数学空间向量公式大全
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
高等数学基本公式整理(空间向量部分)
空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
向量运算公式大全
向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。
向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。
如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。
空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。
余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。
即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。
积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。
向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。
以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。
空间投影向量的公式
空间投影向量的公式
a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，a≠0，b≠0。
如果a，b垂直，那么：1、ab =
ax×bx + ay×by + az×bz = 0 ;或者ab = |a| |b| cos (π/2) = 0；2、零向量与任
何向量都正交。
拓展资料：
空间中具备大小和方向的量叫作空间向量。
向量的大小叫作向量的长度或模(modulus)。
规定，长度为0的向量叫作零向量，记作0。
有理函数1的向量称作单位向量。
与向量a长度成正比而方向恰好相反的向量，称作a的恰好相反向量。
记为-a方向成正比且模成正比的向量称作成正比向量。
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等同于0)，a∥b的充要条件就是存有唯一的实数λ，并使a=λb
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件就是:存有唯一的一
对实数x,y,并使c=ax+by
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存有一个唯一的有序实数组x，y，z，并使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式是数学中常用的一个重要公式，它可以用来衡量空间中两个点之间的距离。
这个公式是在空间几何学中经常使用的，主要用来测量任意两点之间的距离，计算空间点之间距离的公式是： d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1)]
这个距离公式中的变量分别是x、y、z，用来表示空间中的三个维度。
由于空间中的维度是固定的，所以空间向量距离公式也是固定的，可以用来表示任意两点之间的距离。
以上这个公式是专门用来计算二维空间中点之间的距离的，而三维空间中的点之间的距离计算公式则会有所不同，具体如下：
d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) + (t2-t1)]
这是三维空间中计算两点之间距离的公式，其中的t则表示时间的维度，也就是说在三维空间中需要测量的四个量的距离。
可以看到，三维空间中的距离公式是二维空间中的距离公式的一般化，它是在时间的维度上对原来的距离公式做了一个补充，以此来计算三维空间中任意两点之间的距离。
有了上面距离公式的处理，我们可以使用这些公式来解决很多空间几何学问题，比如计算平面图形的周长、面积等。
同时，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，比如地理信息系统中使用距离公式计算不同的小区之间的距离，以此来规划交通路线，更好地改善交通状况。
至此，本文总结了空间向量距离公式，这个距离公式可以用来衡
量空间中两个点之间的距离，主要有二维空间中和三维空间中的距离公式，这两个公式都可以用来计算任意两点之间的距离。
此外，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，用来解决路径规划等问题。
本文围绕空间向量距离公式的基本原理和应用，作了一个详细的总结，希望能够对读者有所帮助。
空间向量的计算公式
空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。
假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。
在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量公式大全
向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。
在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。
本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。
一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。
2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。
3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。
4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。
5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。
6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。
7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。
二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。
10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
