自动控制原理第6章 频率特性分析法
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第5章
线性系统的频域分析 内容提要
频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特 性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。 本章主要介绍典型环节的频率特性、开环频率特性、最 小相位系统、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、闭环频率特 性及用品类特性分析系统品质。
知识要点
开环频率特性、极坐标图、Bode图、Nyquist稳定判据、 对数稳定判据、相对稳定性、闭环频率特性、等M圆、等N圆
频域分析方法的优点：
利用频率特性进行控制系统分析和设计的图解法，可方便地用于工程中 的系统分析和设计。 (1) 频域分析法可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便 地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。 (2) 除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。 (3) 频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输 入正弦信号的幅值和相位无关。 (4) 这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。
幅频特性和相频特性。 频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号加到电路的输入端后，
在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
U 0 ( j ) G ( j ) A( )e j ( ) U i ( j )
§6.3 频率特性图示法
• 幅相频率特性（极坐标图、奈氏图）
及用品类特性分析系统品质。
§5.1 引言
时域分析方法的缺陷：
（1）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析； （2）某些元件或环节的数学模型难以求出时，系统的分析将无法进行； （3）系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系 统的时间响应，才能得到结果； （4）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参 数来获得预期的结果； （5）必须由闭环传递函数求系统的稳定性。 根轨迹法根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某一参数变化的全 部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期效果，是一种非 常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用 于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题 仍然无能为力。
Q( ) ( ) arctan P( )
A(ω )－复数频率特性的模，即幅频特性 (ω )－复数频率特性的幅角或相位移，即 相频特性
奈氏图
jQ()
极点
jQ()
.
坐标轴
( ) i A( ) i
P( i )
P()
P()
( ) i Q(i ) A( i)
(
微分方程
sp
传递函数 系统
j p
s j
频率特性
§6.4
6.4.1
典型环节的频率特性
控制系统中常见的典型环节
K(b ms m b m-1s m-1 b1s 1) G(s) a n s n a n -1s n -1 a1s 1
l 1 h 1 2 ( n v h ) 1 K v ( j s 1) 2 2 i 1 T s 1 i 1 s Ti s 2 iTi s 1 j 1 i
3. 系统的稳态解的幅值之比A(ω)是ω的函数，其比值为
B 1 1 A( ) 2 2 A 1 jT 1 T
4. ( )为输出稳态解与输入信号的相位差，也是ω的函数，其值为
( ) arctan T
1 1 jT
6.2.2 频率特性的物理意义
P( )
K
奈氏图
对数幅频特性
L( ) 20 log K 20 log 1 2T 2
Bode图
4、振荡环节
1）传递函数
G s X C ( s) K 2 2 X r ( s) T s 2Ts 1
2） 频率特性 G(j ) 实频特性
虚频特性 幅频特性
jQ()
A(
jQ 复平面
G ( j )
根据复数的数学定义，有
0
)
( )
P()
P
G( j ) G( j ) e j ( )
G ( j )
1 1 2T 2
( ) arctan T
G( j ) G( j ) e j ( )
G ( j )
1 (1 2T 2 ) j 2T
奈氏图 Bode图 见书 P136、137
L( ) 20 log K 20 log
Bode图
3、惯性环节
X C ( s) K 1）传递函数 G s X r ( s) Ts 1
K 2） 频率特性 G(j ) 1 jT
实频特性
虚频特性
幅频特性
相频特性
( ) -tan -1T
1 2T 2 KT Q( ) 1 2T 2 K A( ) 1 2T 2
6.3.1
幅相频率特性（奈氏图）
幅相频率特性可以表示成：代数形式、极坐标形式 1）代数形式
b0 s m b1 s m1 bm 设系统或环节的传递函数为 G ( s) a0 s n a1 s n 1 a n
令s=jω，可得系统或环节的频率特性
b0 ( j ) m b1 ( j ) m1 bm G ( j ) P( ) jQ( ) n n 1 a0 ( j ) a1 ( j ) a n
A(
2
( )
1
2
)
)
A( ) 1
6.3.2
对数频率特性（Bode图）
G( j ) P 2 ( ) Q 2 ( )e j ( ) A( )e j ( )
对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。
对上式两边取对数，得
lg G ( j ) lg A( )e j ( ) lg A( ) j ( ) lg e lg A( ) j 0.434 ( )
Bode图
2、积分环节
1）传递函数 2） 频率特性 实频特性
X C ( s) K G s X r ( s) s
K K G(j ) j j
虚频特性
幅频特性
相频特性
对数幅频特性
( ) -90o
P( ) 0 K Q( ) K A( )
奈氏图
- jarctanT 1 1T 2 2
(幅频特性), 相角比输入电压 1 1T j
滞后 - arctgT (相频特性). 2.
