九、平面一般力系平衡方程的其他形式
平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程,即
F,平衡锤重WQ,已知W、F、a、b、e、l,欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒,求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1)考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin(a+b)WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零,则力系
平衡。反之,若平面力系平衡,则其主矢、主矩必同时为零(假如 主矢、主矩有一个不等于零,则平面力系就可以简化为合力或合力 偶,力系就不平衡)。因此,平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零,即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下: 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量,选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心,列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时,为使计算简单,通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴,矩心选在两个未知力的交 点上;尽可能多的用力矩方程,并使一个方程只含一个未知数。
平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
FW 2 G FW1 FRA FRB 0
解得: FRB 870kN
FRA 210kN
17
3、平面力偶系旳平衡方程
因为平面力偶系合成旳成果为一合力偶,M=Σm,而力偶
在任一轴上投影旳代数和均为零。即平面一般力系旳平衡方
程旳基本形式旳两个投影方程均变成恒等式,故平面力偶系
旳平衡方程为:
G 10 FP 4 FRB 20sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 600 FP 0
解得:FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11.2kN 9
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系,皆可看作平面 一般力系旳特殊力系,它们旳平衡方程皆可由平面一般力系 旳平衡方程导出。
1.平衡方程旳基本形式
FR' ( Fx )2 ( Fy )2
M o mo (F )
Fx 0 Fy 0
mo
(
F
)
0
2
由此可得结论,平面一般力系平衡旳解析条件是:全部各 力在两个任选旳坐标轴上旳投影旳代数和都等于零;力系 中全部各力对任一点旳力矩旳代数和等于零。
需要指出旳是,上述平衡方程是相互独立旳,用来求 解平面一般力系旳平衡问题时,能且最多只能求解三个未 知量。为了防止求解联立方程,应使所选旳坐标轴尽量垂 直于未知力,所选矩心尽量位于两个未知力旳交点(可在 研究对象之外)上。另外,列平衡方程时,既可先列投影 方程,也可先列力矩方程。总之,应尽量使每一方程式中 只含一种未知量,以便简化计算。
在研究对象上画出它受到旳全部主动力和约束反力。约束反力 根据约束类型来画。当约束反力旳指向未定时,能够先假设其指 向。假如计算成果为正,则表达假设指向正确;假如计算成果为 负,则表达实际旳指向与假设旳相反。
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米),其左端的集度为零,右端集度为 q 。载荷的长度为 l,载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷(忽略重
力),且为一平行力系
O Fox
• 约束反力:
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座,A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零,以及各力对于任意
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解:选取研究对象:杆CE(带有销 钉D)以及滑轮、绳索、重物组成 的系统(小系统)受力分析如图, 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
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29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶M 具有如下性质(与滑动摩擦力性质类似): ◆ 其大小由平衡条件确定; ◆ 转向与滚动趋势相反; ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时, M = M max =δFN
式中:δ —滚动摩擦系数,它的量纲为长度; FN —法向反力(一般由平衡条件确定)。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成,支撑和荷 载情况如图所示,已知P = 20kN,q=5kN⋅m,α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
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x
xC
x
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平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
平面一般力系的平衡
m m F
A B
0 0 0
x
m m m
A B
0 0 0
C
三、平面平行力系平衡方程 1、基本形式
2、二力矩式
Fy 0 Mo( F ) 0
m m
A B
0 0
解题技巧: (1)选择某坐标轴与一个或两个未知力相垂直,使一个投 影方程式出现一个未知数。 (2)将力矩方程的矩心选在未知力的作用线上 或两个 (或两个以上) 未知力的交点上,使一个力矩方程式出现一个未知数。 平衡方程使用说明: (1)对一个平衡的平面一般力系,只能建立三个独 立的平衡方程,因此,只能求解三个未知数。其它的平衡方程不再是独立的。 (2)求解平面一般力系的平衡问题时,应力求在一个方程中只包含一个未 知数。 (3)在计算中,通常用其他形式的平衡方程进行校核。
m
A
例 5:悬臂刚架在 BC 段受到集度 q = 4KN/m 及集中力 F=5KN 的作用,求 固定端支座 A 处的反力。
解:1、取脱离体,画受力图 2、列平衡方程求未知力
F
x
0
0
FAx 5 0
FAx 5KN
