从数学思想方法中感悟数学真谛
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图像 ， 如图 １ ．
例 ２ 如 果实 数 ｚ， 满 足 等式 （ 一 ２ ） ＋ 。 一３ ， 求 的
最大值・ 思考 ： 等式 （ ｊ 一２ ） ＋ 一 ３的 几 何 意 义 是 以 （ ２ ， ０ ） 为 网
求 解 如 图 ５， 设 ＣＥ— ， ＣＤ— ．
．
由题 意 得
点 Ｃ 到 直 线 — ｋ ｘ 一 ２ 的 距 离
－
思考 ： 这 个 问题 用 代 数 法 比 较 复 杂 ， 先得 两边平方 ， 再 去
绝对值， 再进行分数讨论・ 然而我们发现曲线 一 ￣ ／ ｌ ２ － Ｔ
和 直 线 — ｋ ｘ 的交 点个 数就 是 问题 的答 案． 于 是 我 令 一
上
ｌ 十
Hale Waihona Puke Baidu
，
所以上
ｌ － Ｉ － ｋ ‘
≤２ 解 得
，
０
｜
／ｌ ２ 一． ｒ ｌ ， 一 ． 则方程 ￣ ／ ｌ ２ －ｘ ｌ 一 的实根个数等价于
， Ｔ —— —— 。 ｒ 一
∈［ ｏ ， ÷］ ， 所以 的最大值是÷．
２ ０ １ ４班
的方程 ￣ ／ ｌ ２ 一 ｌ —ｋ ｘ有几个实根？
２上 至 少 存 在 一 点 Ａ， 使得 以 Ａ为圆心 ， １为 半 径 的 圆
Ａ与 圆 ｃ有 公 共 点 ， 即存 在点 Ａ， 使得 ｌ ＡＣＩ ≤１ ４ － １ ， 所 以
ｌ Ａ Ｃ ｌ …≤２ ， 由图 ６ 知ｌ Ａ Ｃ ｌ … 即为
的最 大值 是
此 时 的 最 大 值 为 ．
／ 。
图 ２
思考 ： 此 题 考 查 的是 圆 和 圆 的 位 置 关 系 以 及 点 到 直 线 的 距 离． 圆 Ｃ 的方 程 可 化 成 （ 一４ ） ＋ 一１ ， 由题 意 可 知 在 直 线
一 一
例３ 当ｏ ＜ ＜ ÷时 ， 关 于
８ ｘ ４ － １ ５ —０ ， 若直线 ＿ ｙ 一 一 ２上 至 少 存 在
．
斜 率 一 ｙ 为 最 大 ．画 出 它 的 图
／
像， 如图２ ， 当直 线 和 圆上 方 相 切 于 点 Ｐ时 ， ｋ取 得 最 大 值 ， 解 得 ｋ一
，
点， 使 得 以该 点 为 圆心 ， １ 为 半 径 的 圆与 圆 ｃ有 公 共 点 ， 则ｋ
一
庭
—
一
。
、
根 据 数 量 关 系画 草 图 ， 寻 找化 难 为 易 的 突 破 口
在解答代数问题的时候 ， 经 常 会 遇 到 一 些 棘 手 的代 数 关 系， 若是直接运 算难 以下 手 ， 遇 到 这 些 问题 时 可 以 先 画 个 草 图， 然 后 以 图形 的形 式 直 观 地 把 代 数 关 系 表 达 出来 ， 根 据 草 图 找 解 决 问 题 的 思 路 ． 例 １ 设 函 数 ，（ ） 是 （ 一ｏ ３ ， ＋。 。） 上 的 奇 函 数，
贝 ． Ｊ Ｉ Ａ ｃ 一
ＡＣ ＋Ｂ Ｃ ２
，
一
．
ＡＢ一 ２
圆（ ｘ －２ ） ＋
。上 求 一 点 ， 使 得 这 点 与 原 点 所 确 定 的直 线
例６ 在 平 面 角 坐 标 系 Ｏ
的方 程 为 － ， ＋
一
中学生数理他 ． 掌研版 图 ５ ｙ中， 团 ｃ
方 程 组｛ — ｌ 一 。 丁 Ｉ
