导数及其应用课件新人教版

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本题第二问中对于两个任意，可以先考虑对任意 x∈ [0,1]，不等式 f(x)≤t2－mt－1 恒成立，得到 t2－mt－ 1≥f(x)max，再考虑这个不等式对任意 t∈[0,1]恒成立，这 样就把问题归结为“t2－mt－1≥－1 对任意的 t∈[0,1]恒 成立”，这种不断转化问题的思想是解决多参数不等式恒 成立时要认真考虑的．
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已知函数 f(x)＝lnax－x－x a(a≠0)． (1)求此函数的单调区间及最值； (2)求证：对于任意正整数 n，均有 1＋12＋13＋…＋n1≥lnne！n .
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【解答】 (1)由 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c 得 f(0)＝c，f′(x) ＝x2－ax＋b，f′(0)＝b.
又由曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1， 得 f(0)＝1，f′(0)＝0，故 b＝0，c＝1.
(2)f(x)＝13x3－a2x2＋1，f′(x)＝x2－ax， 由于点(t，f(t))处的切线方程为 y－f(t)＝f′(t)(x－t)，而 点(0,2)在切线上， 所以 2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得32t3－a2t2＋1＝0，即 t 满 足的方程为23t3－2at2＋1＝0.
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下面用反证法证明 假设 f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2)) 处的切线都过点(0,2)，
23x13－a2x21＋1＝0，1 则下列等式成立23x32－a2x22＋1＝0，2
wk.baidu.comx21－ax1＝x22－ax2，3
由(3)得 x1＋x2＝a，由(1)－(2)得 x21＋x1x2＋x22＝34a2，(4) 又 x21＋x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－x1x2＝x1－a22＋34a2≥34a2， 故由(4)得 x1＝a2，此时 x2＝a2与 x1≠x2 矛盾，所以 f′(x1)≠f′(x2)．
【点评】 这类函数的特点是其导数的分子上是一个二 次三项式和指数函数的乘积，其单调性的讨论就归结了一个 一元二次不等式解集的讨论．讨论分式类函数的单调性，要 充分考虑函数的定义域，如本题中第一问的讨论如果没有函 数定义域是 R 的限制，就要在求出的单调区间内去掉分母 等于 0 的点，对单调区间重新进行划分，如本题第二问中 a ＝－1 时，函数的单调递增区间是－∞， 52－1，1－2 5，0 和(3，＋∞)；
问题等价于 t2－mt－1≥－1 对任意的 t∈[0,1]恒成立，
即 t2－mt≥0 对任意的 t∈[0,1]恒成立．
当 t＝0 时，m∈R，当 0<t≤1 时，m≤t 恒成立，即 m≤0.
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综上知只要 m≤0，即可满足对任意 x∈[0,1]，t∈[0,1]，不 等式 f(x)≤t2－mt－1 恒成立，即 m 的取值范围是(－∞，0]．
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【解答】 (1)∵f(x)的定义域为 R， ∴x2＋ax＋a≠0 恒成立， ∴Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4， 即当 0<a<4 时，f(x)的定义域为 R. f′(x)＝xxx2＋＋aax－＋2ae2x. 由于 ex>0，(x2＋ax＋a)2>0， 故 f′(x)的符号与 g(x)＝x[x－(2－a)]的符号相同．
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(i)当 2－a>0，即 0<a<2 时， g(x)>0 的解集为(－∞，0)∪(2－a，＋∞)， g(x)<0 的解集是(0,2－a)， 故此时函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2－a，＋∞)， 单调递减区间是(0,2－a)； (ii)当 a＝2 时，g(x)≥0，即 f′(x)≥0，但仅在 x＝0 处等于 0， 故函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； (iii)当 2－a<0，即 2<a<4 时， g(x)>0 的解集为(－∞，2－a)∪(0，＋∞)， g(x)<0 的解集是(2－a,0)， 故此时函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，2－a)，(0，＋∞)， 单调递减区间是(2－a,0)．
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【点评】 导数几何意义的应用要注意抓住两点： 一是切点处的导数就是切线的斜率．二是切点坐标同 时适合曲线方程和切线方程．
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► 探究点二 利用导数探究函数的单调性
例 2 设函数 f(x)＝x2＋eaxx＋a，其中 a 为实数． (1)当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单调区间； (2)当 a＝－1 时，如对任意 x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等 式 f(x)≤t2－mt－1 恒成立，求实数 m 的取值范围．
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► 探究点一 导数几何意义
例 1 [2010·湖北卷] 设函数 f(x)＝13x3－2ax2＋bx＋c，其 中 a＞0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(1)确定 b、c 的值； (2)设曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都 过点(0,2)，证明：当 x1≠x2 时，f′(x1)≠f′(x2)．
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(2)当 a＝－1 时，函数 f(x)的定义域是－∞，1－2 5∪
1－ 2
5，1＋2
5∪1＋2
5，＋∞，函数 f(x)在区间[0,1]上有
意义．
根据(1)g(x)＝x(x－3)<0，
故函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减，
函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 f(0)＝－1，
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3．利用导数求函数的极值、最值． (1)求极值的一般步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检验 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的符号，左 正右负极大值，左负右正极小值． (2)连续函数在闭区间[a，b]上必有最大值、最小值，先求 出使方程 f′(x)＝0 的所有点的函数值，再与端点函数值比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的 根、构造函数证明不等式等问题．