向量的加法与减法(一)
2.1.2-2.1.3向量的加法与减法
如图，已知 a, b , c ，请作出 a + b, b + a ( a + b ) + c , a + ( b + c.)
a
c
b
b
a
a+ b
b
a ab
c
bc
abc
b+ a a b
五、向量加法的运算律
交换律： a b b a
结合律：（a b） c a (b c)
想一想
零向量和任一向量 a 的和为多少?
(3) AC + CD+ DO = AO
D
C
O
A
B
巩固练习:
1.化简 (1)AB CD BC AD
(2)(MA BN) (AC CB) MN
(3)AB (BD CA) DC 0
2.根据图示填空 （1）a b c
E eD
gf
(2)c d f
d
A
c C （3）a b d f
a0 0a a
由于向量的交换律和结合律，对 于多个向量的加法运算就可以按照任 意的次序与任意的组合来进行了．
例如
(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)
复习：1、向量加法运算法则：
C
C
D
A
BA
B
AB BC AC
三角形法则
AB AC AD
平行四边形法则
2、向量加法的交换律：a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
生活中有向量 生活中用向量
向量的概念: 向量的表示方法： 向量的模： 零向量、单位向量概念： 平行（共线）向量定义： 相等、相反向量定义： 共线向量与相等、相反向量的关系：
向量的加法与减法
数能进行运算，因为有了运算而使数的 威力无穷. 与数的运算类比 ,向量是否也能进 行运算呢？ 人们从向量的物理背景和数的运 算中得到启发，引进了向量的运算. 下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法：
(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
OA OC OB OD ,
A B
M
OA OB OD OC ,
BA CD , // CD ∴ BA
D C
故四边形ABCD为平行四边形.
O
.
结论: | a b || a | | b |
思考二： | a b | 与 | a |, | b | 有什么关系呢？
（ 1 ）当a ， b 不共线时,
当a， b 不共线时，则| a | | b || a b |
a b a (b)
即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
图示：
b b b
O .
a
b b b b
b
a a
A
a
a
a
a B
a a
a-b
说明： 连接两个向量的终点， 且箭头指向被减的向量 ，
这样得到的向量就是这 两个向量的差 .
(1) 上图中， 如果从 a 的终点到b 的终点作向量， 想一想：
（2）当 a ， b 共线时,
§2.2向量的加法与减法(一)
uuuv v AB a
，uBuCuv
v 、b 共线时
v b
，则
vv v v ab a b
v v vv a b ab
v
vv ab
v
avb
v
v b
即
v a
v
va b
v vv
uuubv uuuva uubAuv
AB BvC AC
同 a av
向
b
异a
v
向
b
vv ab
B
C
A
B
vv ab
C
vv
C ab A
（4）相等向量： a b
规定：零向量与任何向量平行.
相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示,并且与有向
线段的起点无关.
2.巩固练习
判断下列命题的真假
vv
v
v
（1）若 a b ，则 a b ； 假
uuur uuur
（2）若 AB DC ,则四边形ABCD为平行四边形；真
v vv v v v （3）若 a b,b c , 则 a c； 真
的（ D ）
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
（4）P76/1，2，3，4.
5.小结
（1）向量加法的概念；
（2）向量加法的两个法则：
①向量加法的三角形法则；②向量加法的平行四边形法则.
注：用向量加法的三角形法则作图时，
两向量是首尾相连； 用向量加法的平行四边形法则作图时，
两向量是起点相同.
（3）向量加法的两个规律：
①向量加法的交换律； ②向量加法的结合律.
vv vv ab ba
vv v v vv (a b) c a (b
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
《向量的加减法》课件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
感谢您的观看
THANKS
02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量的加法与减法
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量： 已知向量a、b，求作向量a-b ∵ (a b ) + b = a + ( b ) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b 即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量
向量的减法 1“相反向量”的定义： 与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。 (a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则 a = b, b = a, a + b = 0 3 向量减法的定义：向量 a 加上 b 的相反向量， 叫做a与b的差。 即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫 做向量的减法
B
(1)
A
特殊情况
a
b
a b
a
b
a b
A
B
(2 )
C
C
A
(3 )
B
a b a
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a （1）两向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不共线时，a+b、a、b的方 向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与 a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与?相同,， |a+b|?
