集合,函数中的分类讨论问题
数学 专题：解析一次函数中的分类讨论问题
一次函数中的分类讨论问题分类讨论是是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，同时也体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有十分重要的位置。
在一次函数学习过程中，除了首先要运用数形结合的思想方法去深刻理解和掌握一次函数的有关概念外，还要使学生学会用分类讨论的思想去研究一次函数的解题方法和技巧，做到不重复解和不漏解，现举例加以说明。
一、遇到有坐标轴名称不明确的需要讨论例1：已知正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图象都经过点P（－2，1），且一次函数y=k2x+b 的图象与y轴交点坐标是A（0，3），求直线y=k1x和直线y=k2x+b与坐标轴围成的三角形的面积。
分析：由已知条件可以求出正比例函数和一次函数的解析式，但求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积，并没有指明是与x轴围成的三角形的面积，还是与y轴围成的三角形的面积。
所以需要进行分类讨论。
二、遇到有点的位置不明确时需要讨论例2：在平面直角坐标中，已知点A（－3，0），B（2，6），在x轴上有一点C，满足SΔABC=12，试求点C的坐标。
三、遇到有两个量大小关系不明确时需要讨论例3：已知一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点；直线l经过原点，与直线AB交于C点；直线l把ΔAOB的面积分成2：1两部分，试求直线l的解析式。
四、遇到有几个相等线段位置不确定时需要讨论例4：已知一次函数y=43x+4的图象分别交x、y轴于A、B两点，C为x轴上一点，且ΔABC为等腰三角形，求C点的坐标。
分析：要在x轴上求一点C，使ΔABC为等腰三角形。
由于没有指明哪一个角为顶角（或哪一条边为底边），所以要分⑴点A为顶角；⑵点B为顶角；⑶点C为顶角三种情况进行分类讨论。
五、遇到有一次函数y=kx+b中k或b的符号不确定时需要讨论例5：一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且SΔAOb=4，OA：OB=1：2，试求一次函数的解析式。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
分类讨论数学思想
(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4
解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．
(6)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
解析分三类：①选1名骨科医生，则有C (C C ＋C C ＋C C )＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C (C C ＋C C )＝210(种)；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在 上单调递增，
解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得 解得a＝1.
(2)当B A时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．
分类讨论的原则
(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用一、引言二、分类讨论思想的概念和特点分类讨论思想是指将问题进行分类归纳，再逐个分别讨论的一种思维方式。
它包括将一般问题分为特例问题，将问题细分为几个部分，细分后各个部分问题易于解决。
分类讨论思想可以帮助人们清晰地认识问题的本质，从而找到解决问题的方向，提高问题解决的效率。
（1）清晰明了：分类讨论思想可以将复杂的问题分解为若干简单的部分，每个部分更易于理解和处理。
（2）有利于系统化：分类讨论思想有利于系统地整合和总结问题，更加有助于理清问题的脉络。
（3）提高解决问题的效率：分类讨论思想可以通过分析各种情况，找到解决问题的最佳途径，提高解决问题的效率。
1. 分类讨论思想在解题方法中的应用数学解题本身就是一个分类讨论的过程，通过将问题分解为简单的部分，利用不同的方法和途径来解决问题。
在高中数学教学中，老师可以引导学生运用分类讨论思想，合理地划分解题的步骤和方法，从而更好地解决问题。
在高中数学教学中，许多概念和定理都是通过分类讨论的方式进行讲解和理解的。
在集合论中，老师可以引导学生从分类讨论的角度去理解交集、并集、差集、补集等概念；在函数的讲解中，也可以通过分类讨论的方式帮助学生更好地理解函数的性质和特点。
在高中数学中，很多问题都可以通过分类讨论的方式来解决。
例如在数列和数学归纳法中，根据数列的前n项的和的差异，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他数列，分别对每种数列进行分类讨论，从而更好地解决各类数列的问题。
四、分类讨论思想在高中数学教学中的实际案例1. 实例一：高中数学理论课程中的应用2. 实例二：高中数学解题技巧的教学3. 实例三：高中数学思维训练的案例在高中数学思维训练中，老师可以通过精心设计的案例，来培养学生的分类讨论思维能力。
通过给出一些挑战性较强的数学问题，鼓励学生从分类讨论的角度去解决问题，培养他们的逻辑思维和创造性思维能力。
1. 培养学生的逻辑思维能力2. 提升学生的解题能力通过分类讨论思想的引导和培养，能够提高学生的问题解决能力。
高中数学教学中分类讨论思想的应用
高中数学教学中分类讨论思想的应用高中数学教学中，分类讨论是一种常见的解题方法和思维方式。
分类讨论就是在不同的情况下进行不同的措施。
其实质是对问题进行分析、归纳和总结，以确定问题的解决方案，并进行必要的检验和确定。
分类讨论思想在数学教学中的应用非常广泛，可以用来解决各类数学问题和提高学生的思维能力。
分类讨论可以帮助学生更好地理解数学问题，在解题过程中，分类讨论可以帮助学生合理分析、分类考虑问题，确定问题的解决方案。
同时，分类讨论也有助于学生发现数学问题的共性和规律性，形成对数学知识的自然理解。
一、平面几何中的分类讨论分类讨论在平面几何中运用广泛。
例如，当我们求两线段之间的夹角时，可以分类讨论两线段的方向，然后分别用余弦定理求夹角。
又如求正多边形的对角线数量时，我们可以分类讨论正多边形的边数，然后应用公式解决问题。
二、函数的分类讨论在函数的教学中，分类讨论也是非常常见的。
例如，当我们考虑二次函数的图象与x轴的交点时，可以分类讨论二次函数的判别式的值，然后确定x轴交点的个数。
又如，在讨论函数的单调性时，可以分类讨论函数的增减性，然后用函数的导数进行判断。
在概率中，分类讨论也是常常运用的一种思想。
例如，在计算事件的概率时，可以根据事件的分类讨论，确定每一类事件发生的概率，然后将概率进行相应的加、乘运算以得出最终概率。
数列中，分类讨论可以用来解决很多问题。
例如，在讨论数列的极限时，可以分为单调有界数列和发散数列两种情况进行分类讨论，然后使用不等式证明定理求其极限。
又如，在讨论数列的递推公式时，可以对数列的特殊情况进行分类讨论，然后求出递推公式的通项公式。
综上所述，分类讨论是高中数学教学中重要的思维方法和解题思路。
在数学的研究中，分类讨论不仅可以帮助学生快速找到解决问题的途径，同时也能够帮助学生发展创新性思维和拓展思路。
因此，在高中数学教学中，分类讨论应该得到充分的运用和推广。