m
F
A
5 6 4 3 1 .5 m A 0 m A 30 18 48 KNm
F
y
0 0
FAy F 4q FB 0
(1)
m
A
1 F 4q 2 m 4 FB 0 (2)
由(2)式得 FB
1 F 4q 2 m 40 4 20 2 20 45 KN 4 4
将 FB 代入(1)式得
FAy F 4q FB 40 4 20 45 75 KN
平面一般力系的二力矩式平衡方程
平面一般力系的二力矩式平衡方程平面一般力系的二力矩式平衡方程引言在物理学和工程学中,力学的平衡是一个重要的概念。
力学的平衡可以分为平面力系的平衡和空间力系的平衡。
在本文中,我们将讨论平面力系的平衡,并重点关注二力矩式平衡方程。
平面力系的定义和特点平面力系是指作用在一个平面内的一组力。
平面力系具有以下特点:1. 所有的力和力矩都在一个平面内;2. 力系中的力可以同时作用在一个物体的不同点上;3. 力系中的力可能会产生力矩。
力矩的概念力矩是指力对旋转物体造成的影响。
它由两个因素确定:力的大小和作用点与旋转轴的距离。
力矩的大小可以通过以下公式计算:M = Fd其中,M表示力矩,F表示力的大小,d表示力的作用点与旋转轴之间的距离。
力矩的方向可以通过以下规则确定:1. 如果力的作用点在旋转轴上,力矩的大小为零;2. 如果力由旋转轴向外作用,力矩的方向为顺时针方向;3. 如果力由旋转轴向内作用,力矩的方向为逆时针方向。
二力矩式平衡方程的推导在平面力系中,如果力系处于平衡状态,那么力系的合力和合力矩都必须为零。
根据牛顿第一定律,合力为零意味着物体的加速度为零;根据牛顿第二定律,合力矩为零意味着物体的角加速度为零。
设平面力系中共有n个力,分别记为F1, F2, ..., Fn。
考虑到每个力都可以产生力矩,那么每个力产生的力矩之和为:M1 + M2 + ... + Mn = 0力矩的正负号要根据力矩的方向来确定,根据上述力矩的规则,如果力矩是顺时针方向的,那么取正号;如果力矩是逆时针方向的,那么取负号。
根据力矩的计算公式,将每个力的力矩带入上述方程,得到二力矩式平衡方程:F1d1 + F2d2 + ... + Fndn = 0这就是平面力系的二力矩式平衡方程。
应用实例下面通过一个实例来说明如何应用二力矩式平衡方程。
假设有一个悬臂梁,上面有一个重物挂着。
悬臂梁的长度为L,重物的质量为m,重物与悬臂梁的连接处距离悬臂梁固定点的距离为d。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时,物体既不能移动,也不能 转动,物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时,可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核: 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座,另一端无
约束,这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后,可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m,集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
建筑力学主要公式
W
=
z
bh2 6
max=23
FQmax A
对于工字型钢
正应力强度条件
剪应力强度条件
max
M max Wz
Wz查 型 钢 表
m
=
ax
F Q m ax Iz d
Sz
Iz 、 d查 型 钢 表 Sz
五、压杆稳定
1、临界力计算公式
Fcr
2E I ( l )2
1 abl 4
3、静定结构由于支座移动而产生的位移计算公式
Kc Rici
仅用于静定结构
KC由 支 座 移 动 引 起 的 结 构 在 K点 沿 某 方 向 的 位 移 ; Ci 支 座 位 移 ; Ri 虚 设 单 位 荷 载 所 引 起 的 相 应 支 座 位 移 处 的 支 座 反 力 。 当 Ri与 Ci同 向 时 , 乘 积 为 正 , 反 之 为 负 。
4 对于矩形截面:i b
12
结构力学
1、图乘公式
KP=
AyC EI
A--MP图的面积;
yC--MP图的形心所对应的M图的纵坐标。
M P 图 : 实 际 状 态 下 结 构 由 荷 载 产 生 的 弯 矩 图 ;
M 图 : 虚 设 状 态 下 由 单 位 力 产 生 的 弯 矩 图 。
2、内力图形的面积和形心的位置:
静力学
1、平面汇交力系的平衡方程
F x= 0 F y= 0
2、平面力偶系的平衡方程
m 0
3、平面一般力系
基本形式
Fx=0 Fy=0 M O (F )= 0
工程力学测试题(附答案)1
1、如图1所示,已知重力G ,DC=CE=AC=CB=2l ;定滑轮半径为R ,动滑轮半径为r ,且R=2r=l, θ=45° 。
试求:A ,E 支座的约束力及BD 杆所受的力。
1、解:选取整体研究对象,受力分析如图所示,列平衡方程()045sin ,0045 cos ,002522,0=-+==+==⨯+⨯⨯=∑∑∑G F F FF F F lG l F F M Ey A yEx A xA E解得:81345 sin ,825GF G F G F A Ey A =-=-=选取DEC 研究对象,受力分析如图所示,列平衡方程()02245 cos ,0=⨯-⨯+⨯=∑l F l F l FF M Ey K DBC解得:823,85,2GF G F G F DB Ex K ===2、图2示结构中,已知P=50KN ,斜杆AC 的横截面积A1=50mm2,斜杆BC 的横截面积A2=50mm2, AC 杆容许压应力[σ]=100MPa ,BC 杆容许应力[σ]=160MPa 试校核AC 、BC 杆的强度。
解:对C 点受力分析:所以,kN F N 8.441=; kN F N 6.362= 对于AC 杆:[]MPa A F N 100892111=≥==σσ, 所以强度不够; 30cos 45cos 21⋅=⋅N N F F P F F N N =⋅+⋅30sin 45sin 21对于BC 杆:[]MPa A F N 160732222=≥==σσ, 所以强度不够。
3、图3传动轴上有三个齿轮,齿轮2为主动轮,齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为KW 756.0和KW 98.2。
若轴的转速为min /5.183r ,材料为45钢,[]MPa 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
3、解:(1) 计算力偶距 m N nP m .3.39954911== m N nP m .155954933== m N m m m .3.194312=+=(2) 根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出,齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
九平面一般力系平衡方程的其他形式
