2018年秋九年级数学上册第3章图形的相似3.1比例线段教案(新版)湘教版

第3章图形的相似3．1 比例线段3．1.1 比例的基本性质教学目标【知识与技能】1．理解比例的基本性质．2．能根据比例的基本性质求比值．3．能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形．【过程与方法】通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力．【情感态度】建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣．【教学重点】比例的基本性质．【教学难点】比例的基本性质及运用．教学过程一、情景导入，初步认知1．举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等．2．美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？3．如何求两个数的比值？【教学说明】说明学习本章节的重要意义．二、思考探究，获取新知1．阅读与思考题(1)什么是两个数的比？2与－3的比；－4与6的比如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3)用字母a，b，c，d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或ab＝cd，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项．2．如果四个数a 、b 、c 、d 成比例，即a b ＝c d，那么ad ＝bc 吗？反过来呢？ 【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明．由此，你能得到比例的基本性质吗？【归纳结论】比例的基本性质：如果a b ＝c d，，那么ad ＝bc. 3．已知四个数a 、b 、c 、d 成比例，即：a b ＝c d，下列各式成立吗？若成立，请说明理由． b a ＝d c ；a c ＝b d ；a ＋b b ＝c ＋d d. 分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；(2)采用设比值较为简单．【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值．4．根据下列条件，求a∶b 的值．(1)4a ＝5b ，(2)a 7＝b 8. 解：(1)∵4a＝5b ，∴a b ＝54. (2)∵a 7＝b 8， ∴8a＝7b ，∴a b ＝78. 三、运用新知，深化理解1．已知：x∶(x＋1)＝(1—x)∶3，求x.解：根据比例的基本性质得，(x ＋1)(1－x)＝3x.解得：x ＝－3＋132或x ＝－3－132. 2．若2x －3y x ＋y ＝12，求y x. 解：根据比例的基本性质得，2(2x －3y)＝x ＋y ，4x －6y ＝x ＋y ，3x ＝7y ，y x ＝37. 3．已知a∶b∶c＝1∶3∶5且a ＋2b －c ＝8，求a 、b 、c.解：设a ＝x ，则b ＝3x ，c ＝5x ，∴x＋2×3x－5x ＝8，2x ＝8，x ＝4，∴a＝4，b ＝3×4＝12，c ＝5×4＝20.4．已知x∶y＝3∶4，x∶z＝2∶3，求x∶y∶z 的值．解：因为x∶y＝3∶4＝6∶8，x∶z＝2∶3＝6∶9，所以x∶y∶z＝6∶8∶9.5.y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z＝k ，求k 的值(两种情况)． 解：①当x ＋y ＋z ＝0时，y ＋z ＝－x ，z ＋x ＝－y ，x ＋y ＝－z ，∴k 为其中任意一个比值，即k ＝－x x＝－1； ②x＋y ＋z≠0时，k ＝y ＋z ＋z ＋x ＋x ＋y x ＋y ＋z＝2. 6．已知1，2，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式．分析：可以设再添上的数是x ，根据比例的定义就可解得．解：设添上的数是x ， 得到：1∶2＝2∶x， 解得x ＝2 2.则比例式是：1∶2＝2∶2 2.答案不唯一．7．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4，求原来有多少名男生和女生？解：设男生与女生原来的人数分别为3k 、2k ， 由题意得，3k 2k ＋6＝54， 整理得，12k ＝10k ＋30，解得k ＝15，3k ＝3×15＝45，2k ＝2×15＝30.答：原来有45名男生和30名女生．【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题3.1”中第1题．教学反思在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b＝c∶d，a ，d 在比例式的外部，所以称为比例外项，b ，c 在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解．概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解．3．1.2 成比例线段教学目标【知识与技能】1．掌握比例线段的概念及其性质．2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．3．知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．【过程与方法】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题．【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题．【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题．教学过程一、情景导入，初步认知1．1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？2．比例的基本性质是什么？【教学说明】复习回顾，引入新课．二、思考探究，获取新知1．如下图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ABC 与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB ，BC ，AC ，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算A B 与A′B′，BC 与B′C′，AC 与A′C′的长度的比值．【归纳结论】如果选用同一长度单位量得线段AB ，A′B′的长度分别为m ，n ，那么把它们的长度的比m n 叫做这两条线段的比，记作：AB A′B′＝m n 或AB∶A′B′＝m∶n；如果m n的比值为k ，那么上述式子也可以写成AB A′B′＝k 或AB∶A′B′＝k. 【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.2．什么是比例线段？【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段．3．能否将一条线段AB 分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC 的比等于线段AC 与线段AB 的比呢？即，使得：CB AC ＝AC AB. 【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题．4．根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C.即：CB AC ＝AC AB ＝5－12. 【归纳结论】如果线段AB 上有一点C ，且CB AC ＝AC AB，那么线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫作线段AB 的黄金分割点，较长线段AC 与原线段AB 的比叫作黄金分割比． 黄金分割比5－12的数值近似为0.618.【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解．三、运用新知，深化理解1．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例．(1)a ＝16cm ，b ＝8cm ，c ＝5cm ，d ＝10cm ；(2)a ＝8cm ，b ＝5cm ，c ＝6cm ，d ＝10cm .解：(1)a b ＝2，d c ＝2，则a b ＝dc ，所以a 、b 、d 、c 成比例．(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例．2．若ac ＝bd ，则下列各式一定成立的是( )A .a b ＝c dB .a ＋d d ＝b ＋ccC .a 2b 2＝dc D .ab cd ＝ad【答案】B3．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC∶AB 为( )A .5－12 B .3－52C .5＋12D .5－12或3－52【答案】D4．若2x －5y ＝0，求y∶x 与x ＋yx 的值．解：略．5．已知a b ＝c d ＝3，a －b b ＝c －d d 成立吗？ 解：由a b ＝cd ＝3.得a ＝3b ，c ＝3d.所以a －b b ＝3b －bb ＝2，c －d d ＝3d －dd ＝2，c －d d ＝3d－dd ＝2，因此a －b b ＝c －d d. 6．已知a∶b∶c＝4∶3∶2，且a ＋3b －3c ＝14.(1)求a ，b ，c ；(2)求4a －3b ＋c 的值．解：(1)设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k.∵a＋3b －3c ＝14，∴4k＋9k －6k ＝14，∴7k＝14，∴k＝2，∴a＝8，b ＝6，c ＝4.(2)4a －3b ＋c ＝32－18＋4＝18.7．在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15cm ，AC ＝10cm ，且BD∶DC＝AB∶AC，BD －DC ＝2cm ，求BC.解：略．8．在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为多少米？解：设两地之间的实际距离为x ，则：12000＝5x，x ＝5×2000＝10000cm ＝100m . 9．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美．(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则100＋x 165＋x＝0.618. 解得：x≈5.2cm .故她应该选择约5.2cm 的高跟鞋看起来更美．10．已知线段AB ，求作线段AB 的黄金分割点C ，使AC ＞BC.解：作法：(1)延长线段AB 至F ，使AB ＝BF ，分别以A 、F 为圆心，以大于等于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G ，连接BG ，则BG⊥AB，在BG 上取点D ，使BD ＝12AB ， (2)连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，(3)在AB 上截取AC ＝AE.如图，点C 就是线段AB 的黄金分割点．【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义．使学生能更好地掌握本节知识．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.1”中第2、3、4题．教学反思在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用．本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值．同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识．这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好．另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位．。