明对数运算的其它性质吗？ 生：学生板演展示自己的证明过程.请同学们观察证明过程，若有问题引导学生一起指正、完善. 通过师生对话，最终给出完整的证明过程.【设计意图】通过自己推导证明另两条运算性质，使学生进一步理解对数与指数间的关系；培养学生的逻辑推理能力和自主发现问题、解决问题的能力，进而激发学生自主学习的热情.三、理解新知1.师：对数的运算性质中，各字母的取值范围有何限制条件？ 生：01a a >≠，且，00M N >>，． 师：判断下列两式的正误：（1）222log (10)2log (10)-=-； （2）lg[(2)(5)]lg(2)lg(5)-⋅-=-⋅-． 生：（1），（2）都不对，因为负数没有对数．师：很好，只有所给对数和所得结果中的对数都存在时，等式才能成立． 【设计意图】通过即行练习，进行辩错巩固，深化对运算性质适用范围的理解． 2.师：分析对数运算性质的结构特点，能用语言叙述运算性质吗？ 生：通过合作交流，分组讨论，得出结论. 师生共同总结运算口诀：（1）两个正数乘积的对数等于这两个正数对数的和； （2）两个正数商的对数等于这两个正数对数的差； （3）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.即：积的对数=对数的和；商的对数=对数的差；n 次方的对数=对数的n 倍.【设计意图】通过师生共同总结加强对公式正确形式的理解，正确认识公式、记忆公式，学会学习． 3.性质（1）可以推广到n 个正数的情形：111230,,,,01n a a M M M M >≠> ，且，123123log ()log log log log +++a n a a a a n M M M M M M M M ⋅⋅=+ .4.对数运算性质既可正用，也要注意逆用.【设计意图】为准确地运用新知——利用对数运算性质进行化简、求值、证明作必要的铺垫.四、运用新知例1（见教材例3） 用log a x ， log a y ，log a z 表示下列各式：（１）log a xy z ； （２）log a分析：正向利用对数运算性质直接化简.学生自主完成例1，并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案．解：（1）log axyzlog ()log log log log a a a a a x y zx y z =⋅-=+-；（2）log a22log (log log log log 112log log log .23a a a aa a a a x x x y z =-=+=+-[设计意图]培养学生反思、总结的习惯． 例2(见教材例4) 求下列各式的值：（1）752log (42)⨯； （2） （3）2(2)log (8)--. 解：（1）752log (42)⨯7522=log 4log 2+227log 45log 2=+72519=⨯+=；（2）15lg100=21lg105= 25=. （3）2(2)log (8)-- 2221log log 224-===- 点评：本题运算的实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减运算.第（1）小题是性质（1）和性质（3）的综合运用，注意先做积的对数，后做幂的对数；第（3）小题若拆成22log (2)log (8)---就要犯错了，要当心真数大于零（回扣理解新知部分）．[设计意图]巩固所学的运算性质，提高计算能力；通过简单的对数计算，使学生进一步熟悉对数运算性质的结构特点，学会正确选择公式，而不是死记公式．练习：教材68P ：1、2[设计意图] 通过练习规范学生的解题步骤，加强熟练应用公式的能力． 例3计算1324lg 2493- 分析：解本题的关键是充分运用对数的运算性质，把式子中的项拆开，在重新组合；运算时，一般先化简合并同类项． 解：（1）1324lg 2493-1411(lg32lg 49)lg8lg 2452322=--⨯+ 52321411(lg 2lg 7)lg 2lg(57)2322=--⨯+⨯ 51lg 2lg 72lg 2lg5lg 722=--++ 11lg 2lg522=+1lg(25)12=⨯= 思考：本题还有其它解法吗？学生：有！给出解法.（如有困难，提示学生逆向运用对数运算性质，引导学生将原式变形）方法二：1324lg 2493-213232lg()lg8lg(749=-+23lg lg8lg(77=-+17lg 42===．[方法总结]这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[设计意图]“通过一题多解”发散思维，掌握对数运算的变形技巧，体会运算性质的正用和逆用.（回扣理解新知部分）五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．知识：对数运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+； （2）log log log aa a MM N N=-； （3）log log ()na a M n M n R =∈2．思想：合情推理、等价转化、类比归纳和由特殊到一般的思想． 教师总结: 1.对数的运算性质2.对数运算的易错点（请同学们一定不要自创公式,要灵活运用公式）在发现对数运算性质的过程中运用了观察，归纳，猜想，类比等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想。
2019高考数学总复习第二章2.2.1对数与对数运算(第二课时)教案新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算（第二课时）本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第二课时，主要内容是探究对数的运算性质及换底公式，并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探究讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让学生去探究，对学生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导学生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的问题.1.教学重点：对数运算性质及其推导过程.2.教学难点：对数的运算性质点的灵活运用（1）温故知新；复习：对数的定义及对数恒等式（＞0，且≠1，N＞0），指数的运算性质.设计意图：对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．(2)问题探究：问题1：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？让学生探究，讨论；对数的运算性质：如果，那么（1）；（积的对数）（2）；（商的对数）（3）．（幂的对数）2.换底公式：若，则。
进行探究换底公式。
设计意图：让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．例3、用换底公式化简：（1）；（2）.总结：同底的对数之间的运算利用对数的运算性质进行，但同一个式子中出现不同底的对数时，要善于利用对数的换底公式化为同底对数进行运算。
4.2.2对数运算法则第2课时教学设计高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