高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论一、参数取值引起的分类讨论1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，此时A ⊆∁R B 成立．2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32二、空集引起的分类讨论1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 针对性练习：1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域 为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，2a ≥2.解得a ≥2.(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，3－a ≥2.解得a ≤12. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12； ②当m ＝12时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32≤m ＜－1； ②当m ＝12时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.。
函数问题中的分类讨论
Ｉ Ｊ
２ ］ 的 最大值 和 最 小值 ． 首先 ， 你 要 先 理 解 题 意． 这 道 题 已知 量 是 什 么？ 二 次 函数 的 定 义 域 和 含 参 数 解 析 式． 要求 量 是 什 么？ 二 次 函 数 最 值 ． 我 们 以 前 做过 类 似 的 题 目吗？ 你 之 前 应 该 都 解 决 过 常系 数 的二次 函数 求最 值 的题 目． 那 我们 就要 学 会 类 比 ， 先 将 参 数 当 成 常
数 来处 理 ， 将 函数 配 方 为 厂 （ － ｚ ） 一（ － －ａ ） 一１ 一ｎ ， 可 得 到 对 称 轴 为 ｚ—ａ ． 其次 ， 二 次 函数
Ｉ ｌ ＇ ’ 、 ８ ６ ４ ２ ／ ｌ
～
、 、
、
Ｄ ／ ２
●
－
－
＇ ２ － ４ ＿
ｆ
ｆ ， ， ，
—
４ ６
，
，
，
，
，
，
一
－ —
２ －
、
， ，
， ｝
８
＿
、 、
一 ２
｜ 。
ｄ
、 ｐ 、 ＼ ／ ２
图 ２
图 ４
从 上面 的分析 可知 ， 求 此 函 数 的 最 小
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ２ ９
和 右端 点都有 可 能 取 到最 大 ， 所 以求 这个 区
问 内的最大 值还需 再 分类．
由 ／（ Ｏ ） ＝ ＝ ＝ 一１ ， （ ２ ） 一３ —４ ａ，
高考核心解题方法总结—第六期【分类讨论法】-解析版
（2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c （等价转化到同等命题）
即只需证明 2 | x c 4 || x c | +x c （你看，依然不用讨论，去绝对值）
15
3
三、因绝对值大小不确定，取绝对值而进行分类讨论：
例 1： 已知 f (x) x | x a | b, x R ．
（1）当 a 1, b 0 时，判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 a 1, b 1 时，若 f (2x ) 5 ，求 x 的值； 4
（3）若 b 0 ，且对任何 x 0,1 不等式 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
1）若
a
3
，则
2a 3 a 1
2a
3a
1
0
，此时方程有两个正根，算作
2
个交点．
2）若
3 4
a
1，则对称轴
t
2a 3(a 1)
0
，则方程有两个负根，故算作
0
个交点．
3）若
a
1 ，则对称轴
t
2a 3(a 1)
0
，此时方程一个正根一个负根，算作
1
个交点．
3°若 0 ，即 3 a 3 时，则方程无解，故算作 0 个交点． 4
立，求实数 m 的取值范围． 解： (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 [1,1] ，
又 f (x)2 2 2 1 x2 [2, 4], 由 f (x) ≥0 得值域为[ 2, 2] ，
分类讨论思想解绝对值问题例析
樊宏标分类讨论思想解绝对值问题例析分类讨论思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法.它是为了解决因各种因素制约着的数学问题,使原本变幻的不定的问题,分解成若干个相对确定的问题,再各个击破,从而获得完整的解答.分类讨论必须遵循三条原则:一是对全体分类对象做到既不重复,也不遗漏,二是每次分类按同一标准进行,三是连续多级分类,要按层次逐级进行,如何分类必须根据问题的具体背景而定.利用分类讨论思想解题在高考中是常见内容,现就绝对值问题作一剖析,希望对同学们有所启发.一、求绝对值函数中参数的取值范围例1若函数f(x)=a|x-b|+2在[0, +)上为增函数,则实数a,b的取值范围是.解:首先对b的值分类讨论:函数f(x)在[0,+)上为增函数,显然应有b0;其次,再对a的值进行讨论:当a=0时,显然不能满足f(x)在[0,+)上为增函数的要求;当a<0时,函数f(x)的图像是从点(b,2)引出的两条射线,且当x b时,函数在[b,+)上为减函数,也不符合要求,舍去;当a>0时,函数f(x)在[b,+)上为增函数.评注:本题是含有绝对值符号和两个参数的分段函数问题,是一个典型的二级讨论问题,它对考生分类讨论思维的缜密性有较高的要求.二、讨论绝对值函数的性质例设为常数,函数f(x)=x+|x|+,x R()讨论f(x)的奇偶性;()求f(x)的最小值.解:()首先讨论f(x)的奇偶性,由于y=x2+1是偶函数,所以f(x)的奇偶性取决于|x-a|.由于y=|x|是偶函数,所以第一次分类应分为a=0及a0讨论.(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1为偶函数.(2)当a0时,f(x)=x2+|x-a|+1为非奇非偶函数.()再求f(x)的最小值,为此需去掉f(x)解析式中的绝对值符号.就要对x分x a 和x<a讨论.(1)当x a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-12)2+a+34,为求x a时f(x)的最小值,要研究f(x)图像的对称轴x=12相对于a 的不同位置.当a12时,f(x)在(-,a]上为减函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.当a>12时,f(x)在(-,12)上是减函数,在(12,a)是增函数,于是f(12)最小,即f m i n(x)=f(12)=a+34.(2)当x a时,f(x)=x2+x-a+1=(x+12)2-a+34.此时,要研究f(x)图像的对称轴x=相对于的不同位置数理化学习(高中版)2a2-a1.-12a.19当a-12,f(x)在[a,-12)是减函数,在(-12,+)上是增函数,则f(-12)最小,即f m i n(x)=f(-12)=34- a.当a>-12时,f(x)在[a,+)是增函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.综合以上,f(x)的最小值是f m i n(x)=34-a,(a-12),a2+1,(-12<a12), 34=a,(a>12)评析:本题经历了三次分类讨论的过程:第一次,为讨论函数f(x)的奇偶性,对a=0,a 0分类;第二次,为去掉绝对值符号,对x a 和x<a分类;第三次,为求函数f(x)的最小值对a12,a>12和a-12,a>-12分类.三、解含绝对值的不等式例3解关于x的不等式:|x-a|x> a.解:因为x0,原不等式同解于:()x>0,|x-a|>ax,或()x<0,|x-a|<ax.(1)当a=0时,化为x>0,|x|>0,或x<0,|x|<0.解集为{x|x>0}.(2)当a>0成立,显然()无解.()化为x>0,x-a>ax或x-a<-a x,即x>,()x>或x<+当a=1时,化为x>0,x<12.解集为:{x|0<x<12}.当a>1时,化为x>0,x<a1-a或x<a1+a,即x>0,x<a1+a.解集为{x|0<x<a1+a}.当0<a<1时,化为x>0,x>a1-a或x<a1+a.