(完整版)微分几何期末考试

6、曲面的第一基本形式 ds 2
du2 dv2 (u 2 v2 C)2
，则 122
__________________________
7、曲面
r
(u, v, u 2
v2
) 在 P(1,1, 2)
处的主方向为________________________________
得分 评阅人
二、判断题：（共 5 题，每题 3 分，在括号里填写正确或错误）
1、（10
分）已知曲面
S：
r
r (u,
v)
的高斯曲率和平均曲率分别为
K
和
H，则曲面
S
的三
个基本形式满足：
KI－2HⅡ+Ⅲ＝0 .
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
C：
r
(t,
sin
t,(t
))
的主法线与
yOz
平面平行，是确定 (t
)
.
2、 （8 分）找出双曲面 z axy 上的曲率线.
第 1 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
是_____________________________
4、如果曲面曲线的切方向的法曲率处处为零，就称该曲线为渐近线。曲面 z xy 2 渐
近线是_________________________________（给出渐近线的方程）
5、抛物面 z a(x 2 y 2 ) 在(0,0) 的平均曲率为__________________
1、r (a cosht, a sinh t, at) 曲率k ___________________ 2、曲线r (cos3 t,sin3 t, cos 2t) 的副法向量 _________________________ 3、曲面曲线的曲率为k ，测地曲率为k g ，切方向的法曲率为k n ，则他们满足的关系
华中师范大学 2011 –2012 学年第 2 学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 微分几何 课程编号 83410116 任课教师 周振荣、程亮、宋冰玉
题型 填空题 判断题 计算题 证明题 总分
分值
35
15
30
20
100
得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一、填空题：（共 7 题，每题 5 分）
1、柱面不是可展曲面.
2、正螺面
S
:
r (u,
v)
பைடு நூலகம்
(u
cosv,
u
sin
v,
av)
上无脐点.
（） （）
专业：
院（系）：
3、曲面的第二基本形式与曲面的参数选取无关. 4、圆周是常曲率的. 5、高斯曲率是曲面的内蕴量.
（） （） （）
得分 评阅人
三、计算题：（共 3 题，共 30 分）
1、
（8
分）曲线
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
|
PQ |
2、（10 分）设曲线的曲率 k 0 .在曲线的 P 点处的主法向量的正向取一点 Q，使得
1
k
，则
Q
称为曲线在
P
点的曲率中心，
证明：曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍然是曲率为常数的曲线.
1
k
称为曲率半径.
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3、(14
分)已知正螺面 S
（1）求曲面 S 上曲线 C：u v 0 的曲率；
:
r (u,
v)
(u
c
osv, u
sin
(2) 求曲面 S 上 P(0,0) 点和 P(1,1) 点沿曲线 C 的切方向的法曲率和曲线 C 的曲率.
v,
av)
，(a
>
0)
得分 评阅人
四、证明题：（共 2 题，每题 10 分）