2014—2015学年江苏省扬州中学高一数学期中考试试题试卷及答案

2014—2015学年江苏省扬州中学高一数学期中考试试题试卷
2014.11
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3A B ==，则()U A C B 等于 ▲ ．
2．集合{}
03x x x Z <<∈且的子集个数为 ▲ ． 3
．函数()lg(2)f x x =-+
定义域为 ▲ ．
4．若函数2()2f x x ax =-在(],5-∞上递减，在[)5,+∞上递增，则实数a = ▲ ．
5．下列各组函数中，表示相同函数的是 ▲ ．
①y x =
与y = ② y x =与2x y x
=
③2
y x =与2s t = ④
y =
与y =6．若函数3log ,(0)
()2,(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
，则
1()9f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
▲ ． 7
．已知幂函数的图象经过点，则(4)f = ▲ ． 8．如果函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，则正整数n = ▲ ． 9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围是 ▲ ．
10．如果指数函数x
y a =(01)a a >≠且在[0,1]x ∈上的最大值与最小值的差为
1
2
，则实数 a = ▲ ．
11．若21
34,
1x
y
m x y
==+=，则实数m = ▲ ． 12.对于函数()f x 定义域中任意的12,x x ，给出如下结论：
①()()()2121x f x f x x f +=⋅； ②()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ③当12x x ≠时，()[]1212()()0x x f x f x -->； ④当12x x ≠时，()()1212
(
)22
f x f x x x f ++<， 那么当()l
g f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ▲ ．
13．已知函数ln ,(05)
()10,(5)
x e x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()f a f b f c == （其中a b c <<），
则abc 的取值范围是 ▲ ．
14．已知实数,a b 满足32362a a a ++=，323610b b b ++=-，则a b += ▲ ．
16．（本小题满分14分）
已知函数()f x =
（1）当2k =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.
17．（本小题满分14分） 已知函数1()log 1a
x
f x x
-=+ (其中0a >且1a ≠). （1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；
（2）解不等式()0f x >.
18．（本小题满分16分）
某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q 关于销售价格x 的函数关系式；
（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为
10
万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．
19. （本小题满分16分） 已知函数()2a
f x x x
=+
， （1）判断()x f 的奇偶性并说明理由；
（2）当16a =时，判断()x f 在(]0,2x ∈上的单调性并用定义证明；
（3）当16a =时，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()9f x m >+恒成立，求实数m
的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知二次函数()2
f x ax bx c =++（其中0a ≠）满足下列3个条件:
①()f x 的图象过坐标原点； ②对于任意x R ∈都有11
()()22
f x f x -+=--成立； ③方程()f x x =有两个相等的实数根， 令()()1
g x f x x λ=-
-（其中0λ>），
（1）求函数()f x 的表达式；
（2）求函数()g x 的单调区间（直接写出结果即可）； （3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.
命题、校对：高二数学备课组
高一数学试卷答案 2014.11
一、填空题
1． {1} 2． 4 3． [1,2) 4． 5 5．③ 6．14 7．12
8． 2 9． ()1,3- 10．
32或12
11． 36 12. ①③ 13． (5,9) 14． -2 二、解答题
15．解：由题意得24613a a --=- ，解得1a =或1
2
a =， 当1
2
a =
时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求，此时{}2,3,4,3A B =-；
当1a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求， 综上得：1
2
a =
， {}2,3,4,3A B =-。

……………………………14分
16．解：（1）当2k =时，由题意得2212100x x -+≥， 即(1)(5)0x x --≥，即51x x ≥≤或
∴定义域为{|51}x x x ≥≤或。

……………………………6分 （2）由题意得不等式2680kx kx k -++≥对一切x R ∈都成立
当0k =时，()f x = ……………………………9分 当0k ≠时，0
k >⎧⎨
∆≤⎩，解得01k <≤，
综上可得：实数k 的取值范围是[]0,1。

