哥尼斯堡七桥问题ppt课件
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关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的 毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
9
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。
3
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵 味!有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把 河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往 今来，吸引了众多的游人来此散步。
4
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
37
38
39
40
瓶不 ”分
内 外 的 “ 克 莱 茵
41
42
拓扑魔术奇观
43
大硬币通过小圆孔
纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这 个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。
44
大硬币通过小圆孔
纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这 个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。
10
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.
11
这样，哥尼斯堡七桥问题就被抽象成为“一笔画问 题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许 重复任何一条线。
相交，这是不可能的！这正是哈里发悲剧之所在。
30
点A 是 在 内 部 还 是 外 部
31
19世纪中叶，法国数学家若尔当提出了一个精妙绝伦的办
法：在图形外找一点，与需要判定的区域内的某个点连成线段，
如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数，则所判定区域为
“内部”；否则为“外部”。
32
奇异的莫比乌斯带
曲线。因此，无论你怎样拉
扯橡皮膜，只要不切割、不
Biblioteka Baidu
撕裂、不折叠、不穿孔，那
么闭曲线的内部和外部总是
保持不变的!
24
“内部”与“外部”是拓扑 学中很重要的一组概念
以下有趣的故事，将增加你 对这两个概念的理解：
25
传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一位 才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英 俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。 哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年为婿。于是 便出了一道题目，声明说：谁能解出这道题，便将女 儿嫁给谁！
——拓扑学
20
拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是 它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是 很恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动， 其长度、曲直、面积等等都将发生变化。此时谈论 “有多长？”、“有多大？”之类的问题，是毫无意 义的!
21
不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不 变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的 图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以 一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图 形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
12
一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
26
哈里发的题目是这样的：请用线把下图中 写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不 许相交，也不许与图中的线相交。
27
上述问题的解决，似乎不费吹灰之力。 但实际上求婚者们全都乘兴而来，败兴而去！
据说后来哈里发终于醒悟，发现自己所 提的问题是不可能实现的，因而后来又改换 了题目。也有的说，哈里发固执已见，美丽 的公主因此终生未嫁。事情究竟如何，现在 自然无从查考。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
13
14
15
16
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!
事实上，中国民间很早就流传着这种一 笔画的游戏，只是很可惜，长期以来，人们 只把它作为一类有趣的游戏，没有对它引起 重视，也没有数学家对它进行经验总结和研 究，这不能不说是一种遗憾。
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不 变性质的几何学。
22
拓扑学是在19世纪末兴起并在20世纪蓬 勃发展的数学分支，与近世代数、近代分析共 同成为数学的三大支柱。
拓扑学已在物理、化学、生物一些工程技 术中得到越来越广泛的应用。拓扑学主要研究 几何图形在一对一的双方连续变换下不同的性 质，这种性质称为“拓扑性质”。
17
需要顺便提到的是：既然可由一笔 画画成的图形，其奇点个数应不多于两 个，那么，两笔画或多笔画能够画成的 图形，其奇点个数应有怎样的限制呢？
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的图形，需要n 笔划画成。
18
姜伯驹《一笔画和邮递员路线问题》
19
橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者已经看到 了一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不 考虑它们尺寸大小的新几何学。莱布尼兹 (Leibniz，1646～1716)和欧拉为这种“位置几 何学”的发展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支
47
当中取圈
将6个一样的铁圈用绳子串着，绳子的两端如下图那 样开着。你能把当中的两个铁圈取出来，却又不让两端 的铁圈脱离绳子吗？
把绳的两头扣起来，将其一端上的两只铁圈通过绳结移 到另一端去，然后再将绳子解开，现在取走中间的两只铁 圈便很容易了。
48
博物馆中的拓扑游戏道具
49
50
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
5
这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
6
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图， 亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把所 有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因为
各种可能的线路有 =5P0740种。要想一一试 7
过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的 解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向 于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认 为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现 而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见
的事！
7
问题的魔力，竟然吸引了天才的欧拉。这位年轻的瑞士 数学家，以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题 的潜在意义。
只要硬币的直径不超过 圆孔直径的一倍半，上 面的要求是可以做到的。
45
巧解剪刀
用一根细绳像右图那样拴 结在剪刀上。剪刀的手柄是闭 合的，绳子的另一头连着一个 健身圈，其含意是不允许绳头 从剪刀的手柄中穿回去。请问。 在不允许把绳子剪断的前提下， 你能把绳子从剪刀上脱下来吗？
46
巧解剪刀
用一根细绳像右图那样拴结在剪刀上。剪刀的手柄 是闭合的，绳子的另一头连着一个健身圈，其含意是不 允许绳头从剪刀的手柄中穿回去。请问。在不允许把绳 子剪断的前提下，你能把绳子从剪刀上脱下来吗？
