数学建模讲座

数学建模讲座本本讲座主要目的:通过对一些简单的数学建模过程的分析,使队员了解数学建模的基本过程,掌握数学建模的基本知识和一些简单常用的数学基础知识.近期主要任务: 1 熟悉计算机2 学会查阅资料,积累相应的数学与数学建模知识.数值计算的基本方法一数值微分1差商代替微商利用差商代替微商的求导公式通常有向前差商公式()()()hx f h x f x f -+≈'向后差商公式 ()()()hh x f x f x f --≈' 中心差商公式()()()hh x f h x f x f 2--+≈'由泰勒公式很容易得到它们的余项分别为O （h ），O （h ），O （h 2），h 越小近似程度越高，但是又会因有效数字损失而导致误差增大。

2插值型数值微分公式 （1）两点公式 n=1，过两节点0x ，h x x +=01的拉格朗日插值多项式为11001011)(y x x x x y x x x x x L --+--=则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-='≈'-='≈'h y y x L x f h y y x L x f 0111101010截断误差为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧''='''-='11100122ξξf hx R f h x R ()b a ,,1∈ξξ（2）三点公式 n=2 ，i i iy x f ih xx =+=)(,02,1,0=i ，拉格朗日插值多项式为()x L 2=0y()()2212h x x x x --＋1y()()220h x x x x ---＋2y()()2102h x x x x -- 两端求导得()221012200221222222y hx x x y h x x x y h xx x x L --+-----='分别代入ix ，（i=0，1，2）得三点公式()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-≈'+-≈'-+-≈'210210121003421214321y y y h x f y y h x f y y y h x f截断误差为()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='-='='232221321203202363ξξξf h x R f h x R f h x R()b a i ,∈ξi=0，1，2求二阶导数的三点公式为：()()()2102221y y y h x L x f i i +-=''≈'' i=0，1，23 利用样条函数求数值微分由于三次样条函数具有很好的性质，因此用三次样条插值函数()x S 的导数近似函数的导数不仅可靠性好而且可计算非节点处导数的近似值。

即 ()()()()x S x f kk≈ k=1，2，3，… 其截断误差为 ()()()()()kkkh O x S x f -=-4如以二阶导数为参数的三次样条插值函数可得数值微分公式()≈'x f ()()()()112121622-------+-+--='i i ii i i ii iii i i M M h h y y h x x M h x x M x S()≈''x f ()()ii i i i i i h x x M h x x M x S x S 11---+--=''=''其中x ()ii x x ,1-∈ M i －1=()1-''i x s M i =()ix s ''i=1，2，…，n二 数值积分在积分区间[a,b]取一系列点kx (k=0,1,…,n)，设012...na x x x xb ≤<<<<≤用被积函数f(x)在这些点的函数值f(kx )的线性组合作为积分近似值0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰称为数值求积公式，其中n+1个点kx (k=0,1,…,n)成为节点，kA ( k=0,1,…,n)称为求积系数。

记=][f R 0()()nbk k ak f x dx A f x =-∑⎰称R[f]为求积公式(5.1)的截断误差。

构造数值求积公式的方法很多，常用的一个方法就是利用插值多项式()nP x 来构造求积公式 0()()()nbbn k k aak f x dx P x A f x =≈=∑⎰⎰ (5.2)称为插值型求积公式。

1 梯形公式[]()()()2b ab af x dx f a f b -≈+⎰ )(12)(][31ηf a b f R ''--=((,)a b η∈ 2 辛浦生公式()()4()()62b ab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰[]5(4)2()()2880b a R f f η-=-((,)a b η∈ 3复化梯形公式()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++≈∑⎰-1122N k k b ab f x f a f h dx x f复化梯形公式的截断误差为 ()[]()ηf h a b f R N''--=2112()()b a ,∈η 4复化辛浦生公式()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+≈∑∑⎰-+b f x f x f a f h dx x f N k k N k k b a112112246复化辛浦生公式的截断误差),()(2880][)4(4)(2b a f h a b f R N ∈--=ηη 6逐次分半求积法()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∑-1212224N k k Nb f h k x f a f h T()∑=⎪⎭⎫⎝⎛-++N k N h k a f h T 1212221其中N ab h -=。