因为a1-a>a1+a>0,所以解集为{x|0<x<a1+a或x>a1-a}.(3)当a<0时,由()得x>0.化为x>0或x<0,-ax<x-a<ax,即x>0或x<0,x<a1-a,(1+a)x> a.则x>0或x<a1-a,(1+a)x> a.当a=-1时,化为x>0或x<-12,解集为{x|x>0或x<-12}.当a<-1时,化为x>0或x<a1-a,x<a1+a.因为<<+所以解集为数理化学习(高中版)1-a aa1a.a1-aa1a.20{x|x>0或x<a1-a}.当-1<a<0时,化为x>0或x<a1-a,x>a1+a.因为a1+a<a1-a<0,所以解集为{x|x>0或a1+a<x<a1-a}.评注:本题看似平淡,实则平中见奇,常中见新,题目以简洁的形式出现,把一次不等式、绝对值不等式、分式不等式及含参不等式很自然地结合在一起,很好地体现了新教材对这些不等式的解法的基本要求,并对变量x及参数a 的双重标准进行分类讨论.浙江省绍兴县柯桥中学(312030)赵传义灵活新颖综合交融的数列试题近几年高考数列试题灵活新颖,综合交融,考查了学生一般数学能力.局部不难,但综合起来就有一定的深度.强调知识的交融性,在知识的交汇处命题,要求学生对试题有分解能力,有确认的能力.一、与解几结合例1设P1(x1,y1),P2(x2,y2),,P n(x n,y n)(n3,n N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,,a n=|OP n|2构成了一个公差为d(d0)的等差数列,其中O是坐标原点.记S n=a1+a2++a n.(1)若C的方程为x2100+y225=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d 变化时,求S n的最小值;(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及上的一点,对于给定的自然数,写出符合条件的点,,,存在的充要条件,并说明理由.分析:该题的主要条件是长度的平方成等差数列,并且点在二次曲线上,又给出前n项和的记法,在形式上或第一印象给人无法下手的感觉,也就是将条件发散开来后后续手段不多.这时不要慌,要静下心来看看接下来的各小问是将条件向哪个方向发展的.(1)明确了C的方程,给出点P1及S3,求P3.由P1为(10,0),得a1=100.(这里注意!a1=|OP1|2,在条件中给出的不是a1=|OP1|似乎给我们思考带来了一定的方便,但这里又给我们因思维定势犯错误埋下了伏笔,事实上就本题而言a n=|OP n|并不比a n=|OP n|2解决起来困难).又由S3=255=32(a1+a3),得.a3=70即|OP3|2=70.所以x23100+y2325=1,x23+y23=70,得x23=60,y23=10所以3的坐标可以为(5,)数列在这里仅仅起到了由|O|=数理化学习(高中版)C P1nP1P2P n P2110.P1210021。
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习 新人教A版必修5
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习 新人教A 版必修5对点讲练分类讨论思想在集合中的应用分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题． 1．由集合的互异性决定分类【例1】 设A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a ＝________.分析 由A∩B＝{9}知集合A 与B 中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验． 答案 －3解析 由A∩B＝{9}，得2a －1＝9，或a 2＝9， 解得a ＝5,3，－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}， A∩B＝{9，－4}，与A∩B＝{9}矛盾；当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设． ∴a＝－3.规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用．(2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结．变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为∁S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S，但5A.从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a ＋11|＝15S ，不符合题意； 当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4. 2．由空集引起的讨论【例2】 已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B ，求实数p 的取值范围．解 ∵A∩B＝B ，∴B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1， 故p<2，此时满足B ⊆A ；(2)当B≠∅时，又B ⊆A ，借助数轴表示知⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p－1－2≤p＋12p －1≤5，故2≤p≤3.由(1)(2)得p≤3.规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ⊆B 即可分两类：(1)A ＝∅；(2)A≠∅.而对于A≠∅又可分两类：①A B ；②A＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝∅这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ⊆A ，求由实数m 构成的集合．解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} 当m ＝0时，B ＝∅，符合B ⊆A ；当m≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ⊆A 知，2m ＝1或2m＝2.即m ＝2或m ＝1.故m 所构成的集合为{0,1,2}．数形结合思想在函数中的应用数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．【例3】 设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)解 当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－20≤x≤3x ＋12－2 －3≤x<0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解 函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．规律方法 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．变式迁移3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实数根？解 令f(x)＝x 2－4|x|＋5，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5， x≥0，x 2＋4x ＋5， x<0，那么原问题转化为探求m 为何值时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有4个交点．作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1<m<5时，f(x)的图象与y ＝m 有4个交点，即方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实根． 