曲面及其方程,二次曲面

观察柱面的 形成过程:
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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柱面举例
z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
z
0
39
一般地，已知准线方程 f ( x, y) 0
f (x, y) 0
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
第五节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
41
f ( x2 y2 , z) 0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f ( x, y) 0
四、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
观察柱面的 形成过程:
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
旋转椭球面
由椭圆
x2
a
2
z2 c2
1
或
y2
b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
44
（二）抛物面
（1）椭圆抛物面
x2 2p
y2 2q
z
（p与q同号）
用截痕法讨论： 设p与q都大于零。 （1）用坐标面 xoy (z=0) 去截； （2）用平面 z z1(z1 0) 去截； （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截； （4）用平面x x1或y y1去截；
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
14
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
4
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )
o
y
z x2 y2 cot x
M( x, y, z)
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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播放
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
z 0
x2 z2
或由椭圆曲线
4
9
1绕
x 轴旋转所得的椭球面
y 0
x2 y2 z2 1 呢？
25
例 7 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕z 轴旋转
x2 y2 a2
z c
2 2
1
•这两种曲面都叫做旋转双曲面.
23
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f ( y, x2 z2 ) 0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y)
0
绕ox轴旋转得旋转曲面
f (x, y2 z2 ) 0
22
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
z
o
x
y
45
椭圆抛物面的图形如下： z
z o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
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三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
f ( y, z) 0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
40
问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. Ax2 Ay2 Az2 Bx Cy Dz E 0 表示一张球面。
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
5
例4 方程z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
M(x, y, z)
M1(0, y1, z1 )
f ( y, z) 0
x
0
(1) z1 z , (2) | y1 | x2 y2
o
y
代入母线方程即得证明。 x
21
注意：
1. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f ( x2 y2 , z) 0
2. yoz平面上的母线
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz绕z轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
24
特点：
曲面方程 F(x, y, z) 0 中若除一个变量外，另外两个变 量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面
例： x2 y2 z2 1 4 99
x2 y2
由椭圆曲线
4
9
1 绕 x 轴旋转所得的椭球面
x2 z2
a
2
c2
1,
y 0
y2 z2
b2
c2
1,
x 0
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z z1
同理与平面x=x1 和y=y1 的交线也 是椭圆
43
椭球面的几种特殊情况：
(1)
a b,
x2 y2 z2 a2 c2 1
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 f ( x, y) 0
表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。 f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
15
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
16
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
42
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与三个 x2 坐标面的交线： a2
y2 b2
1,
z 0
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2