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
1
现今俄罗斯的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历 史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经 诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主 义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪 最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
2
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在 河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
28
29
哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以 证明的。其所需之概念，只有“内部”与“外部” 两个。事实上，我们很容易用线把①一①、②一② 连起来。明眼的读者可能已经发现：我们得到了一 条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴 影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域， 而另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部的③， 画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不
8
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
取一条长方形的纸带，如果将它两头对齐粘合在一起，
就成为一个圆圈。那么，它就有上下两个圆形边界，之间的
是内外两个圆柱面。现在将粘合处打开，重新进行粘合，与
上一次不同的是，这次把其中的一头旋转180°之后，也就是
把内面翻转朝外之后，然后再把两头无缝的粘起来。这样就
制作完成了莫比乌斯带。
33
34
35
36
以下我们将复杂的拓扑学知识应用到简单 的游戏中，使观众在游戏中了解拓扑学的特性， 并学习到相关知识。
23
“内部”与“外部”
一条头尾相连且自身
不相交的封闭曲线，把橡皮
膜分成两个部分。如果我们
把其中有限的部分称为闭曲
线的“内部”，那么另一部
分便是闭曲线的“外部”。
从闭曲线的内部走到闭曲线
的外部，不可能不通过该闭
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公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。
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著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵 味!有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把 河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往 今来，吸引了众多的游人来此散步。
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早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
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瓶不 ”分
内 外 的 “ 克 莱 茵
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42
拓扑魔术奇观
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大硬币通过小圆孔
纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这 个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。
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大硬币通过小圆孔
纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这 个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。
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欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.
11
这样，哥尼斯堡七桥问题就被抽象成为“一笔画问 题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许 重复任何一条线。
相交，这是不可能的！这正是哈里发悲剧之所在。
30
点A 是 在 内 部 还 是 外 部
31
19世纪中叶，法国数学家若尔当提出了一个精妙绝伦的办
法：在图形外找一点，与需要判定的区域内的某个点连成线段，
如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数，则所判定区域为
“内部”；否则为“外部”。
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奇异的莫比乌斯带
曲线。因此，无论你怎样拉
扯橡皮膜，只要不切割、不
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撕裂、不折叠、不穿孔，那
么闭曲线的内部和外部总是
保持不变的!
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“内部”与“外部”是拓扑 学中很重要的一组概念
以下有趣的故事，将增加你 对这两个概念的理解：
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传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一位 才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英 俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。 哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年为婿。于是 便出了一道题目，声明说：谁能解出这道题，便将女 儿嫁给谁！
——拓扑学
20
拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是 它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是 很恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动， 其长度、曲直、面积等等都将发生变化。此时谈论 “有多长？”、“有多大？”之类的问题，是毫无意 义的!
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不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不 变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的 图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以 一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图 形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
12
一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
26
哈里发的题目是这样的：请用线把下图中 写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不 许相交，也不许与图中的线相交。
27
上述问题的解决，似乎不费吹灰之力。 但实际上求婚者们全都乘兴而来，败兴而去！
据说后来哈里发终于醒悟，发现自己所 提的问题是不可能实现的，因而后来又改换 了题目。也有的说，哈里发固执已见，美丽 的公主因此终生未嫁。事情究竟如何，现在 自然无从查考。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
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想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!
