9.1 欧氏空间定义及性质

向量1,2, ,m 两两正交，则 2 m 2 1 2 2 2 m 2 .
五 向量的距离
15) ｜α+β｜≤｜α ｜+｜β |（三角不等式）
证明： |α +β |2 =(α +β ,α +β )=(α ,α )+2(α ,β )
+(β ,β )≤|α |2 + 2|α ||β |+|β |2 =(|α |+|β |)2
= k (ξ,η) .
3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ···+ (xn+yn)zn = (x1z1+ ···+
xnzn ) + (y1z1 + ···+ ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ).
4) (ξ,ξ) = x12 + ···+ xn2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当
显然零向量与任何向量正交( (0, ) 0 ) ，仅有零向量与自己
正交( 0 (, ) 0 ).
r
13) i (i 1, , r) aii
i=1
r
r
证明： 题设得 ( ,i ) 0 (i 1, , r) ( , aii ) ai ( ,i ) 0
柯西: 法国数学家（1789-1857年） 其主要贡献在微积分，复变函数和 微分方程方面，许多定理和公式均 以他的名字命名. 布涅柯夫斯基是俄国数学家，施 瓦茨是德国数学家，他们各自都发 现如上结论，故历史上一般称为柯 西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.
柯西
证明： 1） β=0 时，不等式显然成立. 2） β≠ 0 时，设 γ=α+tβ, t∈R (这里 t 具有任意性)
( , )
( , )
( , ) 0 ( , ) 0 ，即α,β线性相关.
□
(, )
柯西-施瓦茨不等式应用于例 1 中 Rn 的内积的具体表现形式：
(a1, , an ), (b1, , bn ) R n , 据内积定义和柯-施不等式得
例1 Rn中，对任意的ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )∈Rn, 规 定 (ξ,η) = x1y1 + ···+ xnyn , 则Rn 对此构成欧式空间.
证明：显然(ξ,η)∈R, 且具唯一性.
对任意的ξ,η,ζ∈Rn, k∈R,
1) (ξ,η) = x1y1 + ···+ xnyn = y1x1 + ···+ ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ···+k xnyn = k(x1y1 + ···+ xnyn)
r
r
(a11, b11) (a22, b11) (arr , b11) (aii, b11) aib1(i, 1)
i1
i1
r
r
(a11, b22 ) (a22, b22 ) (arr , b22 ) (aii , b22 ) aib2 (i , 2 )
α
证明： d(α ,γ )=|α －γ |≤|α －β |＋|β －γ |=
d(α ,β )＋d(β ,γ ).
19）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间.
故可引入欧氏空间的子空间的概念.
六 度量矩阵
定义 设1, ,n 是欧氏空间 V 的基，令 aij (i , j ) (i, j 1, 2, , n)
→ 据公理 4，（γ,γ）=（α+tβ，α+tβ）≥ 0，即 （αα）+2(αβ)t+(ββ)t2 ≥ 0,对任意的 t∈R
取 t ( , ) 代入上式，得 (α,α)－ ( , )2 ≥0 , 即
( , )
( , )
(α,β)2≤(α,α)(β,β), 即|(α,β)|≤|α||β|.
i1 j 1
r
s
r
( aii , bj j ) ( aii , b11 b22 bss )
i1
j 1
i1
r
r
r
( aii , b11 ) ( aii, b22 ) ( aii, bss )
i1
i1
i1
(称如上过程为向量 的单位化).
证明： ( , ) 1 ( , ) 1.




