大学物理振动和波动

角速度＝圆频率
长度＝振幅A
初始角＝初相0
旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系
简谐振动的三个特征量
圆频率 k 由系统决定，与初始条件无关
t t 时刻
t=0时刻
t 0 A
0
o
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量用图代替了文字的叙述。
（2） 比较相位方便
x Acos t 0
v
A
cos
t
0
π 2
a A 2cos t 0 π
A
A 2A
由图看出：速度超前位移
π
加速度超前速度 2
(3) 计算时间简便：用熟悉的圆周运动代替三角函数 的运算。
m
d2x 2x 0
dt 2
简谐振动动力学方程
2. 简谐振动的运动学方程
解微分方程 d 2 x 2 x 0
dt 2
解为： x A c o s ( t 0 ) 简谐振动运动学方程
线性回复力、动力学方程、运动学方程都可作为简谐振动的判据
二、简谐振动的振幅、频率、相位
x A co s( t 0 )
cos0
x0 A
0 ?
k
x
0
x0 Acos0
t=0时
v0 A sin 0
A
可得
x02
v02
2
0
=
arctan(
v0
x0
)
2.曲线法 用振动曲线描述简谐振动 0 0
x
A
T/2
-A o
T
t
v
ωA o
t
-ωA
a
ω2A
-ω2A o
t
3.旋转矢量法（采用几何的方法描述简谐振动）
矢量 A作匀速圆周运动 ,在任意直径方向的分运动为简谐振动
x
ab
c
t
O
T
0 反映t = 0时刻的振动状态，称初相位.
三、相位差 1.对于同一简谐运动
对于简谐运动 x A cos(t 0 )
t1时刻相位 t1 0
t2时刻相位 t2 0
相位差 (t2 0 ) (t1 0 )
相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间
t
t2
t1
t
t2
t1
x
第四篇
振动和波动
振动形式的多样性
机械振动: 物体位移 x 随时间t 的往复变化。 （弹簧、钟摆、活塞、心脏、脉搏、耳膜、空气振动等）
电磁振动: 电场、磁场等电磁量随t 的往复变化。
（电场 、磁场E 、电流B 、电压 I）
V
微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。
振动：某一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
§12-1 简谐振动
一、简谐振动的特征
典型例子：弹簧弹性系数k,物体(质量为 m)在弹簧原长附近 的运动。弹簧振子的振动即为简谐振动.
1. 简谐振动的动力学方程
k
m
x
弹性力 f kx 线性回复力
A 0 x A
d2x 牛顿运动方程 - kx m dt 2
d2x k x 0 dt2 m
令 k 2 整理得
（1）矢量A的长度为振幅 A
（2）矢量 A的转动角速度 是
振动圆频率
（3）矢量A的端点在x 轴上的 投影为简谐振动方程
旋转矢量在x 轴轴的投影为简谐振动
x Acos(t 0 )
（4）t=0时刻，矢量与x 轴的 夹角0为初相位
（5）在任意t时刻，矢量与x 轴
的夹角ωt+0为t时刻的相位
旋转矢量法表示的优点： （1）相位显示直观
t
0
π 2
a A 2cos t 0 π
均是作谐振动的物理量,有
(1) 频率关系：频率相同,均为
(2) 振幅关系： vm A am A 2
(3) 相位关系：v比x超前 /2,a比v超前 /2。
在t=0时刻，物体相对于平衡位置的位移为x0，速度是v0
x Acos t 0
x0 Acos0
20 10
同相位
反相位
四、 简谐振动的表示方法
1. 解析法 x Acos t 0
物体作简谐振动时的速度
v
dx dt
A
sin
t
0
v
A
cos
t
0
π 2
物体作简谐振动时的加速度
a
dv dt
A
2cos t
0
2 x
a A 2cos t 0 π
x Acos t 0
v
A
cos
k T 2 m 1 k
m
k
2 m
反映了系统的固有特性，分别称为谐振子 系统的固有圆频率、固有周期和固有频率.
3.相位 当A和已知时， t 0可以决定t 时刻物
体的位移、速度和加速度，即确定物体的振动状态.
t 0 称t 时刻物体的振动相位.
比较a、b两点：位移相同，速度不同，相位不同. 比较a、c两点：位移相同，速度相同，相位不同. 结论：用相位描述物体振动，能反映出时间上的 周期性，而（x，v）则不能。
小结
简谐振动的三个判据
1) 受力特征
f kx
2) 振动方程 3) 微分方程
f — 恢复力 k — 劲度系数
x Acos t 0
d2x dt 2
2
x
0
以上1、2、3中任一条成立即可判定为简谐振动。
简谐振动的三种表示方法
解析法： x A c o s ( t 0)
曲线法：x——t 曲线
旋转矢量法： 旋转矢量
两振动步调完全相反，称两个振动反相位。 2）超前和落后
0 第二个简谐振动 20 比第一个 10 超前 0 第二个简谐振动 20 比第一个 10 落后
两个振动在相位上相差 时，相对应的时间上
相差为
t
以
t T 2
来判断。
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
ab
c
t
O
T
2.对不同简谐运动 设两个同频率的简谐振动
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
相位差 (t 20 ) (t 10 )
20 10
1）同相位和反相位
2k π (k 0，1，2, )
两振动步调完全一致，称两个振动同相位。
(2k 1) π (k 0，1,2 )
k
m
x
A 0 x A
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，
由初始条件决定，描述振动的空间范围。
2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.
Acos[(t T ) 0] Acos(t 0)
T 2π T 2π
1
物体在单位时间内发生完全振动的次
T 数，称振动的频率.
2π 称圆频率（角频率）.
机械振动是声学、光学、电磁学、固体物理、量子 物理等学科以及机械、电工、无线电、建筑学、地震学 ┉┉等学科的基础。
机械振动的分类
机械振动
受迫振动
共振
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由振动 （简谐振动）（谐振动）
简谐振动是最简单、wenku.baidu.com基本的振动.
合成
简谐振动
分解
复杂振动
振动的理论建立在简谐振动的基础上