……………………………14分 17．解：（1）由
101x
x
->+得11x -<<，所以定义域为(1,1)-； ……………………3分 11()log log ()11a
a x x
f x f x x x
+--==-=--+ ∴()f x 为奇函数 ……………………7分 （2）1a >时，由1()log 01a
x f x x -=>+，得111x
x
->+，得10x -<< 01a <<时，由1()log 01a
x f x x -=>+，得1011x x
-<<+，得01x << ……………13分 综上得，1a >时，(1,0)x ∈-；01a <<时，(0,1)x ∈ ……………………14分
18． 解：（1）由题设知，当85≤≤x 时，;252
5
+-=x Q 当128≤<x 时，;13+-=x Q
所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=.
128,13,
85,2525
x x x x Q ……………………6分
（2）月利润为.10)5()(--⋅=x Q x f
即525)(5)10,58,(2
(13)(5)10,812,
x x x f x x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨⎪-+--<≤⎩（）
225
1545()58228
(9)6812x x x x ⎧--+
≤≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩
…………10分 所以当]8,5[∈x 时，；
最大8
45
)(,215==
x f x 当]12,8(∈x 时，.6)(,9==最大x f x 所以当9=x 时，)(x f 取得最大值6．
答：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。

…………16分
19. 解：（1）当0=a 时，()2
,(0)f x x x =≠为偶函数； …………2分
当0≠a 时，()11f a =+,()11f a -=-,
故()()11f f -≠且()()11f f -≠-，所以()x f 无奇偶性. 综上得：当0=a 时，()x f 为偶函数；当0≠a 时，()x f 无奇偶性. …………5分 （2）()216f x x x
=+
， 任取1202x x <<≤，则()()22121212
1616f x f x x x x x -=+
--()12
12121216x x x x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦， ∵1202x x <<≤∴0,02121><-x x x x ，()121216x x x x +<，
∴()()120f x f x ->，所以()x f 在区间(]0,2上递减. …………9分 （3）由题意得(
)min 9f x m >-，
由（2）知()x f 在区间(]0,2上是递减，同理可得()x f 在区间[)2,+∞上递增， 所以()()min 212f x f ==， …………12分
所以129m >
，即120m --<，
,(t 0)t =≥，则220t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<，
即02≤
<，即15m ≤<。

…………16分
20．解： (1)由题意得()00f =，即0c =. …………1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴对称轴为12x =-
，即122
b a -=-，即a b =. ∴()2
f x ax ax =+，
∵方程()f x x =仅有一根，即方程()2
10ax a x +-=仅有一根，
∴∆0=，即()2
10a -=，即1a =．
∴()2
f x x x =+． …………4分
(2) ()()1g x f x x λ=--()()2
2111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩
① 当1
x λ
≥
时，函数()()2
11g x x x λ=+-+的对称轴为1
2
x λ-=
，
若
1
1
2
λλ
-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； 若1
1
2
λλ
->
，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减．
② 当1
x λ
<
时，函数()()2
11g x x x λ=++-的对称轴为11
2x λλ
+=-
<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减． 综上所述，
当02λ<≤时，函数()g x 增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2λ+⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
； 当2λ>时，函数()g x 增区间为11,2λλ+⎛⎫-
⎪⎝⎭、1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，减区间为 1,2λ+⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭、11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． (9)
分
(3) ① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，
又()()010,1210g g λ=-<=-
->，
故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …………12分 ② 当
2λ>时，则
1
112λ
<
<，而()010,g =-<2111
0g λλ
λ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，
（ⅰ）若23λ<≤，由于
1
1
12
λλ
-<
≤，
且()2
11111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
1104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； （ⅱ）若3λ>，由于
1
12
λ->且()121g λ=--0<，此时()g x 在区间()0,1
上有两个不同的零点． 综上所述，
当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；
当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …………16分
高一数学试卷答案 2014.11
一、填空题
1． {1} 2． 4 3． [1,2) 4． 5 5．③ 6．14 7．12
8． 2 9． ()1,3- 10．
32或1
2
11． 36 12. ①③ 13． (5,9) 14． -2 二、解答题
15．解：由题意得24613a a --=- ，解得1a =或1
2
a =， 当1
2
a =
时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求，此时{}2,3,4,3A B =-；
当1a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求， 综上得：1
2
a =
， {}2,3,4,3A B =-。