九平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系的平衡方程是描述物体在平面上受力平衡的基本方程,也称为平面力的三元方程。
这个方程可以通过向量和标量形式来表示。
除了常见的三元方程表示外,还可以通过力矩和分力来表示。
首先,我们来回顾一下平面一般力系平衡方程的基本形式。
设物体在平面上受到多个力的作用,这些力可以分解为水平方向的分力和竖直方向的分力。
根据受力平衡的条件,水平方向的分力之和为零,竖直方向的分力之和也为零。
设水平方向的分力之和为Rx,竖直方向的分力之和为Ry,那么平面一般力系的平衡方程可以表示为:Rx=0Ry=0接下来,我们将讨论平面一般力系平衡方程的其他形式。
1.力矩方程:根据力矩的定义,力矩是力相对其中一点的偏转能力。
对于平面一般力系,可以选择任意一点O作为力矩参考点。
设力F作用在距离O点的位置向量r上,则力F的力矩的大小为,F,·,r,·sinθ,其中θ是力F相对r的夹角。
如果物体在该点处受力平衡,那么所有力的力矩之和必须为零。
∑M=0这个力矩方程除了描述力的力矩平衡之外,还可以用来求解力对物体的支点的约束力。
2.点力平衡方程:对于平面一般力系中的点力,可以用点力平衡方程表示。
设点力F的作用点为P(x,y),则在x轴和y轴方向上的分力之和必须分别为零。
∑Fx=0∑Fy=0这个点力平衡方程可以用来求解力对物体的支点的约束力,以及物体上各个点的受力情况。
3.合力和合力矩均为零的方程:如果平面一般力系是平衡的,那么不仅受力的合力为零,而且受力的合力矩也必须为零。
合力矩为零的条件可以表达为:∑Mx=0∑My=0其中,∑Mx表示力相对于y轴的力矩之和,∑My表示力相对于x轴的力矩之和。
这个方程可以描述物体受力平衡时的旋转平衡。
总结起来,平面一般力系平衡方程的其他形式包括力矩方程、点力平衡方程和合力和合力矩为零的方程。
这些形式可以根据具体情况灵活应用,解决力学问题。
九平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式;1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴,如图4-13所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000B A M M X 4-6 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直;证明:首先将平面一般力系向A 点简化,一般可得到过A 点的一个力和一个力偶;若0A =M 成立,则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态;如果0B =∑M 又成立,说明R 必通过B;可见合力R 的作用线必为AB 连线;又因0=∑X 成立,则0X =∑=X R ,即合力R 在X 轴上的投影为零,因AB 连线不垂直X 轴,合力R 亦不垂直于X 轴,由0X =R 可推得0=R ;可见满足方程4-6的平面一般力系,若将其向A 点简化,其主矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系;2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C,如图4-14所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000C B A M M M 4-7式中,A 、B 、C 三点不在同一直线上;同上面讨论一样,若0A =∑M 和0B =∑M 成立,则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力图4-14或者平衡;如果0C =∑M 也成立,则合力必然通过C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除非合力为零,0C =∑M 才能成立;因此,力系必然是平衡力系;综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式4-5、式4-6、式4-7,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式;无论采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数;任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果;例4-7 某屋架如图4-15a 所示,设左屋架及盖瓦共重kN 31=P ,右屋架受到风力及荷载作用,其合力kN 72=P ,2P 与BC 夹角为︒80,试求A 、B 支座的反力;解 取整个屋架为研究对象,画其受力图,并选取坐标轴X 轴和Y 轴,如图4-15b 所示,列出三个平衡方程kN39.2342.0770cos 070cos 02A 2A =⨯=︒==︒-=∑P X P X X30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =︒⨯⨯︒+⨯︒-⨯-⨯=∑P P P Y MkN34.516577.0342.07494.0712341630tan 70cos 470sin 124221B =⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯=︒⨯︒-︒+=P P P Y 030tan 470cos 470sin 12 16 0221A B =︒⨯⨯︒+⨯︒++-=∑P P P Y MkN24.41630tan 70cos 470sin 412221A =︒⨯︒+︒+=P P P Y校核94.07334.524.470sin 21B A =⨯--+=︒--+=∑P P Y Y Y 说明计算无误;例4-8 梁AC 用三根支座链杆连接,受一力kN 50=P 作用,如图4-16a 所示;不计梁及链杆的自重,试求每根支座链杆的反力;解 取AC 梁为研究对象,画其受力图,如图4-16b 所示;列平衡方程时,为避免解联立方程组,最好所列的方程中只有一个未知力,因此,取A R 和B R 的交点O 1为矩心列平衡方程kN 2.376866.05045.0502660sin 460cos 2 0460sin 260cos 6 0C C O 1=⨯⨯+⨯⨯=︒+︒==⨯︒-⨯︒-⨯=∑P P R P P R M取B R 与C R 的交点O 2为矩心列平衡方程260sin 460cos 45cos 60A O 2=⨯︒-⨯︒+︒⨯-=∑P P R M kN99.216707.0)866.05025.0504(6)60sin 260cos 4(A =⨯⨯⨯+⨯⨯=︒+︒=P P R 取 060cos 45cos 45cos 0B A =︒-︒-︒=∑P R R XkN 37.13707.05.050707.099.2145cos 60cos 45cos A B -=⨯-⨯=︒︒-︒=P R R校核866.0502.37707.037.13707.099.2160sin 45sin 45sin C A =⨯-+⨯-⨯=︒-+︒+︒=∑P R R R Y B说明计算无误;3.