等价转化思想的应用数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难以解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．【例4】 对任意x∈[1，＋∞)，不等式x 2＋2x －a>0恒成立．求实数a 的取值范围．解 方法一 由已知x∈[1，＋∞)，x 2＋2x －a>0恒成立，即a<x 2＋2x ，x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝x 2＋2x ，x∈[1，＋∞)，则原问题可转化为a 小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值．∵g(x)＝(x ＋1)2－1，图象的对称轴为x ＝－1， ∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴x＝1时，g(x)取最小值g(1)＝3.∴a<3. 即所求a 的取值范围是(－∞，3)．方法二 当x∈[1，＋∞)时，x 2＋2x －a>0恒成立，令f(x)＝x 2＋2x －a ，x∈[1，＋∞)， 则有x∈[1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，f(x)＝(x ＋1)2－a －1，x∈[1，＋∞)，∴f(x)min ＝f(1)＝3－a ，问题转化为3－a>0， 即a<3.∴所求a 的取值范围为(－∞，3)．规律方法 本题关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即f(x)>a 恒成立⇔f(x)min >a ，f(x)<a 恒成立⇔f(x)max <a.变式迁移4 已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，求m 的取值范围．解 f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，即等价于x ∈R 时，mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0满足要求，当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m <0，解得：0<m <4. 综上，m 的取值范围为[0,4)．数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁．在日常学习中，同学们要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，从而迅速找到解题思想或简化解题过程．课时作业一、选择题1．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a <－3或a >－1 答案 A解析 ∵|x －2|>3，∴x >5或x <－1. ∴S ＝{x |x >5或x <－1}．又T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1. ∴－3<a <－1. 2．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)< f <f (－1) 答案 D解析 由f (x )是偶函数， 得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (－2)＝f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)． 3．如果奇函数f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f (x )在区间[－5，－1]上是( )A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－3 答案 D解析 当－5≤x ≤－1时1≤－x ≤5， ∴f (－x )≥3，即－f (x )≥3. 从而f (x )≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 故f (x )在[－5，－1]是减函数．故选D.4．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合，设a <b <0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )． 其中成立的是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 D解析 本题采用特值法求解．不妨取符合题意的函数f (x )＝x 及g (x )＝|x |，进行比较或由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x ≥0，f －x ， x <0，f (0)＝0，f (a )<f (b )<0，f (－a )>f (－b )>0得出．5．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象可以是( )答案 A解析 由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数．f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝－g (x )，F (x )＝f (x )·g (x )＝[－f (－x )]·[－g (－x )]＝F (－x )．所以函数F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数．注意到函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y ＝g (x )在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A. 二、填空题 6．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5A . ∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5且3∈U ， 当a ＝－4时，|2a －1|＝9≠5，但是9U . 故a 的值为2.7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______. 答案 －2解析 f (x ＋4)＝f (x )，∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2.8．有下列四个命题：①函数f (x )＝|x ||x －2|为偶函数；②函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}；③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x |ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13；④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射． 写出所有正确命题的序号________． 答案 ②④解析 函数f (x )＝|x ||x －2|的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f (x )＝|x ||x －2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；函数y ＝x －1的定义域为{x |x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确； 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，若B ＝∅，满足B ⊆A ，这时a ＝0；若B ≠∅，由B ⊆A ，得a ＝－1或a ＝13.