1 1 T 2 2
e
1 1 jT
e
j 1(1 jT )
它描述了网络在正弦输入作用下, 稳态输出时电压幅值 和相角随正弦输入电压频率变化的规律, 称为网络 的频 率特性.
6.3.4 频率特性、传递函数和微分方程三种数学模型 之间的关系
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
比较
U o ( j ) 1 1 G( j ) U i ( j ) 1 RCj 1 Tj
s j
频率特性与传递函数具有十分相的形式 G ( j ) G ( s )
6.4.2 典型环节的极坐标及频率特性 1、比例环节 X C (s) K 1）传递函数 G s
2） 频率特性 实频特性
G(j ) K
X r ( s)
P( ) K Q( ) 0 A( ) K
奈氏图
虚频特性
幅频特性
相频特性
对数幅频特性
( ) 0o
L( ) 20 log K
则
AC ( )e j ( ) G ( j ) A( ) ( ) j ( 0 ) Ar ( )e
其中
A() G( j) ,
( ) G( j )
RC电路的频率特性在复平面上构成一个完整的向量。用G(jω) 表示这一向量，则
1 1 T G( j ) j 1 jT 1 2T 2 1 2T 2
§6.2 频率特性的基本概念
6.2.1 频率响应与频率特性的定义 RC网络
图示电路的传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
R ui C u0
设输入电压 ui (t ) A sin t
令T=RC，则可得电容两端的输出电压为
1 1 A U o ( s) U i ( s) 1 Ts 1 Ts s 2 2
这就是系统频率特性的代数形式，其中P(ω )是频率特
性的实部，称为实频特性，Q(ω )为频率特性的虚部，称为 虚频特性。
2）极坐标形式 将上式表示成指数形式 :
G( j ) P 2 ( ) Q 2 ( )e j ( ) A( )e j ( )
式中
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
增 10
20
L增加20dB
增加十倍
1 0
10 1
100 2
1000 3
(1 s )
log (十倍频程)
6.3.3 对数幅相特性（尼氏图）
将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对 数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位 为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性， 也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。 一般用于闭环系统频率特性分析。
对上式两端取拉氏反变换得
AT T A uo (t ) e sin( t tan 1 T ) 1 2T 2 1 2T 2
t
式中： 当t→∞时， 于是系统的稳态解为
AT 1 T
A 1 2T 2
A
，
2 2
e
t T
0
U os (t ) lim uo (t )
G(jω)随ω从0变至+∞时在复平面上连续变化而形成 的一条曲线。 • 对数频率特性（Bode图） 由采用对数分度作图的对数幅频特性和采用线性 分度作图的对数相拼特性两条曲线组成。
• 对数幅相特性（尼氏图） lg 横坐标为相位 ( ) ，纵坐标为对数幅值L( ) 20， A( ) 且纵、横坐标均为线性分度。
线性定常系统（或元件）在正弦输入信号作用下，系统稳 态输出与输入的复数比叫做系统（或元件）的频率特性，记 为G(jω)。 记输入信号为
ui (t ) A sin t Ar ( )e j ( 0)
输出信号为
uo (t ) A sin( t ) AC ( )e j ( )
1
其中
G( s) K
1 G(s) v s
1 G(s) i 1 T s 1 i
h
—比例环节 —积分环节 —惯性环节
G(s)
1 ( n v h ) 2
i 1
G(s) ( j s 1)
j 1
l
1 2 Ti s 2 2 iTi s 1
—振荡环节 —微分环节
其中：
sin( t tan 1 T ) A sin( t )
A
1 2T 2
tan 1 T
可见，电路的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同， 幅值是输入幅值的
1
1 T
倍，相角比输入迟后 tan 1 T 。 2 2
说明 : 1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同, 幅值是输入电压的
1 1 T
2 2
( ) arctan T
G ( j ) 称为电路的频率特性。
G( j ) 是 G ( j ) 的幅值,
它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。
( )
是
G ( j )
的相角，
它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。
由于 G( j ) 和 ( ) 都是输入信号频率 的函数, 故它们分别被称为电路的
上面就是对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考
虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。
L( ) 20lg A( )，dB ( ) ( )， 或 rad
Bode图
A( )
100
L( )
40
A 加Βιβλιοθήκη Baidu十
1
0
倍 0.1
0.01
-20 -40 0.1 -1
log 增加一个十倍频程
线性系统的频域分析 内容提要
频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特 性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。 本章主要介绍典型环节的频率特性、开环频率特性、最 小相位系统、Nyquist稳定判据、对数稳定判据、闭环频率特 性及用品类特性分析系统品质。