4.2.2 对数运算法则教学课时：第2课时教学目标：1.体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，掌握对数的运算法则，并会简单应用；2.理解用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，掌握对数的综合运算；3.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用，经历数学运算法则的发现、论证、提炼过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．教学难点：对数的运算法则和换底公式的熟练运用．教学过程：一、情境与问题回顾：根据所学的指数函数的知识完成下表：（上节课的表格）学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算法则，并引导学生类比、推导其他运算法则.由同底数的幂的指数和对数的互相转化关系可猜想：（设,a M a N αβ==,0,1a a >≠）组织学生论证猜想，具体要求：（1）请各组同学选一个猜想的命题，判断它的正确性，并给出证明 （2）各组派一名代表的同学汇报【设计意图】体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，是学生经历数学运算法则的发现、论证、提炼的过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养． 二、对数的运算法则探究一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+ 证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =qN a =所以，M N ⋅=p q a a ⋅p qa +=()log a M N p q ⇒⋅=+即证得 ()log log log a a a M N M N ⋅=+性质一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+文字语言：积的对数等于对数的和，即同底的对数相加，底不变，真数相乘. 错误认识：“某同学认为：()log log log a a a M N M N ⋅=⋅”，请问错在哪里？证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =q N a =文字语言：商的对数等于对数的差同底的对数相减，底不变，真数相除.探究三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =证明：设log ,a M p =由对数的定义可以得： ,pM a =所以，n np M a =log na M np ⇒=即证得 log log na a M n M =性质三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =文字语言：一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.错误认识：“某同学认为：log log n na a M M =（）”，请问错在哪里？总之，对数的运算法则：()0,100a a M N >≠>>，，)2loglog k a a N N N +++log log a a M N - 【设计意图】通过小组讨论、论证猜想、小组汇报等环节，使学生个科学的态度研究数学问题和数学法则，引导学生用自然语言叙述上面的三个运算法则，通过展示错误的运算，提醒学生正确掌握对数的运算性质． 三、课堂练习题型一 对数运算性质的应用练习：求下列各式的值（3）22(lg 5)2lg 2(lg 2)+-说明：（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”……；（2）有时可逆向运用公式； （3）真数的取值必须是(0,＋∞)；（4）注意正确理解对数的运算法则.【设计意图】在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算法则，在练习中反馈学生对对数运算法则掌握的情况，巩固所学知识．思考2：（1）对数运算性质的实质是什么？（2）运用对数运算性质时应注意什么？对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．运算性质只有当M ＞0，N ＞0，a ＞0且a ≠1时才有意义． 思考3：已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg5≈0.699， 试计算：lg5lg 2=+lg5lg 2=- lg5lg 2=⨯ lg5lg 2=÷2log 5=问题：对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？【设计意图】深入研究对数的运算法则，针对同底的对数运算与不同底的对数运算进行分类讨论，启发学生将不同底对数转化为同底的对数运算的想法，引出换底公式.四、换底公式证明：设log ,a N p =由对数的定义可以得： ,pN a =注意：（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行计算、化简或证明；（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数.重要公式：换底公式常见的两种变形：（1）log log 1a b b a ⋅=，表示真数与底数互换，所得对数值与原对数值互为倒数； （2）log log n m N N mM M n=，表示对数的底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数的m n倍. 【设计意图】学生根据对数的定义推导对数的换底公式，了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系． 五、强化练习题型二 换底公式的应用求值：()()3948log 2+log 2log 3+log 3⋅ 练习：求下列各式的值（2）248525125log 125log 25log 5)(log 2log 4log 8)++++（ 拓展：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ； （2）log a ．题型三 对数的综合应用求值：（1）2102,103,100;aba b-==已知求【设计意图】利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数． 六、课堂小结1. 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：（1）“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数； （2）“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2．log a 1＝0，log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)在计算对数值时经常用到． 七、布置作业课本第23页练习A 第1.2.3题；B 第1—6题.。