事实上，中国民间很早就流传着这种一 笔画的游戏，只是很可惜，长期以来，人们 只把它作为一类有趣的游戏，没有对它引起 重视，也没有数学家对它进行经验总结和研 究，这不能不说是一种遗憾。
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不 变性质的几何学。
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拓扑学是在19世纪末兴起并在20世纪蓬 勃发展的数学分支，与近世代数、近代分析共 同成为数学的三大支柱。
拓扑学已在物理、化学、生物一些工程技 术中得到越来越广泛的应用。拓扑学主要研究 几何图形在一对一的双方连续变换下不同的性 质，这种性质称为“拓扑性质”。
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需要顺便提到的是：既然可由一笔 画画成的图形，其奇点个数应不多于两 个，那么，两笔画或多笔画能够画成的 图形，其奇点个数应有怎样的限制呢？
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的图形，需要n 笔划画成。
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姜伯驹《一笔画和邮递员路线问题》
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橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者已经看到 了一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不 考虑它们尺寸大小的新几何学。莱布尼兹 (Leibniz，1646～1716)和欧拉为这种“位置几 何学”的发展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支
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当中取圈
将6个一样的铁圈用绳子串着，绳子的两端如下图那 样开着。你能把当中的两个铁圈取出来，却又不让两端 的铁圈脱离绳子吗？
把绳的两头扣起来，将其一端上的两只铁圈通过绳结移 到另一端去，然后再将绳子解开，现在取走中间的两只铁 圈便很容易了。
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博物馆中的拓扑游戏道具
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这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
5
这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
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如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图， 亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把所 有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因为
各种可能的线路有 =5P0740种。要想一一试 7
过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的 解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向 于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认 为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现 而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见
的事！
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问题的魔力，竟然吸引了天才的欧拉。这位年轻的瑞士 数学家，以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题 的潜在意义。
只要硬币的直径不超过 圆孔直径的一倍半，上 面的要求是可以做到的。
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巧解剪刀
用一根细绳像右图那样拴 结在剪刀上。剪刀的手柄是闭 合的，绳子的另一头连着一个 健身圈，其含意是不允许绳头 从剪刀的手柄中穿回去。请问。 在不允许把绳子剪断的前提下， 你能把绳子从剪刀上脱下来吗？
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巧解剪刀
用一根细绳像右图那样拴结在剪刀上。剪刀的手柄 是闭合的，绳子的另一头连着一个健身圈，其含意是不 允许绳头从剪刀的手柄中穿回去。请问。在不允许把绳 子剪断的前提下，你能把绳子从剪刀上脱下来吗？
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
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现今俄罗斯的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历 史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经 诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主 义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪 最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
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哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在 河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
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哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以 证明的。其所需之概念，只有“内部”与“外部” 两个。事实上，我们很容易用线把①一①、②一② 连起来。明眼的读者可能已经发现：我们得到了一 条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴 影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域， 而另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部的③， 画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不
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欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
取一条长方形的纸带，如果将它两头对齐粘合在一起，
就成为一个圆圈。那么，它就有上下两个圆形边界，之间的
是内外两个圆柱面。现在将粘合处打开，重新进行粘合，与
上一次不同的是，这次把其中的一头旋转180°之后，也就是
把内面翻转朝外之后，然后再把两头无缝的粘起来。这样就
制作完成了莫比乌斯带。
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以下我们将复杂的拓扑学知识应用到简单 的游戏中，使观众在游戏中了解拓扑学的特性， 并学习到相关知识。
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“内部”与“外部”
一条头尾相连且自身
不相交的封闭曲线，把橡皮
膜分成两个部分。如果我们
把其中有限的部分称为闭曲
线的“内部”，那么另一部
分便是闭曲线的“外部”。
从闭曲线的内部走到闭曲线
的外部，不可能不通过该闭