有限元理论与技术-习题-弹性力学.

弹性力学

填空题：

1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。

2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。

3、弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。

4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。

5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。

6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。

7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。

8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立 3 个方程。

13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立6 个方程。

14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含 6 个方程。

15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。

16、平面应力问题和平面应变问题基本方程中：平衡方程和几何方程相同，物理方程不相同。（相同或不相同）

17、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

15、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

18、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

19、弹性力学中边界条件通常可以分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

20、弹性力学问题的解法分为解析法、变分法和差分法，就解题方法而言，又分为如下两种方法：位移法和应力法。

21、将平面应力情况下的物理方程中的弹性模量E，泊松比 分别换成及就要得到平面应变情况下相应的物理方程。

22、位移法为物理方程与几何方程联立消除应变分量，得到应力与位移的函数方程式，再与平衡方程联立消除应力，得到载荷与位移的方程式。简答题：

1、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？

答：在弹性力学中，(1)根据微元的力平衡分析导出了平衡微分方程，它表达变形体微元内部应力与作用在微元上外载荷之间的关系；(2)根据微元变形的连续性推导出几何方程，它表达变形体内部应变与位移之间的关系；(3)根据广义胡克定律导出物理方程，它表达变形体内部应变与应力之间的关系。

2、简述泛函、变分原理、虚位移与最小能量原理。虚功方程表达什么关系？答：泛函：泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。

变分原理：将弹性力学的基本方程－偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法。

虚位移：位移边界条件所容许的位移的微小改变量。

最小能量原理：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。

虚功方程：表达外力所做虚功与变形体内部变形能量（内能）增加之间的关系。

3、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。

答：平面应力和平面应变都是简化空间问题而设定的概念。

平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，即平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τy z，τzx。例如薄板微小变形拉压问题。

平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，即平面应变是指所有的应变都在一个平面内。如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。例如水坝侧向水压问题。

()

()G

E E

xy

xy

x y

y y x x τγμσσεμσσε=-=-=1

1

()

()1

1111

11

G E E xy

xy x

y y y x x τγσμσεσμσε=-=-=

平面应力问题物理方程 平面应变物理方程 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x σ，

y

σ，

xy

τ。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横

截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v 。

5、弹性力学的基本假设，分别简述各个假设？

答：1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方