计量经济学 第二版 庞皓 第九章 设定误差与测量误差

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设定误差的原因
●数据来源渠道可能不畅。例如，数据很难取得被 数据来源渠道可能不畅。例如， 迫将具有重要的经济意义变量排斥在模型之外。 迫将具有重要的经济意义变量排斥在模型之外。 ●不知道变量应当以什么确切的函数形式出现在回 归模型中。 归模型中。 ●事先并不知道所研究的实证数据中所隐含的真实 模型究竟是什么。 模型究竟是什么。 设定误差在建模中较容易出现。 设定误差在建模中较容易出现。设定误差的存在 可能会对模型形成不良的后果。 可能会对模型形成不良的后果。
σ2
ˆ Var(β2 ) =
∑ x2i x3i ) 2 ∑ x2i (1- x2 x2 ∑ 2i ∑ 3i
σ2
=
2 2 x2i (1- r23 ) ∑
σ2
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ˆ 相关， ˆ 如果 X 3 与 X 2 相关，显然有 Var(α 2 ) ≠ Var( β 2 )
ˆ 不相关， 如果 X 3与 X 2不相关，也有 Var(α2 ) ≠ Var(β2 ) ˆ
yi = β2 x2i + β2 x3i + (ui - u )
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却对方程 Y i = α 1 + α 2 X 进行回归， 进行回归，得：
ˆ α 2 = β 2 + β3
2i
+ν i
取期望
∑x x ∑x
2 i 3i 2 2i
∑ x (u - u ) + ∑x
2i i 2 2i
∑ x2i x3i + ∑ x2i (ui - u ) ˆ E (α 2 ) = E β 2 + β 3 2 2 ∑ x2i ∑ x2i
本下有偏，在大样本下非一致。 本下有偏，在大样本下非一致。
的估计却是有偏的。 性；但这时α2 的估计却是有偏的。 即OLS估计量在小样 估计量在小样
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ˆ 方差的有偏估计： 3. α 2 的方差是 β 2 方差的有偏估计： ˆ
由Y
ˆ = β1 + β2X2 + β3X3 +u 得 Var(α2 ) = x2 ∑ 2i 由Y = α + α x + v 得 1 2 2
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第九章 设定误差与测量误差
本章主要讨论: 本章主要讨论:
●设定误差 ●设定误差的检验 ●测量误差
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第一节 设定误差
本节基本内容: 本节基本内容:
●设定误差及类型 ●变量设定误差的后果
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一、设定误差及类型
计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想， 计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想， 若所设定的回归模型是“正确” 若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是所 选模型参数的估计和假设检验。 选模型参数的估计和假设检验。但是如果对计量模 型的各种诊断或检验总不能令人满意， 型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注 意力集中到模型的设定方面： 意力集中到模型的设定方面： 考虑所建模型是否遗漏了重要的变量？ 考虑所建模型是否遗漏了重要的变量？ 是否包含了多余的变量？ 是否包含了多余的变量？ 所选模型的函数形式是否正确？ 所选模型的函数形式是否正确？ 随机扰动项的设定是否合理？ 随机扰动项的设定是否合理？ 变量的数据收集是否有误差？ 变量的数据收集是否有误差？ 所有这些，计量经济学中被统称为设定误差。 所有这些，计量经济学中被统称为设定误差。 7
而我们将模型设定为
Y =α +α2 X2i +νi i 1
即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。 即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。 这类错误称为遗漏相关变量 遗漏相关变量（ 欠拟合” 这类错误称为遗漏相关变量（“欠拟合”）。
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2. 无关变量的误选
(Including Irrevelant Variables)
设定误差的类型