平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况;除前面讲的平面汇交力系,平面力偶系外,还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况,它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到,现讨论如下;1平面汇交力系对于平面汇交力系,可取力系的汇交点作为坐标的原点,图4-17a 所示,因各力的作用线均通过坐标原点O,各力对O 点的矩必为零,即恒有0O =∑M ;因此,只剩下两个投影方程0 0=∑=∑Y X即为平面汇交力系的平衡方程;2平面力偶系平面力偶系如图4-17b 所示,因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零,则恒有0=∑X 和0=∑Y ,只剩下第三个力矩方程,但因为力偶对某点的矩等于力偶矩,则力矩方程可改写为0O =∑m即平面力偶系的平衡方程;3平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系,如图4-17C所示,选OY 轴与力系中的各力平行,则各力在X 轴上的投影恒为零,则平衡方程只剩下两个独立的方程⎭⎬⎫=∑=∑00O M Y 4-8若采用二力矩式4-6,可得⎭⎬⎫=∑=∑00B A M M 4-9式中A 、B 两点的连线不与各力作用线平行;平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量;例4-9 图4-18所示为塔式起重机;已知轨距m 4=b ,机身重kN 260=G ,其作用线到右轨的距离m 5.1=e ,起重机平衡重kN 80=Q ,其作用线到左轨的距离m 6=a ,荷载P 的作用线到右轨的距离m 12=l ,1试证明空载时0=P 时起重机时否会向左倾倒2求出起重机不向右倾倒的最大荷载P ; 解 以起重机为研究对象,作用于起重机上的力有主动力G 、P 、Q 及约束力A N 和B N ,它们组成一个平行力系图4-18;(1)使起重机不向左倒的条件是0B ≥N ,当空载时,取0=P ,列平衡方程0)( 0B A =+-⋅+⋅=∑b e G b N a Q M[][]0kN 5.237680)45.1(26041)(1B >=⨯-+=⋅-+=a Qb e G b N 所以起重机不会向左倾倒(2) 使起重机不向右倾倒的条件是0A ≥N ,列平衡方程[]l P e G b a Q bN l P e G b N b a Q M ⋅-⋅-+==⋅-⋅-⋅-+=∑)(10)( 0A A B欲使0A ≥N ,则需0)(≥⋅-⋅-+l P e G b a Q[][]kN17.345.1260)46(80121)(1=⨯-+=⋅-+≤e G b a Q l P 当荷载kN 17.34≤P 时,起重机是稳定的;二、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题;但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统;这种系统称为物体系统;例如,图示4-19a 所示的组合梁,就是由梁AC 和梁CD 通过铰C 连接,并支承在A 、B 、D 支座而组成的一个物体系统;在一个物体系统中,一个物体的受力与其他物体是紧密相关的;整体受力又与局部紧密相关的;物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态;在研究物体系统的平衡问题时,不仅要知道外界物体对这个系统的作用力,同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力;通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力,系统内各物体之间的相互作用力称为内力;例如图4-19b 的组合梁的受力图,荷载及A 、B 、D 支座的反力就是外力,而在铰C 处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力;应当注意,外力和内力是相对的概念,是对一定的考察对象而言的,例如图4-19组合梁在铰C 处两段梁的相互作用力,对组合梁的整体来说,就是内力,而对左段梁或右段梁来说,就成为外力了;当物体系统平衡时,组成该系统的每个物体都处于平衡状态,因而,对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程;如果该物体系统有n 个物体,而每个物体又都在平面一般力系作用下,则就有n 3个独立的平衡方程,可以求出n 3个未知量;但是,如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用,则独立的平衡方程将相应减少,而所能求的未知量数目也相应减少;当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目,则未知量可由平衡方程全部求出,这样的问题称为静定问题;当未知量的数目超过了独立平衡方程数目,则未知量由平衡方程就不能全部求出,这样的问题,则称为超静定问题,在静力学中,我们不考虑超静定问题;在解答物体系统的平衡问题时,可以选取整个物体系统作为研究对象,也可以选取物体系统中某部分物体一个物体或几个物体组合作为研究对象,以建立平衡方程;由于物体系统的未知量较多,应尽量避免从总体的联立方程组中解出,通常可选取整个系统为研究对象,看能否从中解出一或两个未知量,然后再分析每个物体的受力情况,判断选取哪个物体为研究对象,使之建立的平衡方程中包含的未知量少,以简化计算;下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法; 例4-10 组合梁受荷载如图4-20a 所示;已知kN,161=P kN 202=P ,m kN 8⋅=m ,梁自重不计,求支座A 、C 的反力;解 组合梁由两段梁AB 和BC 组成,作用于每一个物体的力系都是平面一般力系,共有6个独立的平衡方程;而约束力的未知数也是6A 处有三个,B 处有两个,C 处有1个;首先取整个梁为研究对象,受力图如图4-20b 所示;kN1060cos 060cos 02A 2A =︒==︒-=∑P X P X X其余三个未知数A Y 、A m 和C R ,无论怎样选取投影轴和矩心,都无法求出其中任何一个,因此,必须将AB 梁和BC 梁分开考虑,现取BC 梁为研究对象,受力图如图4-20c 所示;kN1060cos 060cos 02B 2B =︒==︒-=∑P X P X XkN66.8260sin 0160sin 2 02C 2B =︒==⨯︒-=∑P R P R M C kN66.860sin 060sin 02C B 2B C =︒+-==︒-+=∑P R Y P Y R Y再回到受图4-20bkN98.655260sin 4 0260sin 45 0C 12A A 12C A =+-+︒==+-⨯-︒-=∑m R P P m m m P P R MkN66.2460sin 060sin 0C 21A 21C A =-︒+==︒--+=∑R P P Y P P R Y