线性代数第四章习题答案
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习题四答案
(A)
1． 求下列矩阵的特征值与特征向量:
(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113 (2) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---122212221 (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022 (4)
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--201034011 (5) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011102124 (6)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----533242
111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)4)(2(3113
--=--λλλλ，
所以A 的特征值为4,221==λλ．
对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)．
对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解
系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT
(02≠k 为任意常数)．
（2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1
22212
2
21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ．
对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．
对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)．
(3) 矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)4)(1)(2(20212
22--+=--λλλλ
λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ．
对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,2(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,2,2(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)．
对于23-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)2,2,1(3=αT ，所以A 的属于特征值-2的全部特征向量为)2,2,1(333k k =αT (03≠k 为任意常数)．
(4)矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3()1(21212
3
242--=------λλλ
λλ， 所以A 的特征值为12,1=λ（二重），23=λ．
对于12,1=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
对于23=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,0,0(2=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,0,0(222k k =αT (02≠k 为任意常数)．
(5)矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ2)2(11132
1
24-=------λλλ
λλ， 所以A 的特征值为01=λ，23,2=λ（二重）．
对于01=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )0(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,1(1--=αT ，所以A 的属于特征值0的全部特征向量为)2,1,1(111--=k k αT (01≠k 为任意常数)．
对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为22αk )0,1,1(2-=k T (02≠k 为任意常数)．
(6)矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3()1(21212
3
242--=------λλλ
λλ， 所以A 的特征值为61=λ，23,2=λ（二重）．
对于61=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )6(O ，可得它的一个基础解系为)3,2,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值6的全部特征向量为)3,2,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
对于23,2=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(2-=αT ，)1,0,1(3=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量
为3322ααk k +)
0,1,1(2-=k T )1,0,1(3k +T (32,k k 为不全为零的任意常数)．
2． 设A 为n 阶矩阵， (1) 若O A ≠，且存在正整数k ，使得O A k
=(A 称为幂零矩阵)，证明:A 的特征值全为零；
(2) 若A 满足A A =2(A 称为幂等矩阵)，证明:A 的特征值只能是0或1；