微分方程组的留数解法

对于，阶微分方程组，在满足一定的初值条件 下，它的解的情况类似与(5)的情况，这里不再一 一讨论。
下面讨论变系数的微分方程的情况，，对于一 阶的情况一般可用分离变量和一阶线性方程解等 方法研究,现以二阶为主：
#( $ =""/( t) e~$dt
称为的拉普拉斯变换，其中$ = ! + '是
复参数。 定义2[2,3,4]:若#( $是的/("拉普拉斯变换，
由积分 /(t =2#1 /： + ' #( $ e"dt
称为#(s)的拉普拉斯变换。 引理1 %2,4]:若$1 ,$2，- ■■$是函数#( $的所有 奇点，重数分别为)1 ,),-..),且当8时，# (S)#0则有
1311 * " ( t) +3121"( t) +31*' 3 ( t) +3141'( ” +315*( ” +3161( t) ==2 ( t)
满足:*'(0) =y'(0) =* (0 ) =y(0) =0
证明：在(3 )式两边同时实现拉普拉斯变
定理2：对于(3)式形式的方程组有和定理1 相同形式的解。
在一般的微分方程的著作中，如文献:1 ],对 于一阶常系数的微分方程组一般是通过基解矩阵 的方法求解,求解过程相对复杂。本文通过对一阶 和二阶微分方程组以及变系数的微分方程通过拉 普拉斯变换以及其逆变换,利用留数的理论给出他 们的解。
定义1[2-4]:设f("是定义在(0, + 8)上的实 值或(复值)函数,其拉普拉斯积分收敛,由积分
(4)
:
{a{A11 ( s) X( s) +A12 ( s) Y( s) =F1 ( s) 21 ( S)X( S)+A22 ( S)Y( S)=F2( S)
(5 )
:
/ A11 ( S)A12( S))( X( S ) _ ( F1 ( S))
y( U21 (S+22(S丿( S 丿 _[f2(S丿
(0)) 定理1 :对于(1 )形式的方程组有如下形式
的解:
*( t) =2#' + '胄+F#( $ ed$ =
)$=1 Re( #( $ e$,s)))
: 在方程组
时实现拉普拉斯变
换, 有
sX( s) = AX ( s) + #( s)
其中X( $,#( $分别是*( t,/( t的拉普拉斯
变换,
Resieur Solution To Differential Equations
ZHAO Cheng-bing (School of mathematics and physic of Anhui Jianzhu University, AnHui HeFei 230022, China)
Abstraci:In the paper, we studied the first and second order linear constant coefficieni diJerential equations and the dif­ ferential equation of variable coefficient, used the property of Laplacc transform and the theorem of residue to get the solution. Key word#: Diderentiai equation, Laplacc transform, Residue
第14卷第2期 2019年6月
贵阳学院学报(自然科学版)(季刊) JOURNAL OF GUIYANG UNIVERSITY Natural Sciences (Quarterly)
Vol. 14 No. 2 JrnD2019
微分方程组的留数解法
赵成兵
(安徽建筑大学数理学院，安徽合肥230022)
摘 要：本论文主要研究一阶和二阶常系数微分方程组以及变系数的微分方程，利用拉普拉斯变化以及其逆 变换的性质及其留数定理得到他们的解。 关键词：微分方程组；拉普拉斯变换；留数 中图分类号：0172.2 文献标识码：A 文章编号：1673 -6125 (2019) 02 -0001 -02
换，得:
｛如 s2X( s ) + a12s2 Y( s) +/13 sX( s) +/14s4( s) +/15.(s) +/16 4( s ) = F1 ( s) b11 s2X( s) + b12s2 Y( s) + 313 sX( s) +314sY( s) +315X( s) + 316 Y( s) =F2( s)
则二阶常系数的微分方程组化成同(2)式类
似的解情况。
再利用一阶线性微分方程组的解法即可以 解决。
对于，阶常系数的微分方程的解除了利用特 征多项式方法，在文献%5]中介绍也可以通过构造 如下的复多项式来解决。
«0 +/16 +. . . +/”z" =P”(z) 考虑积分
8( ” = "c ：6 &6
:
收稿日期:2019 -04 -03 基金项目：国家社科基金项目(项目编号：13BJY079)；安徽省教育厅自然科学基金重点项目(项目编号:KJ2011A061) 作者简介:赵成兵(1970-),男，安徽庐江人，教授、博士’主要研究方向:几何分析°
一1一
贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)
14卷
(sE-A#.(s) =F( s)
打总 1 '+ ：8 #( $ e"dt=
(
$Re$
#(
$
e",s)))
2I
)=1
现在考虑一阶线性常系数的微分方程组：
光 * =*+ "
⑴
.*(0) =0 这里+是方程组的系数矩阵,/(t) = (/1 (t),!
(”，•••/”( t)) $, * ( 0 ) = … ( *1 ( 0 ) , *2 ( 0 ), *
(2)
行列式$-A|是含变量s的,阶多项式,
所以
.(E =1EaT#( $
ห้องสมุดไป่ตู้
*("
1 2#
($-A) * F( s) %&s \sE-A\
m
=$Res(F(s)%,s))) )=1
对于二阶的常系数微分方程组:
其中(E-A) *是(E-A)的伴随矩阵,所以：
f«11 * ( t) +«121 ( ") +«13t) +«14y'( t) +«15*( t) +«161( t) ==1 ( t)