()()N N N N N N T T T T T T I --+=-≈222214131＋5 龙贝格求积公式144)(63132322--=-+=N N N N NN C C C C C R144)(15122222--=-+=N N N N NN S S S S S C三 非线性方程求根1二 分 法 2 迭 代 法首先需要将此方程转化为等价的方程)(x g x = 将0)(=x f 转化为等价方程(2.1)的方法是很多的 定义：（迭代法）设方程为)(x g x =。

（1）选取方程根的一个初始近似0x ，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+ )()()(11201k k x g x x g x x g x这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。

)(x g 称为迭代函数。

（2）如果由迭代法产生的序列{}kx 有极限存在，即*∞→=x xkk lim ，则称{}kx 为收敛或称迭代过程收敛。

否则称{}kx 不收敛。

设)(x g 为连续函数，且*∞→=x x k k lim ，则有)(**=x g x，即*x 为方程的解（称*x 为函数)(x g 的不动点）。

事实上，由迭代过程两边取极限，则有 )(lim lim 1kk k k x g x x ∞→+∞→*==)()lim (*∞→==x g x g kk显然，在由方程0)(=x f 转化为等价的方程)(x g x =时，选择不同的迭代函数)(x g ，就会产生不同的序列{}kx （即使初始值0x 选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。

定理 设有方程)(x g x =（1） 设)(x g 于],[b a 一阶导数存在； （2） 当],[b a x ∈时，有],[)(b a x g ∈；（3） 当],[b a x ∈时，)(x g '满足条件：1)(<≤'L x g 。

则（1） )(x g x =在],[b a 上有唯一解*x ；（2） 对任意选取初始值],[0b a x ∈，迭代过程)(1k k x g x =+),1,0( =k 收敛，即*∞→=x xkk lim ；（3）kk k x x Lx x--≤-+*111；（4）误差估计11x x LL x x kk --≤-*),2,1( =k定理 （迭代法的局部收敛性）设给定方程)(x g x =（1）设*x 为方程的解；（2）设)(x g 在*x 的邻近连续可微且有1)(<'*x g则对任意取初值S x ∈0，迭代过程)(1kk x g x =+（ ,2,1,0=k ）收敛于*x （称迭代过程具有局部收敛性）。

3牛顿迭代法设有非线性方程0)(=x f其中，假设)(x f 在],[b a 上一阶连续可微，且 0)()(<⋅b f a f ；又设0x 是)(x f 的一个零点),(b a x ∈*的近似值（设0)(0≠'x f ）。

现考虑用过曲线)(x f y =上点 ))(,(0x f x P 的切线近似代替函数)(x f ，即用线性函数))(()(0x x x f x f y -'+=代替)(x f 。

且用切线的零点1x ，作为方程根*x 的近似值，即)()(0001x f x f x x x '-=≈*一般，若已求得kx ，将0x 换为kx ，重复上述过程，即得求方程0)(=x f 根的牛顿方法的计算公式⎪⎩⎪⎨⎧'-=+)()(10k k k k x f x f x x x),2,1,0( =k4弦 割 法如果函数)(x f 比较复杂，求导可能有困难，这时可将牛顿公式中)(x f '近似用差商来代替，即11)()()(----≈'k k k k x x x f x f x f于是得到计算公式： 给定初值1,x x ，)()()()(111--+---=k k k k k k k x x x f x f x f x x),2,1( =k四 解方程组的数值方法 1高斯消去法 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111化为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)2()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11n n n nn n n b b b x x x a a a a a a1 消元计算1,...,2,1-=n k )()(k kkk ikik a a m =，),...,1(n k i +=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=-=++),,1(,),,1,(,)()()1()()()1(n k i b m b b n k j i a m a a k k ik k i k ik kj ik k ij k ij2 回代计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==∑+=)(1)()()()(i ii n i j ji ij i i i n nnn n n a x a b x a b x ，)1,...,2,1(--=n n i2矩阵的三角分解LU A L L L A n n ==----)(111211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1111121323121n n n n l l l l l l LU=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)1(1)(n nn n n n n n a a a a a a A L A3解线性方程组的迭代法设有方程组b Ax =，其中A 为非奇异阵。