数学空间向量公式大全
设 为平面 外一点，点 为平面 内的任一点，平面 的法向量为 ，过点 作平面 的垂线 ，记 ，则点 到平面 的距离：
因此，点 到平面 的距离：
空间向量的应用（2）
方法
图形
6、求直线和直线所成的角
若直线 Байду номын сангаас成的角是 ，
7、求直线和平面所成的角
已知 为平面 的一条斜线， 为平面 的一个法向量，过 作平面 的垂线 ，连结 ，则 为斜线 和平面 所成的角，记为 ，易得
8、已知两平面的法向量,求二面角的大小
3、我们在水中发现了什么微生物呢？（P18）在二面角中 ， 和 分别为平面 和 的法向量，若二面角 的大小为 ，则：
11、火药是我国的四大发明之一，我国古代的黑火药是硝石、硫黄、木炭以及一些辅料等粉末状物质的均匀混合物。迄今为止，可以考证的最早的火药配方是“伏火矾法”。
空间向量知识点
空间向量的有关概念和公式
概念
空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间
如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。
坐标表示
， , ．
运算
则 ， ，
， ，
定比分点公式
设点P分有向线段 所成的比为λ，即 ＝λ ，
， ， （ ）
中点公式： ， ，
三角形重心公式： ， ，
模
， ，则 =
= ； = ； = ; =
平行
，
（或 = = ）
垂直
．（ ）
夹角
cos= =
●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为 轴， 轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为 轴， 轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为 轴， 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为 轴。
空间向量求距离的数学公式
空间向量求距离的数学公式
在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的量，通常
用来描述物体在空间中的位置或运动。
当我们需要计算两个空间向
量之间的距离时，可以使用数学公式来求解。
这个公式可以帮助我
们确定两个点之间的距离，无论这些点是在二维空间还是三维空间中。
在二维空间中，我们可以使用以下公式来计算两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)²)。
这个公式叫做欧几里得距离公式，它是通过两点之间的直线距
离来计算的。
在三维空间中，我们可以将这个公式扩展为：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)² + (z2 z1)²)。
这个公式同样适用于计算两个点在三维空间中的距离。
这些公
式都是基于空间中的直线距离来计算的，它们可以帮助我们在数学
和物理问题中确定物体之间的距禿。
除了直线距离外，我们还可以使用向量的点积来计算两个向量
之间的距离。
如果我们有两个向量A和B，它们的点积可以通过以
下公式来计算：
A·B = |A| |B| cos(θ)。
其中|A|和|B|分别是向量A和B的大小，θ是它们之间的夹角。
然后我们可以使用点积来计算向量之间的夹角，从而得到它们之间
的距离。
这些数学公式为我们提供了不同的方法来计算空间向量之间的
距离，它们可以帮助我们在数学、物理和工程领域中解决各种问题。
通过理解这些公式，我们可以更好地理解空间中物体之间的相对位
置和距禿，从而更好地应用它们在实际问题中。
空间向量数量积公式
空间向量数量积公式空间向量距离公式：d=|n.MP|/|n|。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。
特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模（modulus)。
规定：长度为0的向量叫做零向量，记为0。
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为－a。
方向相等且模相等的向量称为相等向量。
扩展数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的向量积运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.向量的计算公式：OB+OA=OC。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
高中数学向量公式大全
高中数学向量公式大全高中数学中，向量是一个非常重要的概念，它在几何、代数、物理等领域都有着广泛的应用。
在学习向量的过程中，掌握一些常见的向量公式是很重要的，下面就为大家整理了一份高中数学向量公式大全，方便大家复习和查阅。
一、向量基本概念1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，记作 |AB| 或 ||AB||。
2. 向量的方向角：向量与坐标轴正方向之间的夹角。
3. 向量的方向余弦：与坐标轴正方向夹角的余弦值。
4. 平行向量：两个向量的方向相同或相反，则称它们是平行的。
5. 相等向量：两个向量既有相同的模，又有相同的方向，则称它们是相等的。
6. 零向量：模为0的向量，记作0。
7. 广义向量：在同一平面内有相同的大小、方向和作用线的向量组成的集合。
二、向量的坐标表示1. 坐标：向量终点在直角坐标系中的坐标。
2. 向量的坐标表示：向量终点坐标减去起点坐标得到的差。
3. 平移：坐标表示的向量平移时，只需将其起点的坐标平移得到新的向量。
三、向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A。
2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 数量积的分配率：k(A + B) = kA + kB。
4. 加法的存在性：对于任意的向量A，存在一个零向量0，使得 A + 0 = 0 + A = A。
5. 数量积的交换律：A·B = B·A。
6. 数量积的结合律：(kA)·B = k(A·B)。
7. 数量积分配律：(A + B)·C = A·C + B·C。
8. 共线定理：若 A·B = 0，则向量 A 和向量 B 共线。
9. 平行四边形法则：A + B = C + D时，向量 AD 和向量 B 共平行。
四、向量的运算1. 向量的加法：将两个向量的向量和的起点和终点分别与原向量的起点和终点相重合。