Ｉ —ｋ ｘ ②
’ 的 解的 个 数 ． 方 程① 可 化 为 ｚ 一
作者 单 位： 重 庆 市 云阳 高 级中 学
图 ６
±（ ２
） （ ≥ ０ ） ， 它表示 两条抛物 线 的上半支 ， 故 只要求 出
从 数 学 思 想 方 法 中 感 悟 数 学 真 谛
■彭
刚开 始学 习 高 中 数 学 的 时 候 ， 老 师 整 天 讲 要 注 重 联 想 能
力 的 培养 ， 强 化 目标 意 识 、 策略意识 、 反思 意识等等 ， 这 样 概 念 性 的 说 教 真 是 让 人难 以理 解 ， 更 是 无法 “ 注重” 和“ 强化” ． 后 来 在 数 学 老 师 的 指导 下 我 开 始 认 真 琢 磨 学 习 数 学 的方 法 、 感 悟 数学的真谛 ， 经 过 不 懈 努 力 我 的 数 学 成绩 直 线 上 升 ． 现从练 习 本 中 摘抄 几 例 ， 从数学思想方法人手 ， 加 以巧 妙 解 决 ．
．
ｌ ４ ｘ 十 一４ ９ ・
： 一 ’ 解 得 一 ，
为 半 径 的 圆 ， 而 一 ｙ － Ｏ 的 几 何 意 义 表 示 这 个 圆 上 的
点（ ｚ ， ） 和原点 （ Ｏ ， Ｏ ） 所 成 直 线 的斜 率 ， 于 是 问 题 就 转 化 为 在
／（ ＋２）一 一￣ ， ’ （ ）， 当Ｏ ≤ ≤ １时 ， ／（ ）一Ｊ ｔ ， 则 厂（ ７ ． ５ ）一
（ ） ． Ａ．Ｏ ．５ Ｂ．一 ０． ５ Ｃ．１ ． ５ Ｄ． 一 １ ．５
思考 ： 这 是 一 道 抽 象 函数 问 题 ， 在 题 中没 有 给 出 具 体 的解 析式 ， 但 根 据 题 给 的一 些 已知 条 件 ， 可 以画 出这 个 抽 象 函数 的
例 ２ 如 果实 数 ｚ， 满 足 等式 （ 一 ２ ） ＋ 。 一３ ， 求 的
最大值・ 思考 ： 等式 （ ｊ 一２ ） ＋ 一 ３的 几 何 意 义 是 以 （ ２ ， ０ ） 为 网
求 解 如 图 ５， 设 ＣＥ— ， ＣＤ— ．
．
由题 意 得
点 Ｃ 到 直 线 — ｋ ｘ 一 ２ 的 距 离
－
思考 ： 这 个 问题 用 代 数 法 比 较 复 杂 ， 先得 两边平方 ， 再 去
绝对值， 再进行分数讨论・ 然而我们发现曲线 一 ￣ ／ ｌ ２ － Ｔ
和 直 线 — ｋ ｘ 的交 点个 数就 是 问题 的答 案． 于 是 我 令 一
上
ｌ 十
Hale Waihona Puke Baidu
，
所以上
ｌ － Ｉ － ｋ ‘
≤２ 解 得
，
０
｜
／ｌ ２ 一． ｒ ｌ ， 一 ． 则方程 ￣ ／ ｌ ２ －ｘ ｌ 一 的实根个数等价于
， Ｔ —— —— 。 ｒ 一
∈［ ｏ ， ÷］ ， 所以 的最大值是÷．
２ ０ １ ４班
的方程 ￣ ／ ｌ ２ 一 ｌ —ｋ ｘ有几个实根？
２上 至 少 存 在 一 点 Ａ， 使得 以 Ａ为圆心 ， １为 半 径 的 圆
Ａ与 圆 ｃ有 公 共 点 ， 即存 在点 Ａ， 使得 ｌ ＡＣＩ ≤１ ４ － １ ， 所 以
ｌ Ａ Ｃ ｌ …≤２ ， 由图 ６ 知ｌ Ａ Ｃ ｌ … 即为
的最 大值 是
此 时 的 最 大 值 为 ．
／ 。
图 ２