四 向量夹角
为在V中引入夹角概念，先研究如下性质： 12） (α,β)2 ≤ (αα)(ββ) ( 或 |(α,β)|≤|α||β| )
其中等号成立当且仅当 α,β线性相关. 该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.
(1) ；(2) ( ) ；(3) (a ) a()
→ 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在 线性空间
中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征.
定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为 内积，是指 对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R, 存在唯 一的(α,β)∈R, 使得 1) (α,β) = (β,α)； 2) (kα,β) = k(α,β)
a
a
即得数学分析上常用的施瓦茨不等式:
b f ( x) g ( x)dx2 ≤ b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx 。
a
a
a
柯西-施瓦茨不等式将完全无关的两个著名不等式统一起来，
揭示了他们之间的内在联系，是欧氏空间理论的一个成功典例.
定义 3 非零向量, V, , 的夹角θ 规定如下：
→ ｜α+β｜≤｜α ｜+｜β |.
□
几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边.
定义5 向量α ,β 的距离 d(α ,β )=|α －β | 几何意义如图示.
16) α ≠β ,则 d(α ,β )＞0.
α －β
17) d(α ,β )= d(β ,α ).
β
18) d(α ,γ )≤d(α ,β )＋d(β ,γ ).
(0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) .
8) 对任意的β∈V，(αβ) = 0, 则α= 0
取β=α, 则 (αα) = 0, 据公理4得α= 0 .
9)
r
( aii ,
s
r
bj j )
s
aibj (i , j )
i 1
j 1
Leabharlann Baidu
(a1b1 anbn )2 ( , )2 ≤ ( , )( , ) (a12
即得数学分析中常用的所谓柯西不等式：
an2 )(b12
bn2 )
(a1b1 anbn )2 ≤ (a12 an2 )(b12 bn2 ) .
柯西-施瓦茨不等式应用于例 2 中 C(a, b) 的内积具体表现形式：
设 α,β线性相关，即α= kβ → (α,β)2 = (kβ,β)2 = k2(β,β)2 = (kβ,kβ)( β,β) = (α,α)(β,β),即等号成立.
设等号成立，即 (α,β)2 = (α,α)(β,β) → 若β＝0， α,β已经线性相关；若β≠ 0， 由如上等式得
( , ) ( , )2 0 据所设，这时 t ( , ) ，应有
例 2 中, f (x) C(a, b), f (x) ( f , f ) b f 2 (x)dx . a
10) k k k R, V .
xn2 .
证明： k (k, k ) k2 (, ) k .
11) 长度 = 1 的向量叫单位向量， 0 为单位向量.
(α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .
6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)
(α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α)
= (α,β) + (α,γ) .
7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V )
aibj (i , j )
i1
i1
i1
j1 i1
rs

aibj (i , j ) .
i1 j1
定义 2
三 向量长度
V, 定义ξ的长度为 ( , )
V, 都有长度；零向量的长度为 0；非零向量的长度＞0.
例 1 中， (x1, x2 , , xn ) Rn , ( , ) x12 x22
b),
b
( f (x), g(x)) a
f (x)g(x)dx
证明分析： 根据定积分
的性质，易证欧氏空间定
义中
4条公理成立，故C(a, b)
关于（f, g）构成欧氏空
a f(x)
b
间.
注： R[x], R[x]n 关于如上 定义的（f, g）也构成欧
氏空间.
二 基本性质
5） (α, kβ) = k(α, β)
定义 4 称向量 , ( V) 正交，记成 (, ) 0 .
由定义 3 可知， (, ) cos ，故非零向量, 具有如
下结论： , 互相垂直 夹角 为 90 度 cos 0 .
这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.
cos (, ) ( , arccos (, ) ) .


定义合理性分析：据柯西-施瓦茨不等式有 (, ) ≤
→ ≤ (, ) ≤ ，即 －1 ≤ (, ) ≤ 1 →

, 有唯一夹角θ，且 0≤θ≤π.
欧氏空间中向量长度，夹角概念是几何空间相应概念的推广.
i1
i1


r
r
(a11, bss ) (a22, bss ) (arr , bss ) (aii , bss ) aibs (i , s )
i1
i1
r
r
r
sr
aib1(i, 1) aib2(i, 2) aibs (i, s )
i 1
i 1
r
aii .
□
i 1
14） 2 2 2 证明： 2 ( , ) (,) (, ) 2 2 . □
即勾股定理在欧氏空间中依然

成立,并可推广到更一般的情形,即
f (x), g(x) C(a, b) ，内积 ( f ( x), g( x)) b f ( x) g( x)dx ，故 a
b f ( x) g ( x)dx2 ( f ( x), g ( x)) ≤ ( f (x), f (x))(g(x), g(x)) a
b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ，
3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间.
公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称 为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功） 的基本属性.
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概 念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的， 故称为欧氏空间.
一 概念引入
物理学上力F所做之功：
W=SFcosθ 空间解析中, 矢量的数
F
Θ
量积一般表示：ξ,η∈V3
Fcosθ
1) ξ,η均不为0：ξη=|ξ||η|cos<ξz,η>∈R；
2) ξ或η为0：规定ξη=0.
, cos , , 且有性质
x1 = x2 = ···= xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ···+ xn2 = 0.
故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间.
□
例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如
下规定的二元函数构成R上的欧氏空间.
对任意的f(x), g(x)∈C(a,