向量的加减法及数乘运算
o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1． 相反向量：
与 做 记作
a长aa度的相相等反，向方量向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注：（1） a a
（（32））如任即 那果意： 么，向：量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和，0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法，
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图，ar ,平uAuDu行r 四br边，形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur，和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另：（1） a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
初中数学知识归纳向量的加法与减法
初中数学知识归纳向量的加法与减法初中数学知识归纳：向量的加法与减法在初中数学中，向量是一个非常重要的概念。
向量不仅可以表示方向和大小，还可以进行加法和减法运算。
本文将对初中数学中关于向量的加法和减法进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量。
通常用一个带箭头的线段来表示，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
向量通常写作字母加上一个有方向的箭头，例如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即无论先加哪个向量，结果都是相同的。
1. 平行四边形法则向量的加法可以使用平行四边形法则进行计算。
将两个向量的起点放在一起，然后按照顺序画出它们的箭头，连接尾部得到一个新的向量。
2. 矩形法则向量的加法也可以使用矩形法则进行计算。
将两个向量的起点放在一起，然后按照顺序画出它们的箭头，在最后一个向量的箭头上标记一个平行于第一个向量的箭头，连接起点与新箭头的尾部得到一个新的向量。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将减法转化为加法来进行计算。
将减法转化为加法的方法是，将要减去的向量取反，然后将两个向量进行加法运算。
四、向量的具体计算向量的具体计算可以通过坐标表示进行。
例如，在二维平面内，向量AB→可以表示为(1, 2)，向量CD→可以表示为(3, 4)。
则向量AB→ + CD→的计算结果为(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)。
在三维空间中，向量的计算同样适用。
例如，向量PQ→可以表示为(1, 2, 3)，向量RS→可以表示为(4, 5, 6)。
则向量PQ→ + RS→的计算结果为(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9)。
五、向量的性质1. 零向量：大小为0的向量，记作0→。
零向量加上任意向量，结果仍为该向量本身。
2. 负向量：与一个向量大小相等，但方向相反的向量，记作-(AB→)。
平面向量的加法和减法运算
平面向量的加法和减法运算在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，常用箭头来表示。
平面向量的加法和减法是两个基本操作，它们可以帮助我们描述和解决各种与方向和位移相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算方法，以及一些实际应用。
一、平面向量的表示平面向量通常使用有序对来表示，如AB。
其中，A和B分别表示向量的起点和终点。
我们可以用箭头来表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
例如，AB向量可以表示为→AB。
二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算可以用三角法和平行四边形法两种方法进行。
1. 三角法三角法是一种简单直观的计算平面向量加法的方法。
首先，我们将两个向量的起点放在一起，然后从第一个向量的终点画一条箭头指向第二个向量的终点。
这样，连接起点和终点的箭头便表示了两个向量相加的结果。
2. 平行四边形法平行四边形法是另一种常用的计算平面向量加法的方法。
我们需要将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来，形成一个平行四边形。
此时，从共同起点到对角线上的交点的箭头便表示了两个向量相加的结果。
三、平面向量的减法运算平面向量的减法运算可以通过将减去的向量取其相反向量并进行加法运算来实现。
假设有两个向量AB和CD，我们可以将CD取其相反向量-CD，然后将AB与-CD进行加法运算。
实际上，减法运算也可以表示为向量加上其相反数。
四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 加法单位元：0 + A = A + 0 = A（其中0为零向量）4. 加法逆元：A + (-A) = (-A) + A = 05. 减法定义：A - B = A + (-B)五、平面向量运算的应用平面向量的加法和减法运算在几何、物理等领域中有广泛的应用。
1. 位移和方向：平面向量的加法可以用来描述一个物体在平面上的位移和方向变化。
向量的基本运算法则
向量的基本运算法则向量是代数学重要的基础概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还被应用于物理、计算机科学和工程领域。
本文将介绍向量的基本定义和运算法则。
一、向量的基本定义向量是具有大小和方向的量。
在二维空间中，向量通常表示为（a，b）；在三维空间中，向量通常表示为（a，b，c）。
向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是将两个向量相加的过程，它的计算方式是将两个向量的对应分量相加。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2）。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2. 向量的减法向量的减法是将一个向量减去另一个向量的过程，它的计算方式是将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a－b＝（a1－b1，a2－b2）。
向量的减法不满足交换律，即a－b≠b－a。
3. 向量的数量积向量的数量积是相乘得到一个实数的运算。
设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2。
向量的数量积在计算时需要注意下列性质：a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c(k·a)·b＝a·(k·b)＝k(a·b)，其中k为实数4. 向量的向量积向量的向量积是相乘得到一个向量的运算。
向量的向量积只有在三维空间中存在。
设向量a＝（a1，a2，a3），向量b＝（b1，b2，b3），则向量a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）。
向量的向量积在计算时需要注意下列性质：a×b＝－b×aa×(b＋c)＝a×b＋a×c(k·a)×b＝a×(k·b)＝k(a×b)，其中k为实数三、总结本文介绍了向量的基本定义和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积。
平面向量的加法和减法运算
交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03
向量加减法
C
b
60°
AB BC AC
尾首顺次相接 首指向尾为和
ab
45° A
B
a
练习1：向量 a 为北偏东45°,大小为3cm,向量b 为 例题 北偏西60°,大小为4cm，用加法三角形法则作出 平行四边形法则 ab
AB B C AC AB B C AC C
C
D
AB AC AD
复习回顾：
有向线段
向量的表示: 向 量 向量的方向
向量的大小 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量与 相反向量
平行向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
引入：由于大陆和台湾没有直航，因此2010 年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从 香港到上海，这两次位移之和是什么？
对于零向量与任一向量a, 我们规定 a00a a
向量加 法
特例：共线向量
a b a b B C C A B
A
AC a b
AC a b
方向相同
方向相反
问题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
向 向 量 量 加 加 法 法
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
小结:
1.两个向量的和仍然是向量。
2.向量加法法则:
向量加法的三角形法则 以第一个向量的终点作 为第二个向量的起点， 则从第一个向量的起点 到第二个向量的终点的 向量就表示和向量. 尾首顺次相接 首指向尾为和
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
向量的加法与减法
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
a+b
A
b
B
b+a
a
（a+b)+c=a+(b+c)
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所示，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
2.2向量的加法与减法(第一课时)