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(a m ) n a mn (ab) n a n b n (a, b 0; m, n R ) 2.对数的运算性质： (1) log a MN log a M log a N M log a M log a N N (3) log a M n n log a M (2) log a 3.换底公式 log a b log c b log c a
(1) log a c log c a (2)(log 4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
五、归纳小结 引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善. 1.对数的运算性质 2.换底公式 六、课后延续 （一）回顾本课的学习内容 （二）课本 p74A 组第 3（5） 、 （6） ，4，6 板书设计 对数的运算
5.对比指数与对数. 三、即时巩固 【内容设置与处理方式】 1.学生独立完成或合作交流解决问题
(1)用log a x, log a y, log a z表示下列各式： log a xy z log a x2 y
3
z
(2)求下列各式的值 log 2 (47 25 ) lg 5 100
(3)求下列各式的值 log5 3 log 5 1 3 log 3 5 log 3 15
2.交流成果之后，规范求解. 参考解答：
xy log a ( xy ) log a z log a x log a y log a z z x2 y log a 3 log a ( x 2 y ) log a 3 z log a x 2 log a y log a 3 z z 1 1 2 log a x log a y log a z 2 3 (1) log a
1.a b N log a N b log a a b b，a loga b =b a a a
m n mn
设a m M , a n N , 则log a M m, log a N n 由a m a n a m n , 得MN a loga M loga N， 两边同时取对数得： log a MN log a a log aM log aN log a M log a N 例如： log 2 8 log 2 2 log 2 4
(2) log 2 (47 25 ) log 2 (214 25 ) log 2 219 19 lg 100 lg10
5 2 5
2 5
1 1 log 5 (3 ) log 5 1 0 3 3 5 log 3 5 log 3 15 log 3 log 3 31 1 15 (3) log 5 3 log 5
由a m a n a m n , 得MN a loga M loga N，两边同时取对数得： log a MN log a a log aM log aN log a M log a N (a 0, a 1)
2.教师总述对数的运算性质（1） 2 (3)(5) log 2 (3) log 2 (5) 是否成立？
log10 (10)2 2log10 (10) 是否成立？
不成立；
不成立；
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
log a (MN ) log a M log a N ， loga (M N ) log a M loga N .
§2.2.1 对数与对数的运算（第二课时）
（人教版•必修一） 教学目标 1.知识与技能 （1）进一步理解对数的概念，能熟练进行指、对数式互化. （2）掌握对数的运算性质，会计算、化简对数. （3）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.过程与方法 探索对数的运算性质的过程中，灵活应用对数与指数的互化，为解决指数与 对数的问题打下基础，进而培养学生的逻辑思维能力.同时将对数与指数进行对 比，引导学生用“转化”的方法思考问题. 3.情感、态度与价值观 在自主探究知识的产生与发展过程中形成主动学习的情感与态度， 体会转化 思想在数学中的应用价值，在运用知识解决问题的过程中体验数学的价值. 教学重点 对数运算性质的推导及应用，换底公式的应用. 教学难点 对数运算性质的证明. 教辅手段 计算机、投影仪 教学过程 一、情景设置——温故知新 【内容设置与处理方式】 借助课件，展示本节的知识结构.引导学生回顾： 1．对数的定义 log a N b 其中 a (0,1) (1, ) 与 N (0, )
四、合作探究 【内容设置与处理方式】 证明下列等式：
log a b
log c b (a oa 1且c 0c 1) log c a
证明： log a b log c a log c a loga b log c b
教师引导学生，循序渐进，根据已学习的内容来解决这道题.总结该结论为换底 公式，强调公式成立的条件，引导学生阅读书本，说明通常 c 取 e 或 10. 【练习】 学生自主独立完成，教师引导学生规范解答过程.
3.教师归纳总结: ①总结对数的运算性质，说明上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式， 并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数 式化成对数式； ②学生尝试用语言描述这 3 条运算性质，教师总结； 简易语言表达： （1） “积的对数 = 对数的和” （2） “商的对数=对数的差” （3） “幂的对数=指数与对数的积” ③注意点： 公式的逆用： log10 5 log10 2 log10 10 1； 真数的取值范围必须是 (0, ) ；
log 2 8 log 2 2 log 2 4 log 2 64 log 2 4 log 2 16
3.让学生模仿性质一的推导过程，尝试推导出对数的运算性质（2） 、 （3）.交流 成果之后，规范证明过程，给出参考解答. 参考解答：
am M a mn , 得 a log aM log aN，两边同时取对数得： n a N M log a log a M log a N N （3）由(a m ) n a mn , 得M n a n loga M ，两边取对数： （2）由 log a M n log a a n log aM n log a M
多媒体投影幕布
例题讲解
备用问题 1.【2009 年高考湖南卷·文】
log 2 2的值为 A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2
1 1 1 参考解答： log 2 2 log 2 2 2 log 2 2 2 2
2.书本例题 5
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
2．指数式与对数式的互化 ab N log a N b (a 0且a 1) 3.重要公式： （1）负数与零没有对数； （2） log a 1 0,log a a 1 （3） loga ab b （4） aloga b b 4．指数运算法则
a m a n a mn am a mn an (a m ) n a mn (a, b 0; m, n R )
二、讲授新课 （一）对数的运算性质 1. 设a m M , a n N , 则loga M m, log a N n ， 引导学生观察指数的运算性质 （1） ， 逐步推导出对数的运算性质（1）. 参考解答：