知识要点
开环频率特性、极坐标图、Bode图、Nyquist稳定判据、 对数稳定判据、相对稳定性、闭环频率特性、等M圆、等N圆
频域分析方法的优点：
利用频率特性进行控制系统分析和设计的图解法，可方便地用于工程中 的系统分析和设计。 (1) 频域分析法可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便 地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。 (2) 除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。 (3) 频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输 入正弦信号的幅值和相位无关。 (4) 这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。
幅频特性和相频特性。 频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号加到电路的输入端后，
在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
U 0 ( j ) G ( j ) A( )e j ( ) U i ( j )
§6.3 频率特性图示法
• 幅相频率特性（极坐标图、奈氏图）
及用品类特性分析系统品质。
§5.1 引言
时域分析方法的缺陷：
（1）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析； （2）某些元件或环节的数学模型难以求出时，系统的分析将无法进行； （3）系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需重新求解系 统的时间响应，才能得到结果； （4）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何调整系统的参 数来获得预期的结果； （5）必须由闭环传递函数求系统的稳定性。 根轨迹法根据图形的变化趋势即可得到系统性能随某一参数变化的全 部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期效果，是一种非 常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用 于高阶系统的分析求解。但对于高频噪声问题、难以建立数学模型等问题 仍然无能为力。
Q( ) ( ) arctan P( )
A(ω )－复数频率特性的模，即幅频特性 (ω )－复数频率特性的幅角或相位移，即 相频特性
奈氏图
jQ()
极点
jQ()
.
坐标轴
( ) i A( ) i
P( i )
P()
P()
( ) i Q(i ) A( i)
(
微分方程
sp
传递函数 系统
j p
s j
频率特性
§6.4
6.4.1
典型环节的频率特性
控制系统中常见的典型环节
K(b ms m b m-1s m-1 b1s 1) G(s) a n s n a n -1s n -1 a1s 1
l 1 h 1 2 ( n v h ) 1 K v ( j s 1) 2 2 i 1 T s 1 i 1 s Ti s 2 iTi s 1 j 1 i
3. 系统的稳态解的幅值之比A(ω)是ω的函数，其比值为
B 1 1 A( ) 2 2 A 1 jT 1 T
4. ( )为输出稳态解与输入信号的相位差，也是ω的函数，其值为
( ) arctan T
1 1 jT
6.2.2 频率特性的物理意义
P( )
K
奈氏图
对数幅频特性
L( ) 20 log K 20 log 1 2T 2
Bode图
4、振荡环节
1）传递函数
G s X C ( s) K 2 2 X r ( s) T s 2Ts 1
2） 频率特性 G(j ) 实频特性
虚频特性 幅频特性
jQ()
A(
jQ 复平面
G ( j )
根据复数的数学定义，有
0
)
( )
P()
P
G( j ) G( j ) e j ( )
G ( j )
1 1 2T 2
( ) arctan T
G( j ) G( j ) e j ( )
G ( j )
1 (1 2T 2 ) j 2T
奈氏图 Bode图 见书 P136、137
L( ) 20 log K 20 log
Bode图
3、惯性环节
X C ( s) K 1）传递函数 G s X r ( s) Ts 1
K 2） 频率特性 G(j ) 1 jT
实频特性
虚频特性
幅频特性
相频特性
( ) -tan -1T
1 2T 2 KT Q( ) 1 2T 2 K A( ) 1 2T 2
6.3.1
幅相频率特性（奈氏图）
幅相频率特性可以表示成：代数形式、极坐标形式 1）代数形式
b0 s m b1 s m1 bm 设系统或环节的传递函数为 G ( s) a0 s n a1 s n 1 a n
令s=jω，可得系统或环节的频率特性
b0 ( j ) m b1 ( j ) m1 bm G ( j ) P( ) jQ( ) n n 1 a0 ( j ) a1 ( j ) a n
A(
2
( )
1
2
)
)
A( ) 1
6.3.2
对数频率特性（Bode图）
G( j ) P 2 ( ) Q 2 ( )e j ( ) A( )e j ( )
对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。
对上式两边取对数，得
lg G ( j ) lg A( )e j ( ) lg A( ) j ( ) lg e lg A( ) j 0.434 ( )
Bode图
2、积分环节
1）传递函数 2） 频率特性 实频特性
X C ( s) K G s X r ( s) s
K K G(j ) j j
虚频特性
幅频特性
相频特性
对数幅频特性
( ) -90o
P( ) 0 K Q( ) K A( )
奈氏图
- jarctanT 1 1T 2 2
(幅频特性), 相角比输入电压 1 1T j
滞后 - arctgT (相频特性). 2.