Y校核:对整个组合梁,列出866.82866.020111666.24398.65260sin 113-C 21A A B =-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-=-+︒⨯-⨯+=∑mR P P Y m M 可见计算无误;例4-11 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图4-21a 所示,已知kN/m 16=q ,kN 24=P ,求支座A 、B 和铰C 的约束反力;解 三铰刚架由左右两半刚架组成,受到平面一般力系的作用,可以列出六个独立的平衡方程;分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力,画出受力图,如图b 、c 、d 所示,可见,系统的未知量总计为六个,可用六个平衡方程求解出六个未知量;1取整个三铰刚架为研究对象,受力图如图4-21b 所示 ()kN471048161161048 0B B A =⨯+⨯⨯==⨯+⨯-⨯⨯-=∑P q Y Y P q M()kN1056128161166128 0A A B =⨯+⨯⨯==⨯-⨯+⨯⨯=∑P q Y Y P q M(a)0B A B A X X X X X ==-=∑2取左半刚架为研究对象,受力图如图4-21c 所示()kN41488818488 0A A A C =⨯⨯-==⨯-⨯⨯+⨯=∑q Y X Y q X M A kN 238 08 0A C C A =-⨯==⨯-+=∑Y q Y q Y Y YkN41 0X 0A C C A ===-=∑X X X X将A X 值代入a,可得kN 41A B ==X X校核:考虑右半刚架的平衡,受力图如图4-21d 所示04141B C =-=-'=∑X X X841847224882B B C =⨯-⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯-=∑X Y P M 0242347-C B =--=-'=∑P Y Y Y可见计算无误;4-12 图4-22a 所示,在支架上悬挂着重kN 4=P 的重物,B 、E 、D 为铰接,A 为固定端支座,滑轮直径为300mm,轴承C 是光滑的,其余尺寸如图示;各杆和滑轮、绳子重量不计,求A 、B 、C 、D 、E 各处的反力;解:本结构中,DE 为二力杆,因此D 、E 处铰链反力有1个未知量;A 为固定端支座有3个未知的约束反力;B 、C 处铰链反力各有2个未知量;滑轮两边的绳子拉力各有1个未知量;共10个未知量;考虑到AB 、BC 和滑轮三个构件处于平衡,其可写9个平衡方程;再加上重物在二力作用下处于平衡,可有1个平衡方程;平衡方程的数目恰好等于未知量的数目;取整个结构为研究对象,图4-22b 列平衡方程0 0==∑A X XkN4 0 0===-=∑P Y P Y Y A AkN6.815.24 015.2 0A A A =⨯==⨯-=∑m P m M考虑重物的平衡图4-22e 根据二力平衡公理知kN 41==P T考虑滑轮的平衡图4-22d,列平衡方程kN4 015.015.0 01212C ===⨯-⨯=∑T T T T M可见,在不计轴承摩擦的情况下,滑轮处于平衡时,其两边绳子的拉力相等;kN 83.245cos 045cos 02C 2C =︒==︒-=∑T X T X XkN83.645sin 045sin 021C 21C =︒+==︒--=∑T T Y T T Y Y再考虑BC 杆的平衡图4-22c,列平衡方程kN32.1945cos 2 0145cos 2 0CC B =︒==⨯︒⋅+⨯-=∑Y S S Y MkN 83.1045sin 045sin 0C B B -=︒-==-︒+=∑S X X X S X X CkN83.645cos 045cos 0C B B =-︒==-︒+-=∑Y S Y Y S Y Y C校核:取BC 杆平衡图4-22c,由于0707.032.19183.6245sin 12B C =⨯⨯-⨯=︒⋅-=∑S Y M可见计算无误;。
5-2 平面一般力系的平衡
FL
11
答案:
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2,例5-3,例5-5 。
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梁的自重不计
求:A、B支座反力。 解:取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN ( )
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得:
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得,起重机满载和空载均不致
翻倒时,平衡重的重量G3所应满足的条件为:
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求:当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解:取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零,物体将不会移动也不会转动,则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件:力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零,即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式:11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明,平面一般力系的平衡条件也可叙述为:力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零,以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系:平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零,即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程:00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁,BC为钢索,A 处为固定铰支座,B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF (因为两滑轮之间的距离很小,PF 可视为集中力作用在大梁上)梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求:1、电动机处于任意位置时,钢索BC所受的力和支座A处的约束力;2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大,并确定其数值。