因此，满足题设的实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，即命题③不正确．依据映射的定义知，命题④正确． 三、解答题9．设奇函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，若不等式f (ax ＋6)＋f (2－x 2)<0对于任意x ∈[2,4]都成立，求实数a 的取值范围．解 由f (ax ＋6)＋f (2－x 2)<0得f (ax ＋6)<－f (2－x 2)．∵f (x )为奇函数，∴f (ax ＋6)<f (x 2－2)． 又f (x )在R 上为增函数，∴原问题等价于ax ＋6<x 2－2对x ∈[2,4]都成立，即x 2－ax －8>0对x ∈[2,4]都成立．令g (x )＝x 2－ax －8，问题又转化为：在x ∈[2,4]上，g (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a2<2，g 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2≤a2≤4，g a2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2>4，g 4>0，解得a <－2.综上，a ∈(－∞，－2)．10．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈N )是奇函数，且f (1)＝2，f (2)<3.(1)求a ，b ，c 的值；(2)试研究x <0时，f (x )的单调性，证明你的结论．解 (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3，因为f (x )为奇函数，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠－c b (显然b ≠0，否则f (x )为偶函数)，所以－c b ＝0，则c ＝0，于是得f (x )＝a b x ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b<3，∴8b －32b <3，∴b <32，又b ∈N ，∴b ＝1，∴a ＝1，故a ＝b ＝1，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增由于f (x )是奇函数，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以只需讨论f (x )在区间(－1,0)上的增减性即可， 当－1<x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(－1,0)上为减函数．综上所述，f (x )在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数．38374 95E6 闦31315 7A53 穓{ 30506772A 眪E 28189 6E1D 渝 38097 94D1 铑20321 4F61 佡33101 814D 腍b。
分类讨论思想在数学教学中的应用
分类讨论思想在数学教学中的应用分类讨论思想是指把事物按照某种规律或性质进行分类，从而得出结论的一种思维方法。
在数学教学中，分类讨论思想具有重要意义，能够帮助学生更好地理解数学概念、掌握数学方法、培养逻辑思维能力和创新思维能力，本文就其应用于数学教学中的相关问题进行分类讨论。
在初中数学中，学生需要掌握诸如数轴、集合、函数等基本概念。
这些概念的定义和性质都需要通过分类讨论来进行说明和推导。
例如在数轴的学习中，需要先分类讨论正数、零、负数的概念及其在数轴上的位置关系，然后探讨绝对值的概念及其表示方法，最后通过图表等形式来展示分类讨论的结果。
在学习函数的过程中，需要分类讨论一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的定义和性质。
尤其是对于常用函数的学习，更需要运用分类讨论思想，以便能够准确地掌握它们的概念、图像和性质。
例如，在学习三角函数时，需要通过分类讨论正弦、余弦、正切、余切等函数的定义和性质来掌握它们的用法和应用。
二、分类讨论在解题过程中的应用分类讨论思想在解题过程中是特别重要的。
学生需要分析题目，将问题按照一定的规律或性质分类，然后再采取不同的方法或策略进行处理，最终得出正确的解答。
例如，对于多项式函数的零点问题，可以分类讨论多项式函数的次数和系数的符号等，采用不同的方法来解决。
在解决几何问题时，分类讨论也是非常必要的。
例如，对于平面内直角三角形的周长和面积问题，可以分类讨论直角边的长度、斜边的长度等，然后采用勾股定理、正弦定理等不同的方法来求解。
此外，分类讨论还可以在统计、概率等问题中进行应用，例如对于抛硬币的问题，可以分类讨论得到正面和反面的概率，然后采用概率公式进行计算。
分类讨论思想在证明过程中也经常被使用。
例如，在初中数学的代数问题中，学生需要证明不等式、恒等式等，都需要采用分类讨论的方法。
此外，在几何证明问题中，分类讨论也是必不可少的。
例如，对于三角形中线的性质问题，需要分类讨论中线起点的位置变化对应的三角形的性质，然后进行综合分析得出结论。
分类讨论问题经典题型
分类讨论问题经典题型
分类研究问题
初中数学中的分类研究问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类研究法解答的数学题目，往往具有较强的规律性、综合性和探究性，既能全面考查同学的数学能力又能考查同学的思维能力，分类研究问题弥漫了数学辨证思想，它是规律划分思想在解决数知识题时的详细运用。
第一部分例题解析
1、代数部分
例1：化简：|x-1|+|x-2|
例2、代数式
a a
b b ab ab ||||||
++的全部可能的值有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 很多个
2、函数部分
例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（）。
A. 14
B. -6
C. -4或21
D. -6或14
例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分离为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。
3、几何部分
1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） A ．50° B ．80°
C ．65°或50°
D ．50°或80°
2.某等腰三角形的两条边长分离为3cm 和6cm ，则它的周长为（） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
4、综合类：
例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 动身，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。
例说分类讨论思想在解答函数问题中的应用