思考 ： 此 题 考 查 的是 圆 和 圆 的 位 置 关 系 以 及 点 到 直 线 的 距 离． 圆 Ｃ 的方 程 可 化 成 （ 一４ ） ＋ 一１ ， 由题 意 可 知 在 直 线
一 一
例３ 当ｏ ＜ ＜ ÷时 ， 关 于
８ ｘ ４ － １ ５ —０ ， 若直线 ＿ ｙ 一 一 ２上 至 少 存 在
．
斜 率 一 ｙ 为 最 大 ．画 出 它 的 图
／
像， 如图２ ， 当直 线 和 圆上 方 相 切 于 点 Ｐ时 ， ｋ取 得 最 大 值 ， 解 得 ｋ一
，
点， 使 得 以该 点 为 圆心 ， １ 为 半 径 的 圆与 圆 ｃ有 公 共 点 ， 则ｋ
一
庭
—
一
。
、
根 据 数 量 关 系画 草 图 ， 寻 找化 难 为 易 的 突 破 口
在解答代数问题的时候 ， 经 常 会 遇 到 一 些 棘 手 的代 数 关 系， 若是直接运 算难 以下 手 ， 遇 到 这 些 问题 时 可 以 先 画 个 草 图， 然 后 以 图形 的形 式 直 观 地 把 代 数 关 系 表 达 出来 ， 根 据 草 图 找 解 决 问 题 的 思 路 ． 例 １ 设 函 数 ，（ ） 是 （ 一ｏ ３ ， ＋。 。） 上 的 奇 函 数，
贝 ． Ｊ Ｉ Ａ ｃ 一
ＡＣ ＋Ｂ Ｃ ２
，
一
．
ＡＢ一 ２
圆（ ｘ －２ ） ＋
。上 求 一 点 ， 使 得 这 点 与 原 点 所 确 定 的直 线
例６ 在 平 面 角 坐 标 系 Ｏ
的方 程 为 － ， ＋
一
中学生数理他 ． 掌研版 图 ５ ｙ中， 团 ｃ
方 程 组｛ — ｌ 一 。 丁 Ｉ
Ｉ —ｋ ｘ ②
’ 的 解的 个 数 ． 方 程① 可 化 为 ｚ 一
作者 单 位： 重 庆 市 云阳 高 级中 学
图 ６
±（ ２
） （ ≥ ０ ） ， 它表示 两条抛物 线 的上半支 ， 故 只要求 出
从 数 学 思 想 方 法 中 感 悟 数 学 真 谛
■彭
刚开 始学 习 高 中 数 学 的 时 候 ， 老 师 整 天 讲 要 注 重 联 想 能
力 的 培养 ， 强 化 目标 意 识 、 策略意识 、 反思 意识等等 ， 这 样 概 念 性 的 说 教 真 是 让 人难 以理 解 ， 更 是 无法 “ 注重” 和“ 强化” ． 后 来 在 数 学 老 师 的 指导 下 我 开 始 认 真 琢 磨 学 习 数 学 的方 法 、 感 悟 数学的真谛 ， 经 过 不 懈 努 力 我 的 数 学 成绩 直 线 上 升 ． 现从练 习 本 中 摘抄 几 例 ， 从数学思想方法人手 ， 加 以巧 妙 解 决 ．
．
ｌ ４ ｘ 十 一４ ９ ・
： 一 ’ 解 得 一 ，
为 半 径 的 圆 ， 而 一 ｙ － Ｏ 的 几 何 意 义 表 示 这 个 圆 上 的
点（ ｚ ， ） 和原点 （ Ｏ ， Ｏ ） 所 成 直 线 的斜 率 ， 于 是 问 题 就 转 化 为 在
／（ ＋２）一 一￣ ， ’ （ ）， 当Ｏ ≤ ≤ １时 ， ／（ ）一Ｊ ｔ ， 则 厂（ ７ ． ５ ）一
（ ） ． Ａ．Ｏ ．５ Ｂ．一 ０． ５ Ｃ．１ ． ５ Ｄ． 一 １ ．５
思考 ： 这 是 一 道 抽 象 函数 问 题 ， 在 题 中没 有 给 出 具 体 的解 析式 ， 但 根 据 题 给 的一 些 已知 条 件 ， 可 以画 出这 个 抽 象 函数 的