解:1、选择研究对象以大梁为研究对象,对其作受力分析,并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大, 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下,力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上,这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力;坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直,从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零,这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。
1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A、B及X轴,如图4 —13所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即X0M A 0 (4 —6)M B 0式中X轴不与A B两点的连线垂直。
证明:首先将平面一般力系向A点简化,一般可得到过A点的一个力和一个力偶。
若M A 0成立,则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡状态。
如果M B 0又成立,说明R必通过B。
可见合力R的作用线必为AB连线。
又因X 0成立,则R x X 0,即合力R在X轴上的投影为零,因AB连线不垂直X轴,合力R亦不垂直于X轴,由R X 0可推得R 0。
可见满足方程(4 - 6)的平面一般力系,若将其向A点简化,其主矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系。
2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即M A 0M B 0M C 0式中,A B、C三点不在同一直线上。
A B C,如图4—14所4—7)同上面讨论一样,若M A 0和M B 0成立,则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力(图 4 —14)或者平衡。
如果M C 0也成立,则合力必然通过C点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除非合力为零,M e 0才能成立。
因此,力系必然是平衡力系。
综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式(4 - 5)、式(4 —6)、式(4—7),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。
无论采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数。
任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果。
【例4 —7】某屋架如图 4 —15 (a)所示,设左屋架及盖瓦共重P 3kN,右屋架受到风力及荷载作用,其合力P2 7kN , P2与BC夹角为80,试求A、B支座的反力。
平面力系的平衡方程
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解:取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得: FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知: P kN, P2 200kN, 尺寸如图; 1 700 求:(1)起重机满载和空载时不翻倒,平衡载重P3;
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小,轴承O处 的约束力,连杆AB受力,冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得: FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点,不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图:
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox
力系的平衡
•画支座反力NA与NB。令NA=50 kN。列平衡方程:
ΣmB (F) = 0
G×0.5+W ×8− NA ×4 − P×10 = 0
P=200 kN
•如为空载,仍应处 于平衡状态,故
ΣmA(F) = 0, NB ×4 +W ×4 −G×3.5 = 0
符合题意要求。
例3-7 图示为可沿铁路行驶的 起重机,本身自重G=250 kN, 其重心在 E 点。最大载荷P=200 kN,在 C 点起吊。为防止机身 向右翻倒,在左端D有一平衡重 W,W的重心距支点A的水平距 离为 x。W 与 x 必须计划适当, 使得既能在C点满载时防止机身 向右翻倒,又能在空载时机身 不致向左翻倒。为保证安全, 必须使任一侧轮( A 或 B)的向 上反力,不得小于50 kN。设 b=1.5 m,e=0.5 m,l=3 m,求 W与x的适当值。
例3-4 一容器如图示,连同盛装物共重W=10 kN, 作用在容器上的风荷载q=1 kN/m,在容器的受力 平面内有三根杆件支承。求各杆所受的力。 解:
杆件AD、AC和BC都 是二力杆,其约束反 力SAD、SAC和SBC沿各 杆的中心线,因指向 未定,故暂都假设各 杆受拉力 研究容器受力图如图
ΣmA(F) = 0
解: 列力矩方程,矩心应 选在两个未知力的交 点,如图中 A 点或 B 点。 在单个物体上遇有分 布载荷时,可先将分 布 载 荷 简 化 为 合 力 Q=Σq 来 计 算 , 本 题 Q=q×4=40 kN,作用线在AB的中点。
投影方程中,不用考虑任何力偶的投影; 在力矩方程中,不问矩心何在,只要将所 有力偶矩的代数值统统列入即可 。
第三章 力系的平衡
第一节 平面力系的平衡 第二节 静定问题与超静定问题 第三节 物系平衡问题的应用 第四节 空间力系的平衡
工程力学小题
2、力的三要素是力的(大小)、(方向) 、(作用点)。
用符号表示力的单位是(N)或(KN)。
3、力偶的三要素是力偶矩的(大小)、(转向)和(作用面的方位)。
用符号表示力偶矩的单位为(N·m)或(KN·m)。
4、常见的约束类型有(柔性)约束、(光滑接触面)约束、(光滑铰链 )约束和固定端约束.5、低碳钢拉伸时的大致可分为(线弹性阶段)、(屈服阶段)、( 强化阶段)和(颈缩)阶段。
6、在工程设计中工程构建不仅要满足强度要求,(刚度)要求和稳定性要求,还要符合经济方面的要求。
7、圆轴扭转的变形特点是:杆件的各横截面绕杆轴线发生相对(转动),杆轴线始终保持( 直线).8、平面弯曲变形的变形特点是杆的轴线被弯成一条(曲线).9、静定梁可分为三种类型,即(简支梁)、( 外伸梁 )和(悬臂梁)。