数学篇学思导引分类讨论思想是数学中的一种重要思想方法和解题策略，在解答函数问题中也有着广泛的应用.对此，笔者就函数问题中的分类讨论思想的应用方法进行了剖析，以期对同学们解答函数问题有所帮助.一、因函数的增减性不确定需分类讨论增减性是函数的一个重要性质.在比较函数值的大小，解不等式或求函数最值等函数问题中，常常需要借助函数的增减性.然而有的函数解析式中含有参变量，具有不确定性，无法直接明确函数的增减性，此时同学们要注意根据参变量的情况，对函数的增减性进行分类讨论.例1一次函数y =kx +b 的自变量的取值范围为3≤x ≤6时，相应函数值的取值范围为9≤y ≤15，则b2k的值为.分析：本题要想求出b 2k的值，需要知晓k 与b 的值，而欲知k 与b 的值，需要先确定一次函数是增函数还是减函数.很显然，题中并没有给出明确的答案.所以，需要分k >0和k <0两种情况对函数的增减性进行讨论.解：（1）当k >0时，此时y 随x 的增大而增大.因为3≤x ≤6时，9≤y ≤15，所以当x =3时，y =5；当x =6时，y =15.所以有{3k +b =9，6k +b =15，解得{k =2，b =3，所以b 2k =34.（2）当k <0时，此时y 随x 的增大而减小.因为3≤x ≤6时，9≤y ≤15，所以当x =3时，y =15；当x =6时，y =9.所以有{3k +b =15，6k +b =9，解得{k =-2，b =21，所以b 2k =-214.综上所述，b 2k 的值为34或-214.评注：函数增减性的确定与自变量前面系数的符号有密切关系.在正比例函数y =kx (k ≠0)与一次函数y =kx +b (k ≠0)中，当k >0时，此时y 随x 的增大而增大；当k <0时，此时y 随x 的增大而减小.二、因函数的类型不确定需分类讨论初中阶段的函数问题主要涉及到一次函数、反比例函数和二次函数.若题目中未指出函数的类型，而函数中最高项系数是含字母的不确定代数式，则要注意根据参变量的取值情况，对函数的类型进行分类讨论，全方位思考问题，从而避免漏解.例2已知函数y =(4-k )x 2+4x +k 与坐标轴只有两个交点，则k 的值为.分析：本题函数类型不明确，当4-k =0时，即k =4时，该函数为一次函数，它与坐标轴有两个交点；当4-k ≠0时，即k ≠4时，该函数为二次函数.若△=0,此时抛物线与x轴有一个交点，与y 轴有一个交点；若图象经过原点，此时抛物线与坐标轴也有两个交点.所以，要想求出k 的值，需要先进行分类讨论.例说分类讨论思想在解答函数问题中的应用山东省济宁市第十五中学汤蕴慧29数学篇学思导引解：(1)当4-k =0时，即k =4时，可以得到一次函数y =4x +4，此时它与坐标轴有两个交点（-1，0）（0，4），显然符合题意.（2）当4-k ≠0时，即k ≠4时，可以得到二次函数，对称轴为直线x =-24-k≠0，则函数必与y 轴有一个交点.此时，①抛物线与x 轴只有一个交点，此时△=16-4k (4-k )，经整理可得4k 2-16k +16=0，即(k -2)2=0，所以k =2.②抛物线与x 轴有两个交点，且其中一个交点为原点（0，0），将（0，0）代入y =(4-k )x 2+4x +k 中，可得k =0，综上所述，k =1，或k =2，或k =0.评注：本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与坐标轴交点的情况.由于题中没有直接指出该函数是一次函数还是二次函数，因此解答时需用分类讨论思想对字母系数的取值情况展开讨论，然后确定函数的类型.三、因函数图象的位置不确定需分类讨论我们可以根据函数解析式得到函数图象，但函数解析式中的系数不确定，则函数图象在平面直角坐标系中的位置也将不明确.一般地，若题目没有提供图形，而根据题意，图形的位置又有多种可能，为了避免出现漏解的情况，就要求我们根据题意对问题进行分类讨论来解答.例3已知一次函数y =kx +b 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为15，且过点（0，5），求该一次函数的解析式.分析：根据题意，画出草图，如图所示，很容易看出一次函数图象与两坐标轴围成的三角形可能是△MOP ，也可能是△NOP ，因此需要进行分类讨论.解：(1)当一次函数y =kx +b 的图象与两坐标轴围成的三角形为△MOP 时，因为一次函数y =kx +b 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为15，所以可知12·OM ·OP =15，即12·OM ·5=15，所以OM =6，即M (-6，0)，所以有{-6k +b =0，b =5，解得ìíîk =56，b =5，所以一次函数的解析式为y =56x +5；(2)当一次函数y =kx +b 的图象与两坐标轴围成的三角形为△NOP 时，因为一次函数y =kx +b 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为15，所以有12·ON ·OP =15，即12·ON ·5=15，所以ON =6，即N （6，0），所以有{6k +b =0，b =5，解得ìíîk =-56，b =5，所以一次函数的解析式为y =-56x +5.综上述，一次函数关系式为y =56x +5或y =-56x +5．评注：由于题中一次函数与坐标轴所围成的三角形的位置不确定，因此需要利用分类讨论思想对所围成三角形的位置情况予以分析，全面考虑，这样才能保证解答的完整性.30。
谈谈运用分类讨论思想解题的步骤
分类讨论思想是根据题目的特点和要求，把所有研究的问题分成若干类，转化成若干个小问题，按不同情况分类，然后再逐一进行讨论、求解的思想.分类讨论思想是解答复杂问题的重要工具，尤其对于一些结论不唯一，表示形式不唯一，含有参数的复杂问题，运用分类讨论思想求解最为有效.运用分类讨论思想解题的步骤可以概括为以下几步：1.明确研究的对象.仔细分析题意，明确哪些变量、参数可直接影响所求的结果，据此确定研究的对象.常见的研究对象有参数、自变量、绝对值内部式子、方程的根，函数的定义域、直线的位置、角度等.2.明确分类标准.在确定了需要讨论的对象后，就可以选择合适的分类标准，按照其特征将所有可能会出现的情况全部罗列出来.常见的分类标准有概念、公式、定理的应用条件，代数式的意义，曲线的范围等.3.逐级讨论.在分类后，原先的复杂、困难的问题已经被分为若干个简单、容易的子问题，把所有子问题逐个逐级进行解答，计算出结果即可.当子问题也无法解答时，需要对子问题进一步分类，并且依然要遵循分类标准统一的原则，分类时要做到不重复、不遗漏任何一种情况.4.得出结论.最后需要将所有子问题的结果进行汇总，得到完整的结论.下面举例说明.例1.已知集合M ={a 2,a +1,-3}，N ={a -3,2a -1,a 2+1}，若M ∩N ={-3}，求a 的值.解：因为M ∩N ={-3}，所以-3∈N ={a -3,2a -1,a 2+1}，（1）若a -3=-3，则a =0,此时M ={1,0,-3},N ={-3,-1,1},M ∩N ={-3,1}，故不满足题意；（2）若2a -1=-3，则a =-1，此时M ={}1,0,-3，N ={}-4,-3,2，M ∩N ={}-3，满足题意；（3）若a 2+1=-3,此方程无实数解；所以a =-1.对于集合中求参数的值和参数的取值范围问题，通常要运用分类讨论思想求解.往往需讨论集合中元素的取值，集合是否为空集，含参方程是否有解.只有明确参数的不同取值会导致哪些不同的结果，找到进行分类讨论的原因，才能确定问题研究的对象和分类原则，合理进行分类.例2.设函数f ()x =a ln x +x -1x +1，其中a 为常数，试讨论函数f ()x 的单调性.解：由题意可知函数f ()x 的定义域为(0,+∞),对其求导可得f ′()x =ax 2+()2a +2x +ax (x +1)2，（1）当a ≥0时，f ′()x ≥0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增，（2）当a <0时，令g ()x =ax 2+()2a +2x +a ，可得∆=4()2a +1，①当a =-12时，∆=0，f ′()x ≤0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，②当a <-12时，∆<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，③当-12<a <0时，∆>0，所以f ′()x ≤0，设x 1,x 2()x 1<x 2是函数g ()x 的两个零点，则x 1=-()a +1+2a +1a ，x 2=-()a +1-2a +1a，因为x 1=0，所以x ∈(0,x 1)时，g (x )<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减;当x ∈(x 1,x 2)时，g (x )>0，f ′()x >0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增;当x ∈(x 2,+∞)时，g (x )<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减.