最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案

1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A．4B．4.1
C．0.41D．3
答案 B
解析 ＝ ＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于( )
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题
1．1.2 导数的概念
[学习目标]
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
[知识链接]
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
要点三 函数在某点处的导数
例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵ ＝ ＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
规律方法 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
A．4B．4x
C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ ＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝ ，则f′(1)＝________.
答案 －
解析f′(1)＝ ＝
＝ ＝－ .
利用导数定义求导数三步曲：
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率 ＝ ；
(3)取极限得导数f′(x0)＝ ，
简记为一差，二比，三极限.
一、基础达标
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 中，Δx不可能是( )
(2)求平均变化率 ＝ ；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)
＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
要点一 求平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
③当Δx＝0.1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－wenku.baidu.com.3.
规律方法 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
要点二 物体运动的瞬时速度
例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝ ，Δt为增量．则 ＝ ＋
＝ ＝－4.9 ＋6.5，
∴ ＝ ＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ ，
(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L)．
(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L)．
跟踪演练2 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴ ＝4a＋aΔt.
在t＝2 s时，瞬时速度为 ＝4a，即4a＝8，∴a＝2.
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
[预习导引]
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ .
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度 ＝ ；
(3)求 的值，即得t＝t0时的瞬时速度．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率 ＝ .
跟踪演练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝ ＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ ＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时， ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；