高量8-角动量表象

其中c都是归一化常数，与l有关。
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通过推导，最后可以得到
2l 2 N | ll | l 1, l 1 2l 3 N z | ll N | l ,l N z | l ,l 1 | l 1, l 2l 3 2l 2 | l 1,(l 1) 2l 3 1 | l 1,l . 2l 3
n 1 n
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L nL N N L nLn N N Ln (n 1)L(n1)1 N
n 1
n
[ L , N ] 0
即当k=n+1时也成立。 （3）综合（1）（2），原式对任何正整数k 都成立，即
[ Lk , N z ] kLk 1 N
﹟
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§8.2 轨道角动量算符和方向算符
一、轨道角动量算符和方向算符的对易关系 1. 方向算符的有关定义 令方向算符 且分量满足 定义 则有 或
R N R
(单位算符)
2 2 N x N y N z2 1
N N x iN y
2 2 Nx Ny N N N N
利用这个公式，可以写出
N z Lk | ll Lk N z | ll kLk 1 N | ll
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N z Lk | ll Lk N z | ll kLk 1 N | ll
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已经知道 N z | ll 利用公式
1 | l 1, l 2l 3
故 N | ll 可以写为下列形式：
N | ll c | l ' m' c | l 1, l 1
同样考虑 N z | ll , N | l ,l 和 N z | l ,l ，得
N z | ll c z | l 1, l N | l ,l c | l 1,(l 1) N z | l ,l c ' z | l 1,l
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而升降算符对态矢量|jm>的作用可以写为
J | jm ( j m 1)( j m) | jm 1
重要！后面要用到。
由于|jm>是一组对易的厄米算符的共同本征 矢量，必须满足正交归一关系
j ' m' | jm j ' j m 'm
此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量 的本征矢量都成立。
﹟
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2. 对|lm>的作用
这是我们最关心的问题，为此证明公式
[ Lk , N z ] kLk 1 N
[证]用数学归纳法。 （1）当k=1时，[ L , N z ] N 显然成立 （2）当k=n时成立，即
[ Ln , N z ] nLn1 N
则
[ Ln1 , N z ] [ L Ln , N z ] L [ Ln , N z ] [ L , N z ]Ln L nL N N L
N z2 1 N N
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2. 方向算符 N 与轨道角动量算符 L 之间的关系
利用公式
[ Li , N j ] i ijk N k
k
很容易得出[ L , z , N , z ] 的相关对易关系：
[ L , N ] 0, [ L , N ] 2N z [ Lz , N ] N [ L , N ] 2N z , [ L , N ] 0 [ Lz , N ] N [ L , N z ] N , [ L , N z ] N [ Lz , N z ] 0
J 2 | jm j ( j 1) 2 | m J z | jm m | jm
且有
1 3 j 0, ,1, ,2, 2 2 m j , j 1, , j 1, j
通常情况下， 2 , J z 的本征矢量写成 | jm j , J 2 2 L , Lz的本征矢量写为 | lml ，而自旋 S , S z 的 本征矢量写成 | sms 。 有时也分别写为|jm>, |lm>, |sm>.
上式与下式
N z | lm (l m 1)(l m 1) | l 1, m (2l 1)( 2l 3) (l m)(l m) | l 1, m (2l 1)( 2l 1)
就是方向算符N对于轨道角动量本征矢量|lm> 的作用结果, 它们在以后的公式推导中很有用。
与前面得到的式子
N | ll L 1 | l 1, l N z 2l | l , l 1 2l 3
联立，得
N z | l , l 1 N | ll 4l 1 | l 1, l 1 | l, l 1 (2l 1)( 2l 3) 2l 1
[ Lz , N ] N
以上两式两边作用到|ll>上，有
2 2
注意：L | ll ?