综上可知：当a ≥0时，函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增，当a ≤-12时，函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，当-12<a <0时，函数f ()x 在æèççöø÷÷0，-()a +1+2a +1a ，思路探寻46(-()a+1-2a+1a,+∞)上单调递减，在(-()a+1+2a+1a,-()a+1-2a+1a)上单调递增.含参函数问题主要有两种类型，一是由于函数的概念或性质的限制，需要分类讨论参数的取值或取值范围；二是当参数为函数的系数时，需对参数进行分类讨论，此时要根据函数图象及函数对应方程的判别式来确定分类讨论的分界点.对于二次函数y=ax2+bx+c，当二次项的系数a>0时，二次函数图象的开口向上；当a=0时，该函数为一次函数；当a<0时，二次函数图象的开口向下.二次方程ax2+bx+c=0的判别式∆又决定了二次函数的零点的个数，如下表所示.因此，在讨论二次函数的零点时，可以分∆>0、=0、例3.已知函数f()x=ln xx+1+1x，当x>0且x≠1时，f()x>ln xx−1+k x，求k的取值范围.解：f()x-(ln x x-1+k x)=11-x2[2ln x+()k-1()x2-1x]，令h()x=2ln x+()k-1()x2-1x()x>0，则h′()x=()k-1()x2+1+2xx2=k()x2+1-(x-1)2x2，（1）当k≤0时，由h′()x=k()x2+1-(x-1)2x2可知，当x≠1时,h′()x<0,h()1=0，当x∈()0,1时，h()x>0，可得11-x2h()x>0，当x∈()1,+∞时，h′()x<0，可得11-x2h()x>0，所以当x>0且x≠1时，f()x-æèöøln xx-1+k x>0,即f()x>ln xx-1+k x，（2）当0<k<1时，x∈æèöø1,11-k，()k-1(x2+1)+2x>0，所以当x∈æèöø1,11-k时，h()x>0，可得11-x2h()x<0，与题意不相符；（3）当k≥1时，此时h′()x>0，可得11-x2h()x<0，与题意不相符；综上所述，k的取值范围为(-∞,0].解答含参不等式问题，通常需要运用分类讨论思想对不等式的二次项系数以及一元二次不等式对应的方程的根来进行分类讨论.若含参一元二次不等式对应的方程存在两个根，则需要讨论两根的大小关系，进而确定解集.例4.设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则PF1|PF2|=________.解：（1）若∠PF2F1=90°，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，又|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，解得|PF1|=143，|PF2|=43，可得|PF1||PF2|=72.（2）若∠F1PF2=90°，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20，又|PF1|>|PF2|，可得|PF1|=4，|PF2|=2，所以|PF1||PF2|=2.综上可知，|PF1||PF2|=72或2.要求|PF1||PF2|，需寻找满足|PF1|>|PF2|的条件，分两种情况讨论Rt△PF1F2的直角所在的位置.解答几何问题，经常要讨论图形中点、直线、曲线的位置，图形的形状、角的取值范围等.总之，对于某些不确定的数量、不确定图形的形状或位置、不确定的结论等，都需运用分类讨论思想，通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.分类讨论思想是解答含参集合问题、含参函数问题、含参不等式问题、含参解析几何问题、含参数列问题的重要工具.同学们要熟练掌握分类讨论思想的应用技巧和步骤，使复杂问题简单化.（作者单位：哈尔滨师范大学教师教育学院）思路探寻47。
课例分析《分类讨论思想在解决函数问题中的应用》
课例分析《分类讨论思想在解决函数问题中的应用》福建莆田六中林金沂为适应二十一世纪科技与经济的发展,培养大批具有高素质的创新型人才,我国正在进行从应试教育向素质教育转轨的伟大改革,并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现代教育目标.如何有效地加强数学思想方法教学的问题,提升一点来说,就是要在所有数学教学活动中,结合具体的数学内容和活动形式,适当进行数学方法论的教育.数学基本知识(如法则、公式、定理、性质、基本方法等)的应用都是有一定条件的,就是说只能在一定的范围内应用它们,当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时,要应用这些基本知识,就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围,在每个小范围内把问题逐一解决掉,就是“化整为零”、“各个击破”,或者说不同情况要采取不同的方法对待.分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要,而且在解决数学问题过程中起着重要帮助.学会用这种思想方法解决问题,对提高学生思维能力、解决问题的能力有很大作用.基于此,提供一堂高三数学复习课的设计和分析.1创设问题情境,明确学习目标1.1课题引入例1求函数22(4)/21(4)x xyx x≥=+<的反函数.这是一道分段函数的反函数问题,由于函数是分段定义的,这表明问题的解决也必须“分段”解决,即通过简单的分类讨论,引入分类讨论的思想、原则和注意事项.1.2问题引伸例2求函数22()/21()x x ayx x a≥=+<的反函数.与例1相似,()f x在[,)x a∈+∞时的反函数为1()()f x x x=+≥;()f x在(,)x a∈∞时的反函数为:1()22()f x x x a=<;那么,能不能说1/21(),()22().x x af xx x a+≥=<1.3展开尝试字母a的引入,问题发生了那些变化,指导学生对字母a的不同取值,通过作出原函数(或反函数)图象加以研究,结合课件演示归纳,直指函数定义,明确了以2a=为分界点进行讨论的解题原则.2开展变式训练,及时反馈调节例3设函数2()22f x ax x=+,对于满足14x<<的一切x值都有()0f x>,求实数a的取值范围.分析1本题为含参数二次函数问题,常规思路是转化为二次函数的最小值,通过对a的不同取值情况进行讨论实现问题的解决(答案:1/2a>).分析2过变量分离得:22212ax x>=2112()2x,问题转化为求该函数的最大值;简化(避免)了讨论的过程.分析3抛物线()f x与x轴相切时,可得a1/2=,相应切点为(2,0),由已知:应有(2)f>,得1/2a>(已满足<0).分析4考查函数2()g x ax=,()22h x x=的图象,要使()0f x>对14x<<恒成立,只须当(1,4)x∈时,()g x的图象在()h x的上方即可,但仍无法解决,通过考查两图象相切,得1/2a=,相应切点为(2,2),此时应有(2)(2)g h>,得1/2a>(己满足<0).变式1改2()22f x x x a=+(其他条件不变,下同);变式2设函数2()22f x x a x=+;变式3设函数2()(2)2f x ax a x=++;变式4设函数22()(6)212f x x a x a a=++.解为分类讨论法,其余解法体现了问:/21a1 10题转化思想,同时,解3与解4通过特殊情况(相切)的研究,从而寻找到问题解决的突破口.变式1,2为解2的巩固,变式3,4可通过因式分解实现问题的解决,其中,变式3还体现了降次的思想:()(2)(1)0f x ax x=>对(1,x∈4)恒成立得:20ax>(余略).例4己知2()f x ax x a=+,||1,||x a≤≤1,求证:|()|5/4f x≤.