拓展思路.

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

拓展思路,培养探索能力

夷陵区龙泉中学 勾德信

培养探索能力,是学好数学,拓展思维的重要途径之一。探索解题途径,拟定合理方案,是解题的关键。一般来说,解题遵循两条思路:一条是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”;另一条是“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”。有时是二者联用,把“可知”和“需知”联系起来,从而顺利地探索到解题途径。

下面结合几例谈谈如何合理探索解题途径。

一、把握条件,驾驶探索依据。

解题思路闭塞或分析不完整、不正确的原因,往往是没有把握条件或是对条件(特别是隐蔽条件)挖掘和应用不全、不充分的缘故,因此,在探索过程中,需要弄清全部已知条件,挖掘隐含条件。挖掘隐含条件时,可从题中所涉及的概念、关系式的结构及图形等方面的特征入手,有时,也可以从结论或相关知识入手。 例1,0221032=+-+-+y x y x (x 、y 都是实数)

求x 、y 的值。解此题需把握条件,充分应用和挖掘条件。因为

1032-+y x ≥0,22+-y x ≥0,所以,两个非负数之和为零,则有2x+3y-10=0且x-2y+2=0,解之有唯一组解x=2 , y=2。解此题涉及到许多有关知识。

有时数学定义、定理、公式、性质和法则等都是探索过程中的依据,若对题目条件考虑不周,探索不合理,就会导致解题失误。

二、抓住关键,加速探索过程。

题设中各种条件是互相关联的,其中某些条件是关键的突破口,注意审题时的观察、分析、类比和联想,常常能加快解题过程的探索。

例2,解方程16

9122112222=++++++++x x x x x x x 经探索可知:左边第二个分式可分解为11

122++++x x x

再设y x x x =+++1

1222,方程变形为16131=+y y 下面就易解了,得方程根为1或2

53±- 例3,解方程:1

2182218321222++=+++-+x x x x x x 探索:根据分母特点,可设x 2+2x=y 或x 2+2x+1=y 或x 2+2x+2=y 或x 2+2x-3=y ,通

过换元来解,比较而言,设y=x 2

+2x+1最为简便。

三、添设“桥梁”,寻求逻辑通道。

有些问题中的题设与结论之间无明显联系,往往需要借助元素架起“桥梁”,使逻辑思维形式形成一条通道。

例4,分解因式(x 2+5x+3)(x 2+5x-2)-6,如果设x 2+5x=y ,

则原式=(y+3)(y-2)-6

=y 2+y-12

=(y+4)(y-3)

把y=x 2+5x 代入上式,得:

原式=(x 2+5x+4)(x 2+5x-3)

=(x+4)(x-1)(x 2+5x-3)

由上例可知,添设辅助元素,看起来使原条件变繁,但这一“繁”正是为进一步的“简”,里面包含着“将欲取之,必先与之”的哲理。

四、以“退”为“进”,讲求探索策略。

在探索解题途径中,往往采取以下方法。

A 、特殊探索,解题时先考虑问题的某些特殊情形(如特殊值与图形、位置等),以发现抽象程度较高的问题的解题途径,它是“退”的一种表现,如几何定值问题的研究,往往是先将动点(或线)选在某些特殊位置上得出定值。特殊探索法在研究某些选择题时,能起到迅速判定选择支的正误的作用。

B 、逆向思考,对某些问题来说,有时逆向思考优于正向思考,它也是以“退”为“进”的一种表现。如,甲乙丙三人先后做同一批零件,甲做完这批零件的一半少4

个,乙做甲剩下的一半少2个,丙做乙剩下的3

2多6个,恰好做完,求这批零件数。

本题若正向分析,列式麻烦,而逆向推算却轻而易举:6个零件相当于乙剩下的3

1,知乙剩18个,同理可得甲剩下个数,进而易求出零件总数。

C 、“简化问题”,也是“退”的一种表现。这在数学解题中最常见,不需举例。

D 、反证法的指导思想同样是以退为进,即先退到结论的对立面——假设结论的反面成立,然后推导出与已知条件(包含隐蔽条件)相矛盾的结果即结论的对立面站不住脚,从而肯定原结论的正确,若遇结论的反面有多种情况时,用反证法探索时必须一一否定。