2. 向量的乘法：向量的乘法分为数量积和矢量积两种。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
高二数学空间向量公式总结
高二数学空间向量公式总结一、定义1、空间向量：空间向量是一个课程名词，指在三维空间中的通用电流、力、速度、加速度等的一个平行的线段，由它的方向和大小构成，表示它指向的方向和大小。
2、空间向量的几何意义：空间向量的几何意义表明，一个空间向量可以由直角坐标的坐标轴的位移构成，它可以表示一个点从原点出发，在三维空间中的位移。
二、空间向量的算术运算1、空间向量的加法：空间向量的加法是指两个空间向量a、b相加，它的结果向量C=a+b，它的方向和大小是由向量a、b所决定的，其方向向量是a向量和b向量的加和，大小则是a向量与b向量的和。
2、减法:空间向量的减法即两个空间向量a、b相减，它的结果向量C=a-b,它的方向是由a向量和b向量之间的相对位置决定的，大小则是a向量减去b向量的和的差。
3、数乘:空间向量的数乘是指把一个空间向量a与一个实数k相乘，它的结果向量C=ka，其方向和大小是由a向量和实数k所决定的，其方向和a向量的方向一致，而大小则是实数k和a向量的大小的乘积。
三、空间向量的图象1、向量图：向量图是一种常见的表达空间向量的方式，它是用一个指示箭头或线段来表示空间向量，指示箭头由箭头头和箭头尾组成，箭头头表示空间向量的方向，而箭头尾则是空间向量的起点，箭头的大小则表示空间向量的大小。
2、向量图的平行、垂直：如果两个空间向量的方向相同，就称这两个向量为平行，而如果两个空间向量的方向完全垂直，就称这两个向量为垂直。
四、叉乘1、叉乘的定义：叉乘是指两个空间向量a、b相乘，它的结果向量C=a×b，它的方向与a、b两个向量的方向垂直，而大小则由a、b向量的大小和它们之间夹角的正弦值决定。
2、叉乘的运算法则：叉乘有三种基本的运算法则，即结合律、交换律和分配律，结合律表明 (a × b) × c = a × (b × c),交换律表明 a× b= b×a，而分配律是 (a + b) × c = a × c + b × c。
高中数学立体几何向量公式
高中数学立体几何向量公式立体几何是数学中研究三维空间中图形和对象特性的一个分支。
而向量是立体几何中非常重要的一部分，可以用来描述空间中的位置、方向和大小等。
在高中数学中，常常使用向量来解决立体几何问题。
下面将介绍一些高中数学中常用的立体几何向量公式。
1.向量的模和坐标向量的模表示向量的长度，也称为向量的大小。
记向量AB为→AB，则向量的模记作，→AB，表示向量AB的长度。
向量的模具有非负性、同一性和三角不等式等性质。
向量的坐标表示向量在一些坐标系中的位置。
以三维坐标系为例，向量→AB的坐标记作(AB)=(x1,y1,z1)-(x0,y0,z0)，其中(x0,y0,z0)为向量起点A的坐标，(x1,y1,z1)为向量终点B的坐标。
2.向量的加法向量的加法表示将两个向量按照一定规则进行相加得到一个新的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的和记作→AB+→CD。
3.向量的减法向量的减法表示将两个向量按照一定规则进行相减得到一个新的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的差记作→AB-→CD。
向量的减法可以等价于向量的加法。
4.向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示两个向量的乘积的数量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的数量积记作→AB·→CD，满足以下计算公式：→AB · →CD = ，→AB，× ，→CD，× cosθ其中，θ为→AB和→CD之间的夹角。
从公式可以看出，数量积是一个标量，它表示的是两个向量之间的相似程度。
5.向量的向量积向量的向量积又称为叉积，表示两个向量的乘积的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的向量积记作→AB×→CD，满足以下计算公式：→AB × →CD = ，→AB，× ，→CD，× sinθ × →n其中，θ为→AB和→CD之间的夹角，→n为单位向量，垂直于平面ABCD的法向量。
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空间向量知识点
空间向量的有关概念和公式
如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。
OA =
11(,,a x y =OB =
22(,b x y =2212(,,AB x y y z =-AB BA =-
则121(,)a b x x y y +=++，121212(,,)a b x x y z z -=--，111(,,)(a x y z λλλλλ=∈1212||||cos ,a b a b a b x x y y ⋅=<>=++设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP ＝λ2PP ，
121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，12
1z z z λλ
+=+（1R λλ∈≠且）
中点公式：122x x x +=，122y y y +=，12
2z z z +=
三角形重心公式：1233x x x x ++=，1233y y y y ++=，123
3z z z z ++=
2(AB x =|AB =(x a =(,,)x y z |a =2x +2|a =2
a ; ||a =a
1122//,,)a b a a b R λ⇔==∈，
（或
12x x =12y y =） 112a b x x ⊥⇔+0,0a b ≠≠） cos =
||||a b
a b ⋅=112233222222
111222
x x y y z z x y z x y z ++++++
●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为x 轴，y 轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x 轴，y 轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x 轴，y 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为x 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y 轴。
空间向量的应用（1）。