……………………………14分
16．解：（1）当2k =时，由题意得2212100x x -+≥， 即(1)(5)0x x --≥，即51x x ≥≤或
∴定义域为{|51}x x x ≥≤或。

……………………………6分 （2）由题意得不等式2680kx kx k -++≥对一切x R ∈都成立
当0k =
时，()f x = ……………………………9分
当0k ≠时，00k >⎧⎨∆≤⎩
，解得01k <≤，
综上可得：实数k 的取值范围是[]0,1。

……………………………14分 17．解：（1）由
101x
x
->+得11x -<<，所以定义域为(1,1)-； ……………………3分 11()log log ()11a
a x x
f x f x x x
+--==-=--+ ∴()f x 为奇函数 ……………………7分 （2）1a >时，由1()log 01a
x f x x -=>+，得111x
x
->+，得10x -<< 01a <<时，由1()log 01a
x f x x -=>+，得1011x x
-<<+，得01x << ……………13分 综上得，1a >时，(1,0)x ∈-；01a <<时，(0,1)x ∈ ……………………14分 18． 解：（1）由题设知，当85≤≤x 时，;252
5
+-=x Q 当128≤<x 时，;13+-=x Q
所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=.
128,13,
85,2525
x x x x Q ……………………6分
（2）月利润为.10)5()(--⋅=x Q x f
即525)(5)10,58,(2
(13)(5)10,812,
x x x f x x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨⎪-+--<≤⎩（）
2251545()58228
(9)6812x x x x ⎧--+≤≤⎪
=⎨⎪--+<≤⎩
…………10分 所以当]8,5[∈x 时，；
最大8
45
)(,215==
x f x 当]12,8(∈x 时，.6)(,9==最大x f x 所以当9=x 时，)(x f 取得最大值6．
答：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。

…………16分
19. 解：（1）当0=a 时，()2
,(0)f x x x =≠为偶函数； …………2分
当0≠a 时，()11f a =+,()11f a -=-,
故()()11f f -≠且()()11f f -≠-，所以()x f 无奇偶性. 综上得：当0=a 时，()x f 为偶函数；当0≠a 时，()x f 无奇偶性. …………5分 （2）()216f x x x
=+
， 任取1202x x <<≤，则()()22121212
1616f x f x x x x x -=+
--()12
12121216x x x x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦， ∵1202x x <<≤∴0,02121><-x x x x ，()121216x x x x +<，
∴()()120f x f x ->，所以()x f 在区间(]0,2上递减. …………9分 （3）由题意得(
)min 9f x m >-，
由（2）知()x f 在区间(]0,2上是递减，同理可得()x f 在区间[)2,+∞上递增， 所以()()min 212f x f ==， …………12分
所以129m >
，即120m --<，
,(t 0)t =≥，则220t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<，
即02≤
<，即15m ≤<。

…………16分
20．解： (1)由题意得()00f =，即0c =. …………1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
∴对称轴为12x =-，即122b a -=-，即a b =. ∴()2f x ax ax =+，
∵方程()f x x =仅有一根，即方程()2
10ax a x +-=仅有一根， ∴∆0=，即()2
10a -=，即1a =．
∴()2f x x x =+． …………4分 (2) ()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩
① 当1
x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为1
2x λ-=， 若1
12λλ-≤
，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若
112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减． ② 当1
x λ<时，函数()()2
11g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
上单调递减． 综上所述， 当02λ<≤时，函数()g x 增区间为1,2λ+⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 当2λ>时，函数()g x 增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭、11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …………9分
(3) ① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，
又()()010,1210g g λ=-<=-->，
故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …………12分
② 当2λ>时，则1
112λ<<，而()010,g =-<21110g λλ
λ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，
（ⅰ）若23λ<≤，由于1
112λλ-<
≤，
且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()
21104λ-=-+≥，
此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； （ⅱ）若3λ>，由于1
12λ->且()121g λ=--0<，此时()g x 在区间()0,1
上有两个不同的零点． 综上所述，
当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；
当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …………16分。