2
L N | ll l (l 1) N | ll 2lN | ll 2 N | ll Lz N | ll lN | ll N | ll
N z | ll cz | l 1, l
2 1 | l 1, l 1 | l 1, l 1 (2l 1)( 2l 3) 2l 1
Lk N z | ll , Lk 1 N | ll 就很容易算出了(练习)。 则
这样就有
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N z | lm
分析发现，让 N z2 1 N N 作用于 | l 1, l 1 上就可以。即
N z N z | l 1, l 1 | l 1, l 1 N N | l 1, l 1
或
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1 2l N z | l , l 1 | l 1, l 1 N | l, l 2l 1 2l 1
2 1 | l 1, l 1 | l 1, l 1 (2l 1)( 2l 3) 2l 1
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对
N z Lk | ll Lk N z | ll kLk 1 N | ll
Lk | ll ~| lm , 现在知道了
而且
N | ll
或
L2 N | ll (l 1)(l 2) 2 N | ll Lz N | ll (l 1)N | ll
由此可见， | ll 也是 L2与 Lz 的本征矢量，本 N 2 征值分别为 (l 1)(l 2) 及 (l 1) , 相应的量子 数为 l ' l 1, m' l 1 10
及 [ L , z , N , z ]的相关对易关系，容易证明
[ L , N ] 2 ( N Lz N z L ) 2 N
2 2
[ Lz , N ] N
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[ L , N ] 2 ( N Lz N z L ) 2 N
2 2
(l m 1)(l m 1) | l 1, m (2l 1)( 2l 3) (l m)(l m) | l 1, m (2l 1)( 2l 1)
下面看 N 对 | lm 的作用： 由N [ L , N z ] 得
N | lm ( L N z | lm N z L | lm )
i ijk Lk i ijk Sk
k k
i ijk ( Lk Sk ) i ijk J k
k k
同样任意多角动量算符和都服从该对易关系。
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二、总角动量及其z分量算符的本征值与 本征函数 2 已知 [J , J ] 0 则
2
[J 2 , J z ] 0
为此用 [ L , N z ] N 作用于|ll>上
( L N z N z L ) | ll N | ll
得
N | ll L 1 | l 1, l 2l N z | l , l 1 2l 3
对于新出现的 N z | l , l 1 ，只要再求出一个式 子包含 N | ll , N z | l , l 1 就好办了。
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另外，利用前面所学的公式
容易得出
[ L2 , A] 2iA L 2(i) 2 A
2
2 [ L , N ] 2iN L 2(i) N
二、方向算符对轨道角动量本征矢量的作用 1. 对|ll>,|l,-l>的作用 利用
L2 L2 L2 L2 , N N x iN y x y z
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（1） 分量满足相似的对易关系 [ Si , S j ] i ijk S k
k
（2） 粒子自旋角动量各分量算符与粒子的 位置及动量算符均对易 这是一个新的假设，是五条基本原理推不出 来的，可以将其补充到有关对易关系的原理 3 中。这样就产生了总角动量概念。 3. 总角动量 J J1 J 2 两个含义： J L S 设总角动量为 J J (1) J ( 2) 下面求其对易关系。 2
这样 J , J z 有共同的本征矢量完全组， 设为 | m ，则有
J 2 | m 2 | m J z | m m | m
本征值写为此形式保证了 , m是无量纲的数。 在初等量子力学中，我们利用升降算符的 定义 J J x iJ y 求得了本征值，即有 4
J | jm ( j m 1)( j m) | jm 1
可以算出
Lk | ll 2 3 4 k 2l (2l 1) (2l 2) (2l k 1) k | lm , m l k
在第一式中， k | l 1, l 可用同样方法算出。 L 现在关键问题是求 N | ll 。 15
首先根据原理3，不论 J (1) , J ( 2) 代表什么角动量， 都有 (1) ( 2)
[J , J ]0
即二者的任意分量都对易。 以J L S 为例证明如下：
[ J i , J j ] [ Li Si , L j S j ] [ Li , L j ] [ Si , S j ]
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§8.3 量子数l的升降算符 一、升降算符的寻找
知道了 L | lm , N z | lm 的作用表达式，很容易 得出 N | lm ：
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(l m 1)(l m 2) N | lm | l 1, m 1 (2l 1)( 2l 3) (l m)(l m 1) | l 1, m 1 (2l 1)( 2l 1)
§8 角动量算符和角动量表象
§8.1 几种角动量算符 一、几种角动量
1. 轨道角动量 2. 自旋角动量
L R P
[ Li , L j ] i ijk Lk
k
自旋角动量没有经典对应，同这个粒子的位置和
动量没有任何关系。人们根据自旋角动量与轨道角
动量具有相类似的物理性质，作出了以下假定：