五、充分联想,寻求探索思路。

联想是事物之间的联系和关系的反映,它在记忆、思维、探索、发明、创造中起着十分重要的作用。鲁班借助丝茅草的启示,发明了锯,牛顿受苹果落地的启示,提出了“万有引力定律”等等。所有这一切无一不通过联想起作用。由一事物迅速想到与之有关的另一事物,这种由此及彼的联想能力,在数学解题中也是十分需要的。

联想的方式是很多的,有“接近联想”、“相似联想”、“对比联想”、“因果联想”、“互逆联想”等等,无论采取哪种联想方式,都应根据题设和结论的具体情况作图取舍。

下面我们通过一些例子来说明:

例5,比较各题a 、b 的大小

(1)231-=a 3

52-=b

(2)26-=a 622-=b

思路分析:(1)题中只须将分母有理化即可,(2)题中却需要将分子有理化,262+=a ,6

222+=b ,(1)分母有理化——使分母都为1,便于比较;(2)分子有理化——使分子都为2便于比较。这互逆的联想都是为了解题的需要。

例6,(1)三角形的三个外角中最多能有几个锐角?几个钝角?

(2)一个凸n 边形的n 个内角中至多有几个锐角?

思路分析:思考这个问题,应采取对比联想,反其问而思之。(1)题中问的是外

角但可以从内角去考虑。因为三角形按角分类只有三种情况,故知三角形的外角中最多只有一个锐角,最多只有在个钝角。(2)题中问的是内角但也可从外角去考虑,因为 n 边形的外角和是一个定量3600

,所以n 边形的n 个内角中,至多有三个锐角。

例7,已知两实数的和比a 小1,其积比a 大2,试求a 的范围。

思路分析:由条件知两实数的和为a-1,积为a+2,由此联想到韦达定理的逆定理,可知此两实数应是一元二次方程x 2-(a-1)x+a+2=0的两实根,再由根的判别式不难求出a ≥7,或a ≤-1。

总之,提高可逆性联想能力,促进正向思维与逆向思维有机的结合,有利迅速、正确、简捷、合理地解题,为此,一要使联想有坚实的信息基础,这就需要扎扎实实学好基础知识,掌握基本技能,基本方法,基本联系。二要善于从问题的条件和结论或从数和形的特征等方面去捕捉信息,广泛引起联想。三要从多方面,多角度去思考问题,开拓思路,丰富联想。

六、拓展思路,培养探索能力

“探索性问题”又称探究性问题,是开放性问题中的一种,其特征是:题目本身没有给出明确结论(或条件),只提出几种可能需经过观察、分析、探究、归纳得出结论(或使结论成立的条件)。

“探索性问题”能较好地培养学生分析问题,解决问题的能力,培养学生探究习惯和创新精神。因此,它不仅被中考命题者青睐,而且教科书中,新版《代数》《几何》都增加了一些探究性问题,试归纳以下几种探究性问题,探索其求解规律:

A 、条件性探究

此类题型给出问题的结论,探究使结论成立的条件,其解题策略常采用分析法(执果索因)已知结论→未知条件 A

例8:已知△ABC ,P 是AB 边上的一点,连结(1)∠ACP 满足什么条件时,△ACP ∽△ABC ?(2)AC :AP 满足什么条件,△APC ∽△简析:从图(1)可以看出△APC 与△ABC 中∠A=∠A ,根据相似三角形判定定理只需∠ACP=∠B 或AC :AP=AB :AC ,就有△ACP ∽△ABC 。

探究过程要克服思维定势,逆向思考应具发散性,到寻求的条件往往不止一种,探究过程要防止遗漏。

相关文档
最新文档