沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件

2. 求过P 5, 3点的直线方程,使它与直线 x 2 y 3 0
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
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l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
另一直角边直线为：x 2 y 2 0 或 x 2 y 14 0
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4. 过两条直线 l1 : 2x y 8 0和 l2 : x 2 y 1 0的 交点一条直线, 使它平分 l1 与l2 的所成角,求这条直线 的方程.
P x0, y0
l2 : a2 x b2 y c2 0
O
x
(1) 两直线的交点
y
l1：l1 x, y 0
结论：
P x0 , y0 l1
l2
l1 l2
( (
x0 x0
, ,
y0 ) y0 )
0 0
P x0, y0 l2 : l2 x, y 0
O
x
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*）解的个 数相同，即直线l1与 l2的交点情况等价于方程 组（*）解的情况.
1 k1k2
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tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
y
l2
l1
tan k1 k2
1 k1 k2
l2 l1
21
O
12
x
21
O
21
x
2 1
解：<1> l1,l2交点3, 2 设所求直线斜率为k
k2 1 2k
k1 2
1 1k
2
k 3或k 1 3
<2> 设 P x, y是所求直线上一点
2x y 8 x 2y 1
5
5
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0，2
当直线l1
l2时,
直线l1和l2的夹角是
2
1
l1
2
l2
（3） 两直线夹角公式
设两条直线l1与l2的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
y
则 l1 和l2 的法向量分别为
n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
而 l1 和l2 的方向向量分别为
5. ABC的顶点A3,4 , B 6,0 ,C 5, 2 ,求A的平分线
AT 所在的直线方程.
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(2)两直线的位置关系
设直角坐标系上两条直线的方程分别为：
l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
1 当 D 0 即a1b2 a2b1 0 时
方程组（*）有唯一解
x
Dx D
的夹角为 , 求直线l的方程.
3
x 3 y 1 0 或 x 2
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例3 等腰三角形一腰所在直线 l1：x 2 y 2 0, 底边
所在直线 l2：x y 1 0，点 2, 0 在另一腰上, 求这
3. 等腰直角三角形,斜边中点是 M 4, 2 ,一条直角
边所在的直线方程是 y 2x, 求另外两边所在的
直线方程.
解：另一直角边的斜率为
1 2
设底边的斜率为k
y 2x
14 5
，28 5
k1 2
k 2 tan 45 1 1 2k
2 5
，4 5
M 4, 2
3 或 1 3
底边所在直线：3x y 14 0 或 x 3 y 2 0
l1
1
2
O
x
l2
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例1 求直线 l1 : y 2x 3与l2 : y 3x 4 的夹角.
4
例2 已知直线 l 经过点P 2, 3 ,且和直线 x 3 y 2 0
两条直线的位置关系
1. 点与直线位置关系
点P x0, y0 在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
反之，点P x0, y0 不在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
存在点到直线的最短距离
2. 直线与直线位置关系
在同一平面上的直线之间，有相交、平行、重合三种 位置关系，那么这三种位置关系反映在直线方程关系上如 何呢？
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（4） 两直线夹角正切公式 若 l1与 l2的夹角为，斜率为k1 和k2
则l1与l2 的法向量分别为 n1 k1, 1 n2 k2, 1
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
d1 b1 , a1 d2 b2 , a2 O
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
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若l1与l1的夹角为，而向量d1 与d2的夹角为
或
y
cos cos
cos cos d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
设直角坐标系上两条直线的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
点P x0, y0 是直线l1 与l2 公共点
x0 , y0 是方程组
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
* 的解
y l1：a1 x b1 y c1 0
解：设直线l : 4x 3 y c 0
点
P
满足
x x
2y4 0 y20
x 0
y
2
P 0,2
将 P 0,2代入直线l c 6
直线l : 4x 3 y 6 0
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(1)
1 2
1 2
(2)
2 1
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说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
y
Dy D
即直线l1与
l2相交于一点，其交点坐标是
Dx D
，Dy D
特别地: 当 l1 l2 时 a1a2 b1b2 0 2 当 D 0, Dx 0或 Dy 0时
方程组（*）无解 即直线 l1// l2
3 当 D Dx Dy 0 时
方程组（*）有无穷多解 即直线l1与 l2重合 结论：D=0 即a1b2-a2b1=0 是直线l1与 l2平行或重合
a1a2 b1b2
O
a12 b12 a22 b22
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
结论： 若l1与l2的法向量分别为 n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
l1与l2的夹角为，则co
a12 b12 a22 b22
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