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义（制作人:韩金红 审定人:王建民）学习目标：1.掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义；2.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量；3.理解向量加法满足交换律和结合律；学习过程：Ⅰ.复习回顾:向量的概念向量的表示方法向量的模零向量、单位向量的概念平行向量的定义相等向量的定义Ⅱ.学习新课思考1:位移是既有大小又有方向的量，如何求位移和？例如(1)某人从A 向东走1里到达B,接着从B 向南走1里到达C,他的位移怎么求?西南北东（2）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（3）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+1.向量加法的定义 已知非零向量，，在平面内任取一点A ，作___________________，则向量______叫做a 与b 的和，记作___________.ba b即＋＝＋＝.求两个向量_____的运算叫向量的加法.2.向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的_________法则，运用这一法则时要特别注意“__________”，即第二个向量要以第一个向量的______为起点，则由第一个向量的_______指向第二个向量的___________的向量即为和向量.（1）规定： +0 =0 + =（2）与共线时三角形法则同样适用作出下列两个向量的和3.向量加法的平行四边形法则如图，由于平行四边形对边_____且________，则可把向量b 的起点由B 移到A ， 即 = =，则：＝＋＝＋即：在平面内过同一点A 作＝a ，＝b ，则以AB 、AD 为邻边构造平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线向量即与的和，这种方法即为向量加法的________法则.说明：上述两种方法实质_______，但应用各有特色，三角形法则适合于_________的两向量求和，而平行四边形法则适合于_________的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. 如果与共线时平行四边形法则能适用吗？4.向量加法所满足的运算律交换律：结合律：a b a b多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.例如 ［例1］如图，已知向量，，求作向量+.思考2：两个向量的和仍是一个向量，那么|+|与||+||的大小关系如何？（1）当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a ,不同向，且||___||||a b a b ++（2）当向量b a ,同向时，b a +的方向与b a ,同向，且||_____||||a b a b ++（3）当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与______相同，且|a +b |=________；若||<||，则+的方向与_______相同，且|+ |=____________.［例2］一艘船从A 点出发以23 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用___________表示，速度的合成也就是向量的_______._____AB BC CD DE +++=解：如图，设表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，答：船实际航行速度的大小为______km/h，方向与流速间的夹角为_______.变式：船在静水中的速度为6Km/s，水流的速度为3km/s，则它必须朝那个方向开，才能保证船沿水流的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？Ⅲ课堂小结1、向量加法的三角形法则（首尾相接,首尾连）以第一个向量的终点作为第二个向量的起点，则由第一个向量的______指向第二个向量的________的向量就是和向量。
高一数学向量的加法与减法1
课题：向量的加法与减法（1）教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b A B B C A+=+= 特殊情况：(1)BBAabba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+=探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a与b不共线时，a +b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加2．向量加法的交换律：a+b=b+a(b+c) 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+证：如图：使AB a==, CD c=, BC b则(a+b) +c=AC CD AD+=+=a+ (b+c) =AB BD AD∴(a+b) +c=a+ (b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例1如图，一艘船从A点出发以h32的速度向垂直于对岸的km/方向行驶，同时河水的流速为h2，求船的实际航行的速度的大小km/与方向(用与流速间的夹角表示).解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的速度. 在ABC Rt ∆中，||2AB =，||23BC =所以22||||||4AC AB BC =+=因为tan CAB CAB 60∠=∠=︒答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60 四、课堂练习：1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h五、小结 1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律； 3︒注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号六、课后作业：2、已知两个力F 1,F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计（略）八、课后记：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：向量的加法与减法（一）
教案目标：
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。
教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教案难点：向量的加法和减法的定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教案过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作。
的方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段
来表示，并且与有向线段的起点无关
．．．．．．．．．．.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7.对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个
要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
二、讲解新课：
1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。
如图，已知向量
、。
在平面内任取一点
，作
，
，
则向量
叫做与的和，记作
，即
特殊情况：
(1)
B
B
A
对于零向量与任一向量，有
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||。
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当
与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-
||。
若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使, ,
则(+) +=
+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
三、讲解范例：
例1如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行
驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流
的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是
船的实际航行的速度.
在中，，
所以
因为
答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为
四、课堂练习：
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度。
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是
，求和。
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h。
五、小结1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律；
3︒注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号。
六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小。
3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
七、板书设计（略）
八、课后记：。