分析本题为双“变量”问题,若把a看作系数,x作为变量,是一道二次函数(特例0a=时退化为一次函数)最值问题,通过对抛物线的开口及对称轴位置讨论可以解决问题,但需分多种情况;若把x看作系数,a作为变量,则是一次函数最值问题,只需证明1a=±时命题成立即可;亦可应用绝对值不等式性质求解:2|()||(1)|||f x a x x≤+21||x x≤+5/4(11)x≤≤≤.变更问题的条件、结论,挖掘习题所蕴含的教育、教学功能,通过一题多解,培养学生多角度地观察问题、分析问题、进而解决问题的能力,最大限度发挥习题的作用.3课堂教学设计说明高中数学课程标准中,明确提出了“倡导积极主动、勇于探索的学习方式、注重提高学生的数学思维能力、发展学生的数学应用意识”.在数学课堂教学中,如何贯彻、落实课程标准及素质教育的精神,是每一位数学教师都应该给予足够关注的问题.数学思想不是“教”出来的,而应是在课堂教学中“培养”出来.在教学中,通过精心设计,有意识潜移默化地引导学生领会蕴含其中的数学思想和方法;随着学生对表层数学知识学习的深入,予以反复再现、渗透;本节课的教学目标定位在高中数学思想方法中的分类讨论思想及初步掌握命题转化思想的学习上,对其进行概括、强化和提高,并对它的内容、名称、规律以及运用方法适度明确化,是关于数学思想、方法培养的一次偿试;在课堂教学过程中力求贯穿“探讨、研究、提高”的宗旨,强化数学应用意识,让学生在获取知识的前提下,学会学习.教学过程中,通过投影仪、课件设计等多媒体技术,加强师生的互动与交流,使变量的变化过程“动”起来,以加深学生的理解,完善学生的认知结构.在教学设计上分三个层次:(1)在学生原有的认知水平上,讲解教师及学生设计的基础练习(做为预习任务布置给学生),加深产生分类讨论的原因及类型的理解掌握;(2)探讨分类讨论的步骤及原则;(3)再应用,进而提出避免分类讨论的技巧、命题转化的思想等解题策略.贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想,通过引导学习观察、比较、分析和概括,使学生充分地动手、动脑、参与教学全过程;关注课堂的三个构成要素——教师、学生以及教学媒体,让学生的学习能力和学习水平在这三者的共同作用下得到促进和发展;注重创设问题情景,调动学生的学习热情与积极性,在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境.数学校本教研与教师专业发展福建闽清一中许友娟随着义务教育新课程改革的不断推进,数学教师在教育教学过程中遇到的困难和问题很快突显出来,其中根本性的问题在于教师素质和专业水平适应不了课改深层次的要求.数学校本教研是一种注重数学教学情境,以改进教学实践为目的,专业人员和一线教师密切合作的研究模式,它是数学教师专业发展的平台,能从根本上促进课堂教学系统的良性发展和教师专业化水平的提高,因而对于数学教师个体和数学教师群体的专业发展具有特别的价值和意义.1数学校本教研是数学教师专业发展的有效途径1.1数学校本教研的内涵数学校本教研是指数学教师在教学过程中,以数学教学中的实际问题为研究内容,以改进数学教学、促进教师的专业发展为研究目的,遵循一定的研究程序所开展的教学研究活动.它以学校为中心,以教师为研究主体,以课堂教11。
分类讨论
1 得x , a 2, 且a 0, a 1 3
将原方程变形为
6x2 x 1 a2 log loga 2 3x 1 a a2
a2 1 5 得2 x 1 由x 得 2 x 1 , a 3 3
于是方程有解，有条件
a2 5 a 3 决定
3 所以a ,0 (0,1) (1,3) 4
( ,1), 且x [0, ] 2 2
小结：
解题过程中的分类讨论，一般分四个步骤：
1、确定讨论对象及所讨论的区域的范围
2、进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：
分类按同一标准进行、 分类应当没有遗漏、 分类应是互斥的
3、逐类讨论，分级进行
4、归纳并做出结论
a 1时满足B A
无解
当B {4}时，则有
0 42 2a 1 4 a 2 1 0
a 2 1 0 解得a=1 当B {4， 时， 0} 则有 42 2a 1 4 a 2 1 0
a1 (1 q n ) 因为 0 1 q
当q 1 5 时， 2
1 5 时， 2
An Bn An Bn
当 1 q
当q
1 5 且q 1时， 2
An Bn
点评：运用等比数列的知识，建立了 An 与 Bn 之间的关系， 然后作差-变形-判断符号。其中，关键要完成“变形”、“判断符号” 这一过程，常常运用分解因式、有理化、适时分类讨论等方法， 可使问题顺利获解。注重这方面解题经验的积累，有助于提高综 合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
n
bn an1 an2 a1q (1 q)
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
1 3 1 时， 要使 P 点落在指定区域内， 即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评： 平面向量经常和平面图形结合到一块， 利用平面图形的几何意义以及具有几何性 质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题 例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围 是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表 示的集合是（ ） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3：代数式的几何意义应用 例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边 界 ) 运 动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。 解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段
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集合与函数中的分类讨论问题
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，
b讨论其单调性，值域等一般要对a分a>1、0<a<1或者是分类给出的。
如对数log
a
两种情况讨论
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：
首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
典型例题：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。
2.函数y＝x＋1
x
的值域是_____。
3. 设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。
4. 解不等式()()
x a x a
a
+-
+
46
21
>0 (a为常数，a≠－
1
2
)
5. 函数f(x)＝(|m|－1)x2－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。
反馈练习：
1. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ⊆，求实数a 的取值范围．
2. 已知A=}3|{+≤≤a x a x ，B ＝}6,1|{-<>x x x 或．
（Ⅰ）若=B A φ，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若B B A = ，求a 的取值范围．
3. 对于函数()()21f x ax bx b =++-（0a ≠）．
（Ⅰ）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的零点；
（Ⅱ）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围．。