10、( 刚体)是指由无数个点组成的不变形系统。
11、由构件内一点处切取的单元体中,切应力为零的面称为( 主平面 )。
12、平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中所有的力在(任选两个坐档轴上)投影的代数均为(零 )。
13、在工程中受拉伸的杆件,其共同的特点是:作用于杆件上的外力或外力的合力的作用线与构件轴线(重合),杆件发生( 沿轴线)方向,伸长或压缩.14、空间汇交力系的合力在任意一个坐标轴上的投影,等于(各分力)在同一轴上投影的(代数和),此称为空间力系的( 合力投影定理)。
15、力矩的大小等于(力)和(力臂)的乘积.通常规定力使物体绕矩心(逆时针转动)时力矩为正,反之为负。
16、大小(相等),方向(相反),作用线(相互平行)的两个力组成的力系,称为力偶。
力偶中二力之间的距离称为(力偶臂),力偶所在的平面称为(力偶的作用面)。
17、圆轴扭转时,横截面上任意点处的切应力沿横截面的半径呈(线性)分布。
18、构件的强度是指( 构件抵抗破坏)的能力;构件的刚度是指( 构件抵抗变形)的能力;构件的稳定性是指(构件保持其原有几何平衡状态)的能力。
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第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。
1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴,如图4-13所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000B A M M X (4-6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。
证明:首先将平面一般力系向A 点简化,一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。
若0A =M 成立,则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。
如果0B =∑M 又成立,说明R 必通过B 。
可见合力R 的作用线必为AB 连线。
又因0=∑X 成立,则0X =∑=X R ,即合力R 在X 轴上的投影为零,因AB 连线不垂直X 轴,合力R 亦不垂直于X 轴,由0X =R 可推得0=R 。
可见满足方程(4-6)的平面一般力系,若将其向A 点简化,其主矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系。
2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ,如图4-14所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000C B A M M M (4-7)式中,A 、B 、C 三点不在同一直线上。
同上面讨论一样,若0A =∑M 和0B =∑M 成立,则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力(图4-14)或者平衡。
如果0C =∑M 也成立,则合力必然通过C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除非合力为零,0C =∑M 才能成立。
因此,力系必然是平衡力系。
综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式(4-5)、式(4-6)、式(4-7),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。
无论采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数。
任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果。
【例4-7】 某屋架如图4-15(a )所示,设左屋架及盖瓦共重kN 31=P ,右屋架受到风力及荷载作用,其合力kN 72=P ,2P 与BC 夹角为︒80,试求A 、B 支座的反力。
【解】 取整个屋架为研究对象,画其受力图,并选取坐标轴X 轴和Y 轴,如图4-15(b )所示,列出三个平衡方程kN39.2342.0770cos 070cos 02A 2A =⨯=︒==︒-=∑P X P X X30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =︒⨯⨯︒+⨯︒-⨯-⨯=∑P P P Y MkN 34.516577.342.07494.0712341630tan70cos470sin124221B=⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯=︒⨯︒-︒+=PPPY30tan470cos470sin1216221AB=︒⨯⨯︒+⨯︒++-=∑PPPYMkN24.41630tan70cos470sin412221A=︒⨯︒+︒+=PPPY校核94.07334.524.470sin21BA=⨯--+=︒--+=∑PPYYY说明计算无误。
【例4-8】梁AC用三根支座链杆连接,受一力kN50=P作用,如图【解】取AC梁为研究对象,画其受力图,如图4-16(b)所示。
列平衡方程时,为避免解联立方程组,最好所列的方程中只有一个未知力,因此,取AR和BR的交点O1为矩心列平衡方程kN 2.376866.05045.0502660sin 460cos 2 0460sin 260cos 6 0C C O 1=⨯⨯+⨯⨯=︒+︒==⨯︒-⨯︒-⨯=∑P P R P P R M取B R 与C R 的交点O 2为矩心列平衡方程260sin 460cos 45cos 60A O 2=⨯︒-⨯︒+︒⨯-=∑P P R M kN99.216707.0)866.05025.0504(6)60sin 260cos 4(A =⨯⨯⨯+⨯⨯=︒+︒=P P R 取 060cos 45cos 45cos 0B A =︒-︒-︒=∑P R R XkN 37.13707.05.050707.099.2145cos 60cos 45cos A B -=⨯-⨯=︒︒-︒=P R R校核866.0502.37707.037.13707.099.2160sin 45sin 45sin C A =⨯-+⨯-⨯=︒-+︒+︒=∑P R R R Y B说明计算无误。
3.平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况。
除前面讲的平面汇交力系,平面力偶系外,还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况,它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到,现讨论如下。