1 1 T 2 2
e
1 1 jT
e
j 1(1 jT )
它描述了网络在正弦输入作用下, 稳态输出时电压幅值 和相角随正弦输入电压频率变化的规律, 称为网络 的频 率特性.
6.3.4 频率特性、传递函数和微分方程三种数学模型 之间的关系
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
比较
U o ( j ) 1 1 G( j ) U i ( j ) 1 RCj 1 Tj
s j
频率特性与传递函数具有十分相的形式 G ( j ) G ( s )
6.4.2 典型环节的极坐标及频率特性 1、比例环节 X C (s) K 1）传递函数 G s
2） 频率特性 实频特性
G(j ) K
X r ( s)
P( ) K Q( ) 0 A( ) K
奈氏图
虚频特性
幅频特性
相频特性
对数幅频特性
( ) 0o
L( ) 20 log K
则
AC ( )e j ( ) G ( j ) A( ) ( ) j ( 0 ) Ar ( )e
其中
A() G( j) ,
( ) G( j )
RC电路的频率特性在复平面上构成一个完整的向量。用G(jω) 表示这一向量，则
1 1 T G( j ) j 1 jT 1 2T 2 1 2T 2
§6.2 频率特性的基本概念
6.2.1 频率响应与频率特性的定义 RC网络
图示电路的传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) 1 RCs
R ui C u0
设输入电压 ui (t ) A sin t
令T=RC，则可得电容两端的输出电压为
1 1 A U o ( s) U i ( s) 1 Ts 1 Ts s 2 2
这就是系统频率特性的代数形式，其中P(ω )是频率特
性的实部，称为实频特性，Q(ω )为频率特性的虚部，称为 虚频特性。
2）极坐标形式 将上式表示成指数形式 :
G( j ) P 2 ( ) Q 2 ( )e j ( ) A( )e j ( )
式中
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
增 10
20
L增加20dB
增加十倍
1 0
10 1
100 2
1000 3
(1 s )
log (十倍频程)
6.3.3 对数幅相特性（尼氏图）
将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对 数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位 为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性， 也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。 一般用于闭环系统频率特性分析。
对上式两端取拉氏反变换得
AT T A uo (t ) e sin( t tan 1 T ) 1 2T 2 1 2T 2
t
式中： 当t→∞时， 于是系统的稳态解为
AT 1 T
A 1 2T 2
A
，
2 2
e
t T
0
U os (t ) lim uo (t )
G(jω)随ω从0变至+∞时在复平面上连续变化而形成 的一条曲线。 • 对数频率特性（Bode图） 由采用对数分度作图的对数幅频特性和采用线性 分度作图的对数相拼特性两条曲线组成。
• 对数幅相特性（尼氏图） lg 横坐标为相位 ( ) ，纵坐标为对数幅值L( ) 20， A( ) 且纵、横坐标均为线性分度。
线性定常系统（或元件）在正弦输入信号作用下，系统稳 态输出与输入的复数比叫做系统（或元件）的频率特性，记 为G(jω)。 记输入信号为
ui (t ) A sin t Ar ( )e j ( 0)
输出信号为
uo (t ) A sin( t ) AC ( )e j ( )
1
其中
G( s) K
1 G(s) v s
1 G(s) i 1 T s 1 i
h
—比例环节 —积分环节 —惯性环节
G(s)
1 ( n v h ) 2
i 1
G(s) ( j s 1)
j 1
l
1 2 Ti s 2 2 iTi s 1
—振荡环节 —微分环节
其中：
sin( t tan 1 T ) A sin( t )
A
1 2T 2
tan 1 T
可见，电路的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入电压的频率相同， 幅值是输入幅值的
1
1 T
倍，相角比输入迟后 tan 1 T 。 2 2
说明 : 1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同, 幅值是输入电压的
1 1 T
2 2
( ) arctan T
G ( j ) 称为电路的频率特性。
G( j ) 是 G ( j ) 的幅值,
它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。
( )
是
G ( j )
的相角，
它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。
由于 G( j ) 和 ( ) 都是输入信号频率 的函数, 故它们分别被称为电路的
上面就是对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考
虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。
L( ) 20lg A( )，dB ( ) ( )， 或 rad
Bode图
A( )
100
L( )
40
A 加Βιβλιοθήκη Baidu十
1
0
倍 0.1
0.01
-20 -40 0.1 -1
log 增加一个十倍频程