概率论论文-概率论在生活中的应用

概率论论文

--概率论在生活中的应用

概率论在生活中的应用

【摘要】概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让我们用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。

【关键词】 概率论 经济 生活 保险 彩票

1. 在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例 1 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x (单位:吨) 服从()300500， 上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案.

解 设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300a 500≤≤,又记y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即()y g x = ,由题设条件知:

当x a ≥时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ；

当x a <时,则售出x 吨(获利1.5x ) 且还有a x -吨积压(获利()0.5a x --) ,所以共获利1.5x ()0.5a x --，由此得

(){

1.52 0.5a X a X a X a x Y g ≥-<== 从而得

()()()()500

3001200

x y g x p x dx g x dx E +∞-∞==⎰⎰ ()5003001120.5 1.5200200

a a x a dx a dx -+=⎰⎰ ()221900300200a -+-= 上述计算表明()y E 是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a =吨时,能够使得期望的利润达到最大。

2.大数定律在保险业的应用

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会

机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。

例如某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金1Z Z -单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为

()f Z ，显然有()()f Z f Z K --，当1K Z =时为预期风险条件下利润损失额。当()()0f Z f Z K --≥时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为(1,2,....,)i X i n =，则i X 的概率分布为：

上表中，P 为风险发生的概率，

1Z 为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为()1i E X Z P

=。

根据契贝晓夫大数定律，当1Z

有限时，0ε∀>，

111lim 0n i n i P X Z P n ε→∞=⎛⎫-≥= ⎪⎝⎭∑.

0ε∀>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。

定理[1]6 在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ，(01)p <<，

n μ为n 此试验中出现A 的次数，则

2

2lim t x n P x e dt -→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭⎰。 定理[1]

7 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期

望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量

σμn n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111

)

(

的分布函数F n （x ）对于任意x 满足

⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ

根据上述中心极限定理，由事先约定的0β>，则

11121n i i P X Z P n εβ=⎛⎫⎛⎛⎫-≥≈-Φ≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭∑

这样，由事先给定的P εβ、、确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.

例如：当=0.01

=0.0012P ε、，则当约定=0.001β时，一定有n 130≥,也就是说当n 130≥时，上述的结果成立。

依据上述结果，从两个方面来看，

从微观上看，因为01P <<,则

11Z PZ >，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有()()11f Z Z f Z PZ -<-。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。

从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为

()()()

111n i i i D f Z f Z Z ==--∑。

其中()i f Z 表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）.

而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为

()()()

211n i i i D f Z f Z PZ ==--∑。

则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：

()()()

12111n n i i i D D D f Z PZ f Z Z ==-=---∑