从误差来源看，设定误差主要包括： 从误差来源看，设定误差主要包括： （1）变量的设定误差，包括相关变量的遗漏 ）变量的设定误差， 欠拟合）、无关变量的误选（过拟合）； ）、无关变量的误选 （欠拟合）、无关变量的误选（过拟合）； （2）变量数据的测量误差； ）变量数据的测量误差； （3）模型函数形式的设定误差； ）模型函数形式的设定误差； （4）随机扰动项设定误差。 ）随机扰动项设定误差。 本章主要讨论的两类变量设定误差: 本章主要讨论的两类变量设定误差
IM = -172.42 + 0.271 D - 949.12 + 160.73 2 - 10.18T3 G P T T
t = (-0.177) (5.67) (-2.22) (2.20) (-2.74)
R2 = 0.991 F = 272.95 D = 1.97 W
2
有人根据“简单优于复杂”原则，得到以下方程： 有人根据“简单优于复杂”原则，得到以下方程：
4. 遗漏变量 X 3 ，式中的随机扰动项 v i的方差估计 量将是有偏的， 量将是有偏的，即： ˆ σ v2 = RSSv ( n - 2)
ˆ E (σ v2 ) ≠ σ u2
5. 与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计， 与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计， 在关于参数的统计显著性方面， 在关于参数的统计显著性方面，都容易导出错误的 结论。 结论。
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2. 包含无关变量偏误
定义:模型中包括了不重要的解释变量， 定义 模型中包括了不重要的解释变量，即采用误 模型中包括了不重要的解释变量 选了无关解释变量的模型进行估计而带来的偏误， 选了无关解释变量的模型进行估计而带来的偏误， 称为包含无关变量偏误 设正确模型 Y = β + β X + µ (1) 1 2 2 但却估计了 Y = α + α X + α X + v (2) 1 2 2 3 3 相同， 如果 α3 = 0 则(2)与(1)相同，因此，可将 式 ， 与 相同 因此，可将(1)式 为约束的(2)式的特殊形式。 视为以 α3 = 0 为约束的 式的特殊形式。 采用OLS 法对（2）进行估计，有： 法对（ ）进行估计， 采用
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ˆ ˆ (1) 若 X3与 2相关， 23 ≠ 0，显然，Var (α2 ) ≠ Var β2 X r2
ˆ ˆ 似乎有：Var (α2 ) < Var β2 ;
但实际情形并不完全如此。 但实际情形并不完全如此。 可以注意到残差平方和 可以注意到残差平方和RSS的计算 的计算
( )
( )
ˆ ˆ σν2 = RSSv (n − 2) ≠ RSSu (n − 3) = σu2 ;
例如，如果“真实模型” 例如，如果“真实模型”为：
Y = β1 + β2 X2i + β3X3i + µi i
但我们却将模型设定为
Y =α1 +α2 X2i +α3X3i +α4 X4i +νi i
即设定模型时，多选了一个无关解释变量。 即设定模型时，多选了一个无关解释变量。这类 错误称为无关变量的误选（ 过拟合” 错误称为无关变量的误选（“过拟合”）。
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二、变量设定误差的后果
当模型设定出现误差时， 当模型设定出现误差时，模型估计结果也会与 “实际”有偏误； 实际”有偏误； 偏误的性质与程度与模型设定误差的类型密切相 关。 从实质上看，变量设定误差的主要后果， 从实质上看，变量设定误差的主要后果，是一个 或多个解释变量与随机扰动项之间存在着相关性， 或多个解释变量与随机扰动项之间存在着相关性， 进而影响参数估计的统计特性。 进而影响参数估计的统计特性。
因此，有可能： 因此，有可能：
RSSv (n − 2) > RSSu (n − 3);
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不相关， （2）若 X 3与X 2 不相关，有 ）
2 r23 = 0和 ∑ x2i x3i 2 x2i = 0； ∑
似乎分别有： 似乎分别有： ˆ E (α2 ) = β2
ˆ ˆ Var(β2 ) = Var(α2 );
IM = -217.186 + 0.173G P D
t = (-0.5) ( 16.94)
(2)
R2 = 0.960 F = 286.95
D = 0.735 W
进行比较： 进行比较：
两个方程的检验结果都较理想； 两个方程的检验结果都较理想； 方程（ ） 检验值似乎优于方程（ ）； 方程（2）GDP的t检验值似乎优于方程（1）； 的 检验值似乎优于方程 方程（ ）函数形式也更为简单； 方程（2）函数形式也更为简单； 然而，能否根据“ 原则， 然而，能否根据“Occam’s razor”原则，判断方程（2）比 原则 判断方程（ ） 方程（ ） 方程（1）好？
