函数的概念及表示(讲义及答案)

函数的概念及表示（讲义）

知识点睛

一、函数的定义域

由自变量的取值组成的集合称为定义域．定义域需满足：1函数解析式有意义；②满足实际要求．

二、求函数值域的方法

1.

观察法（利用函数单调性）2.

图象法（数形结合法）3.换元法形如y ax b cx d =+±+（a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0）的函数，令cx d t +=，则0t ≥，用t 表示x ，确定函数值域．4.分离常数法形如0ax b y a b c d ac cx d

+=≠+，，，，（均为常数且）的函数，先化简表达式，使分子不含未知量，再结合x 取值范围，数形结合求值域．

5.判别式法形如220ax bx c y a b c d e f dx ex f

++=++（，，，，，不同时为）的函数，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的二次方程，通过方程有实根，判别式△≥0，求出y 的取值范围．6.反解法

当函数的定义域已知或易得时，可用因变量表达自变量，通过自变量范围确定函数值域．

三、函数解析式的求法（待定系数法、换元法、解方程组法）1.

已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法．2.

已知复合函数(())y f g x =的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．3.若()f x 满足某个等式，则可对该等式赋值，例：令1x x

=

，x x =-等，构造方程组，通过解方程组求得()f x ．

精讲精练1.求下列函数的值域：

（1）|1||4|y x x =-++；________________．

（2）41y x x =+-；________________．

（3）312

x y x +=-；________________．（4）224321

x x y x x -+=--；________________．（5）1

32222+-+-=x x x x y ；________________．2.设函数4

1)(2-

+=x x x f ，（1）若定义域为[0，3]，则)(x f 的值域为_____________；（2）若定义域为[1]a a +，，)(x f 的值域为11[]216

-，，则a 的值为_____________．

3.（1）若函数(2)f x +的定义域是[-4，0]，则函数2(1)f x -的

定义域为_____________；

（2）已知函数()f x 的定义域是(01]，

，则()()()g x f x a f x a =+⋅-012

a -<≤（）的定义域为________．4.（1）已知函数218y ax bx =++的定义域为[-3，6]，则

a =__________，

b =__________；

（2）函数2143

y ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________；

（3）若函数222(1)(1)+1

y a x a x a =-+-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________．

5.（1）设21

ax b y x +=+（a ＞0）的值域为[-1，4]，则a =______，b =__________；

（2）已知函数2221

x ax b y x ++=+的值域为[1，3]，则a =__________，b =__________． 6.（1）使函数2221

x ax y x x +-=-+的值域为(2)-∞，的a 的取值范围是__________；

（2）若函数21x y mx mx =

++的值域为R ，则m 的取值范围是__________．7.若210()((6)) 10x x f x f f x x -⎧=⎨+<⎩≥（）（），则f (5)等于（

）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

8.设函数220() 0x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩≥（）（）

，若(())2f f a ≤，则实数a 的

取值范围是____________．

9.若函数10()1

0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥（）（），则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是________________．10.（1）已知()f x 满足2()2()345f x f x x x +-=++，则

()f x =___________；

（2）已知()f x 满足12()()3f x f x x

+=，则()f x =__________；（3）已知函数()f x 的定义域为(0)+∞，，且

1()2()1f x f x x

=⋅-，则()f x =_____________________．

11.已知定义在R 上的函数()f x 满足

22()2()233f x y f y x xy y x y +=++-+-，求()f x ．12.已知函数()f x 的定义域是(0)(0)-∞+∞ ，，，且对于定义域

内任意的x ，y ，都有()()f x f y +()f x y =⋅成立．

求证：()()()x f x f y f y

-=．

【参考答案】1.（1）[5)y ∈+∞，；

（2）(5]y ∈-∞，

；（3）(3)(3)y ∈-∞+∞ ，

，；（4）2211()()()3322y ∈-∞--+∞ ，，，；（5）10(2]3

y ∈，2.

（1）147[]44

-，；（2）34-或54-；3.

（1）[33]-，；（2）(1]a a -+，4.（1）-1，3；

（2）3[0)4

，；（3）[19]，

5.

（1）4，3；（2）2±，2；6.

（1）(62)-，；（2）(0]-∞，；7.

B 8.

(2]-∞，9.(21]

-∞-，10.（1）25

()43f x x x =-+

（2）1()2f x x x =-

（3）2+1

()3

x f x =11.2()3f x x x =+12.略