高中数学选修圆锥曲线

第一定义：平面内到
等于定值
的点
的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的
,两焦点的距离叫做
双曲线的
第二定义: 平面内到
距离之比是常数
的点
的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的
,常数叫做双曲线的离心率
标准方程
图形
顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率
例8 .命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命 题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不 必要条件
例5. P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是 .
例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;
.
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1);
.
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;
(4)离心率为，经过点(2，0);
____.
二、双曲线
1.双曲线的定义：
例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（ ）
(A) 圆 (B)椭圆
(C)双曲线
(D)抛物线
例10. 过点(2，-2)且与双曲线
有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)
(B)
(C)
(D)
例11. 双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为( )
例12 设的顶点，，且，则第三个顶点C的轨迹方程是________.
例29. 已知的周长是16，，B则动点的轨迹方程是( )
百度文库
(A) (B) (C) (D)
例30. 椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为 . 例31. 已知动圆P与定圆C: （x＋2）＋y＝１相外切，又与定直线l：x＝ １相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.
五、简单的直线与圆锥曲线相交问题
) (B)(1,1)
(C) ()
(D) (2,4)
例36 抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，则k的值是( )
(A)2
(B)-2
(C)4
(D)-4
例37 如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是 .
例38 已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为 .
例39 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存 在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
点F叫做抛物线的焦点, 定直线叫做
2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方
程
图形
对称轴 焦点 顶点 准线 离心率
例15. 顶点在原点，焦点是
的抛物线方程是( )
(A)x2=8y
(B)x2=-8y (C)y2=8x
(D)y2=-8x
例16 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )
例22 以抛物线
的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________. 例23过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的斜率的范围是 .
例24 设
是一常数，过点的直线与抛物线
交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。 (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上； (Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程
(A)
(B)
(C)
(D)0
例17. 过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )
(A)4条
(B)3条
(C)2条
(D)1条
例18. 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF
与FQ的长分别为p、q，则 等于( )
(A)2a
(B)
(C)
(D)
例19 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上
小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是( )
(A) (c，)
(C)(0，±b) (D)不存在
例4设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为
直径的圆与椭圆的一个交点,
若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C)
(D)
综上可知，直线过定点，定点坐标为
练习1.已知椭圆 过点 ，且离心率 。
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。 【解析】（Ⅰ）离心率
，，即（1）； 又椭圆过点 ，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。 （Ⅱ）设，弦MN的中点A 由得：， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即………………（1）
1.已知抛物线C:与直线相交于两点，线段AB中点的横坐标为5，且抛物 线C的焦点到直线的距离为，试求的值
2. 已知直线与抛物线交于A,B两点，且（O为坐标原点），求b的值 3.若椭圆于直线交于A,B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的 斜率为，且，求的值
4. 设双曲线C的方程为，直线的方程是，当为何值时，直线与双曲线 C
（1） 有两个公共点； （2） 有一个公共点； （3） 没有公共点；
5、设F为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中 点，若，则直线的斜率等于
6、
已知为抛物线的过焦点的弦，若，则线段的中点的横坐标为
，若直线的倾斜角为，则
7、 点P（8,1）平分双曲线的一条弦，这条弦所在的直线方程是
8、 设椭圆（a>b>0）与直线x+y=1交于PQ两点，且，其中O为坐标原 点，求证：
圆锥曲线定义的辨析
在本章中，椭圆、双曲线、抛物线的定义是基础，学生要在理解圆锥 曲线定义的基础上掌握它们定义的辨析题型.
1. 已知的顶点A(0，-2),B(0，2),且，则顶点C的轨迹是
2. 已知以点C为圆心，半径为R（R>6）的圆内有一个定点A，且 AC=6，如果圆P过点A且与圆C内切，求圆心P的轨迹
例1. F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的
轨迹方程是( )
(A) 椭圆 (B)直线
(C)圆 (D)线段
例2. 已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( )
(A) (B) (C) (D)
例3. 若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程 (等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重 于形，重视图形几何性质的运用。
求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化. 例25. 已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹 方程为
例26. ⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与
移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )
(A) (3，3) (B)(2，2)
(C)(，1) (D)(0，0)
例20 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .
例21 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点 的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.
六、圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组 成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相 切、相离的充分必要条件分别是、、. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而 不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则. 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想 方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性 质，以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二 是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函 数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。 例32. AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面
3. 已知点,圆,点A是圆M上一个动点，线段的垂直平分线交于点，则点 的轨迹方程是
4. 平面内，若动点M到定点F（0，-3）的距离比到定直线y=2的距离 大1，则动点M的轨迹是
四、求点的轨迹问题
如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨 迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例 题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法 利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
高中数学选修圆锥曲线基本知识点与 典型题举例
一、椭圆
1.椭圆的定义：
第一定义：平面内到
点的轨迹叫做椭圆,这两
个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做
第二定义: 平面内到
的距离之比是常数
的点的轨
迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的
,常数叫做椭圆
的离心率.
2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方 程 图形 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率
积最大值是( )
(A)b2
(B)ab
(C)ac
例33 若直线y＝kx＋2与双曲线
(D)bc
的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
,
,
,
,
例34. 若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为，则a＋b 的值是( ).
或 (D)2或－2
例35 抛物线y=x2上的点到直线2x- y =4的距离最近的点的坐标是( )
例13. 根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)； ⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).
例14. 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）求直线AB方程； 注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）
三、.抛物线
1.抛物线的定义:
平面内到
点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定
【解析】由已知得直线的方程为由消去得
设 则 由此可知,为定值.
练习 在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B
两点。 （Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，
由韦达定理得：， 则， 直线AG的斜率为：， 由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。
练习1.设椭圆与直线交于两点，且,其中为坐标原点，求证：
例41 已知椭圆:点的坐标为,过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,对于任意的是否
为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.
例40.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值 为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求 证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【解析】(I)由题意设椭圆的标准方程为 ， (II)设，由得， ，. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，， (最好是用向量点乘来)， ， ，解得，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点
⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是
(A) 椭圆
(B)抛物线
(C)双曲线 (D)双曲线的一支
例27. 动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是 （A） (2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2y-1)2=-12x（D）(2y1)2=12x
例28. 过点（2，0）与圆相内切的圆的圆心的轨迹是 （A） 椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
七、圆锥曲线中的一些定点、定值问题
江苏高考中近几年常考的一类题型为圆锥曲线题，常常涉及到过定点 与定值问题，属于解析几何的范畴。解析几何是用代数的手段解决几何 问题，在教学中我发现了许多圆锥曲线中过定点或比值为定值问题，想 讲清楚这类问题不难，教者只要讲清这类问题的原理为等式恒成立，方 法为待定系数法即可。后来发现如果只讲方法与原理，不少学生的掌握 仅限于模仿，处于知其然不知其所以然的境况；而在几何中过定点问题 可以依据的几何方法找到直观的解释。如果教者能潜心研究，发现其几 何解释，这样不仅很好地解释过定点或定值问题，而且能让学生易于接 受结果，学生学习积极性的会有更好提高、对解几的运算更能接受。 下面通过几个例子能说明问题：