(1)平面汇交力系对于平面汇交力系,可取力系的汇交点作为坐标的原点,图4-17(a)所示,因各力的作用线均通过坐标原点O ,各力对O 点的矩必为零,即恒有0O =∑M 。
因此,只剩下两个投影方程0 0=∑=∑Y X即为平面汇交力系的平衡方程。
(2)平面力偶系平面力偶系如图4-17(b)所示,因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零,则恒有0=∑X 和0=∑Y ,只剩下第三个力矩方程,但因为力偶对某点的矩等于力偶矩,则力矩方程可改写为0O =∑m即平面力偶系的平衡方程。
(3)平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系,如图4-17(C)所示,选OY 轴与力系中的各力平行,则各力在X 轴上的投影恒为零,则平衡方程只剩下两个独立的方程⎭⎬⎫=∑=∑00O M Y (4-8)若采用二力矩式(4-6),可得⎭⎬⎫=∑=∑00B A M M (4-9)式中A 、B 两点的连线不与各力作用线平行。
平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量。
【例4-9】 图4-18所示为塔式起重机。
已知轨距m 4=b ,机身重kN 260=G ,其作用线到右轨的距离m 5.1=e ,起重机平衡重kN 80=Q ,其作用线到左轨的距离m 6=a ,荷载P 的作用线到右轨的距离m 12=l ,(1)试证明空载时(0=P 时)起重机时否会向左倾倒(2)求出起重机不向右倾倒的最大荷载P 。
【解】 以起重机为研究对象,作用于起重机上的力有主动力G 、P 、Q 及约束力A N 和B N ,它们组成一个平行力系(图4-18)。
(1)使起重机不向左倒的条件是0B ≥N ,当空载时,取0=P ,列平衡方程0)( 0B A =+-⋅+⋅=∑b e G b N a Q M[][]0kN 5.237680)45.1(26041)(1B >=⨯-+=⋅-+=a Qb e G b N 所以起重机不会向左倾倒(2) 使起重机不向右倾倒的条件是0A ≥N ,列平衡方程[]l P e G b a Q bN l P e G b N b a Q M ⋅-⋅-+==⋅-⋅-⋅-+=∑)(10)( 0A A B欲使0A ≥N ,则需0)(≥⋅-⋅-+l P e G b a Q[][]kN17.345.1260)46(80121)(1=⨯-+=⋅-+≤e G b a Q l P 当荷载kN 17.34≤P 时,起重机是稳定的。
二、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。
但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统。
这种系统称为物体系统。
例如,图示4-19(a )所示的组合梁,就是由梁AC 和梁CD 通过铰C 连接,并支承在A 、B 、D 支座而组成的一个物体系统。
在一个物体系统中,一个物体的受力与其他物体是紧密相关的;整体受力又与局部紧密相关的。
物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。
在研究物体系统的平衡问题时,不仅要知道外界物体对这个系统的作用力,同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。
通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力,系统内各物体之间的相互作用力称为内力。
例如图4-19(b )的组合梁的受力图,荷载及A 、B 、D 支座的反力就是外力,而在铰C 处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力。
应当注意,外力和内力是相对的概念,是对一定的考察对象而言的,例如图4-19组合梁在铰C 处两段梁的相互作用力,对组合梁的整体来说,就是内力,而对左段梁或右段梁来说,就成为外力了。
当物体系统平衡时,组成该系统的每个物体都处于平衡状态,因而,对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。
如果该物体系统有n 个物体,而每个物体又都在平面一般力系作用下,则就有n 3个独立的平衡方程,可以求出n 3个未知量。
但是,如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用,则独立的平衡方程将相应减少,而所能求的未知量数目也相应减少。
当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目,则未知量可由平衡方程全部求出,这样的问题称为静定问题。
当未知量的数目超过了独立平衡方程数目,则未知量由平衡方程就不能全部求出,这样的问题,则称为超静定问题,在静力学中,我们不考虑超静定问题。
在解答物体系统的平衡问题时,可以选取整个物体系统作为研究对象,也可以选取物体系统中某部分物体(一个物体或几个物体组合)作为研究对象,以建立平衡方程。
由于物体系统的未知量较多,应尽量避免从总体的联立方程组中解出,通常可选取整个系统为研究对象,看能否从中解出一或两个未知量,然后再分析每个物体的受力情况,判断选取哪个物体为研究对象,使之建立的平衡方程中包含的未知量少,以简化计算。
下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。
【例4-10】 组合梁受荷载如图4-20(a)所示。
已知kN,161=P kN 202=P ,m kN 8⋅=m ,梁自重不计,求支座A 、C 的反力。
【解】 组合梁由两段梁AB 和BC 组成,作用于每一个物体的力系都是平面一般力系,共有6个独立的平衡方程;而约束力的未知数也是6(A 处有三个,B 处有两个,C 处有1个)。
首先取整个梁为研究对象,受力图如图4-20(b )所示。
kN1060cos 060cos 02A 2A =︒==︒-=∑P X P X X其余三个未知数A Y 、A m 和C R ,无论怎样选取投影轴和矩心,都无法求出其中任何一个,因此,必须将AB 梁和BC 梁分开考虑,现取BC 梁为研究对象,受力图如图4-20(c )所示。
kN1060cos 060cos 02B 2B =︒==︒-=∑P X P X XkN66.8260sin 0160sin 2 02C 2B =︒==⨯︒-=∑P R P R M C kN66.860sin 060sin 02C B 2B C =︒+-==︒-+=∑P R Y P Y R Y再回到受图4-20(b )kN98.655260sin 4 0260sin 45 0C 12A A 12C A =+-+︒==+-⨯-︒-=∑m R P P m m m P P R MkN66.2460sin 060sin 0C 21A 21C A =-︒+==︒--+=∑R P P Y P P R Y Y校核:对整个组合梁,列出866.82866.020111666.24398.65260sin 113-C 21A A B =-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-=-+︒⨯-⨯+=∑mR P P Y m M 可见计算无误。