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对模型的设定是计量经济研究的重要环节。 对模型的设定是计量经济研究的重要环节。 前面各章除了对随机扰动项 还强调: 外，还强调 分布的基本假定以 ui
假定设定的模型对变量和函数形式的设定是 正确地描述被解释变量与解释变量之间的真实关 假定模型中的变量没有测量误差。 系，假定模型中的变量没有测量误差。 但是在实际的建模实践中， 但是在实际的建模实践中，对模型的设定不一定 能够完全满足这样的要求， 能够完全满足这样的要求，从而会使模型出现设 定误差。 定误差。
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遗漏变量设定误差的后果
由此可以看出， 的遗漏将产生如下后果。 由此可以看出，X3的遗漏将产生如下后果。 两边取概率极限， 两边取概率极限，有：
Cov ( X 2i , X3i ) Cov ( X 2i , ui ) ˆ p limα2 = β2 + β3 + Var ( X 2i ) Var ( X 2i ) n→∞
（1）相关变量的遗漏（欠拟合）； ）相关变量的遗漏（欠拟合）； （2）无关变量的误选（过拟合）。 ）无关变量的误选（过拟合）。
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1. 相关变量的遗漏
（Omitting Relevant Variables） ）
例如，如果“正确” 例如，如果“正确”的模型为
Y = β1 + β2 X2i + β3X3i + µi i
计量经济学
第 九 章 设定误差与测量误差
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引子：简单一定胜于复杂吗? 引子：简单一定胜于复杂吗?
西方国家盛行“ 西方国家盛行“Occam`s razor”原则，意思是 ”原则， 简单优于复杂”的节约性原则。 “简单优于复杂”的节约性原则。经济模型永远 无法完全把握现实， 无法完全把握现实，在建立模型中一定的抽象和 简化是不可避免的。 简化是不可避免的。 在研究进口与国内生产总值的关系时， 在研究进口与国内生产总值的关系时，考虑到时 间趋势， 间趋势，建立并估计了以下模型
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ˆ α2
∑ x y ∑ x -∑ x y ∑ x x = ∑ x ∑ x - (∑ x ∑ x )
2i i 2 2i 2 3i 2 3i 3i i 2i 3i
2 3i
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1. 遗漏相关变量（欠拟合）偏误 遗漏相关变量（欠拟合）
采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带来 的偏误，称为遗漏相关变量偏误。 的偏误，称为遗漏相关变量偏误。 设正确的模型为： 设正确的模型为：
Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3i X 3i + ui
正确模型离 X3 X2相关，则分别在小样本下求 与 相关， 期望、在大样本下求概率极限， 期望、在大样本下求概率极限，有：
ˆ E(α1 ) ≠ β1 ˆ 且 p lim(α1 ) ≠ β1
n →∞
3
2
ˆ E(α 2 ) ≠ β2 ˆ p lim(α 2 ) ≠ β2
n →∞
2. 如果 X 与 X 不相关，则 α2 的估计满足无偏性与一致 不相关，
的有偏估计， 不相关， 的有偏估计，即使 X 3与X 2 不相关，也有 ˆ ˆ ˆ ˆ Var( β ) ≠ Var(α )，
2
致使假设检验程序很有可能是可疑的。 致使假设检验程序很有可能是可疑的。 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来， 必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来， 再从中遗漏变量需要充分地谨慎。 再从中遗漏变量需要充分地谨慎。
若这两个等式成立， 若这两个等式成立，意味着尽管变量 X3 ，在 理论上分析是有关的变量， 理论上分析是有关的变量，但从所选模型中略 去似乎也不会导致什么危害。 去似乎也不会导致什么危害。这种认识实际也 不正确。 不正确。
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因为
RSSv n - 2 σ u2 ˆ ) = ˆ = RSSu n - 3 ˆ ˆ ˆ Var(α 2 ) = = 是Var(β 2 2 2 2 2 x2i x2i x2i x2i ∑ ∑ ∑ ∑ ˆ σ v2