1.3简单的逻辑联结词(1)
高中数学选修1课件：1.3简单的逻辑联结词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻 辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结 词的命题称为简单命题.
复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
1.3.1 且(and)
思考?
正面
=>
是
都是
至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个 没有一个 某个 某些
例4 已知命题p,q,写出“P或q”,“P且q”,“非p”形
式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
例2 分别写出由命题“p:平行四边形的对角 线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平分” 构成的“P或q”,“P且q”,“非p”形式的命题。
例3 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)李强是篮球运动员或跳水运动员. (3)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
是假命题时, p q是假命题.
p
q
全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个
p q 新命题,记作
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命
1.3简单的逻辑联结词1
练习2.命题p : 方程x +mx+1=0有两个 不相等的负实数根；命题q : 方程 4x +4(m -2)x+1=0无实数根.若命题 p q为真命题，求实数m的取值范围.
2
2
课堂小结
1、掌握逻辑联结词“且”的含义; 2、正确应用逻辑联结词“且”解决问题; 3、掌握真值表并会应用真值表判断命题p∧q的 真假.
问题3：观察下列各组命题，命题p∧q的
真假与p、q的真假有什么联系？ 真 p:12能被3整除； q:12能被4整除； 真 p∧q:12能被3整除且能被4整除； 真
真 P:等腰三角形两腰相等； 假 q:等腰三角形三条中线相等； p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. 假
p:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.
假 假 假
我们规定:
1、当p,q都是真命题时, p q 是真命题;
2、当p,q两个命题中有一个命题是假命 题时, p q 是假命题.
p q
“一假则假”
串联电路
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他 们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数， q：35是7的倍数. 解:(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等. ∵ p是真命题， q是假命题，∴p∧q是假命题. (2)p∧q :菱形的对角线互相垂直且平分. ∵p、q都是真命题， ∴ p∧q是真命题. (3) p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数. ∵ p是假命题， q是真命题，∴ p∧q是假命题.
练习1：将下列命题用“且”联结成新命
题，并判断真假：
1.3简单的逻辑联结词1
真
（3）¬ p：空集不是集合A的子集. 假
命题p：若x是6的倍数，则x是2的倍数
非p：若x是6的倍数，则x不是2的倍数 否命题：若x是不6的倍数，则x不是2的倍数 命题的否定：只否定结论 否命题：同时否定条件和结论
例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题的真假
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命 题，并判断它们的真假： （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数.
（1）1是奇数且1是素数； 假命题
（2）2是素数且3是素数.
真命题
思 考
下列三个命题间有什么关系： （1）27是7的倍数； （2） 27是9的倍数； （3） 27是7的倍数或 27是9的倍数. 一般地，用连接词“或”把命题p和命题q连 接起来，就得到一个新命题，记作
C U A {x | x A 且 x U}
p
P
U
注： ( p ) p 命题“非p”的真假： 若p是真命题,则 p必是假命题; 若p是假命题,则 p 必是真命题.
p
p 真
假
假 真
p与¬ p必是 一真一假
逻辑联结词：或、且、非
简单命题：不含逻辑联结词的命题
（常用小写字母p,q,r,s,……表示）
判断复合命题真假的步骤: (1)写出构成复合命题的简单命题p与q (2)判断p 、q的真假
(3) 由p 、q的真假得出复合命题的真假
练习1：某足球队队员的全体构成集合A ， 写出下列命题的否定：
（1）p: （2）p: （3）p: （4）p:
A中的队员至少有一个是重庆人； A中的队员都是重庆人； A中的队员都不是重庆人； A中的队员不都是重庆人.
高中数学高考03第一章 集合与常用逻辑用语 1 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题； 綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
师生共研
题型三 命题中参数的取值范围
例 3 (1)(2018·大 同 质 检 ) 已 知 命 题 p ： “∀x∈[0,1] ， a≥ex” ； 命 题 q ： “∃x0∈R，使得 x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取 值范围为__[_e_,4_]___.
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋ 15 a>0”的否定为假命题，则实 2
数a的取值范围是__56_，__＋__∞____.
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋125a>0”的否定为假命题， 可知原命题必为真命题，即不等式 x2－5x＋125a>0 对任意实数 x 恒成立. 设 f(x)＝x2－5x＋125a，则其图象恒在 x 轴的上方. 故 Δ＝25－4×125a<0，解得 a>56，
跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是
A.∃x0∈R，log2x0＝0
√C.∀x∈R，x2>0
B.∃x0∈R，cos x0＝1 D.∀x∈R,2x>0
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A， B均为真命题，02＝0，
选项C为假命题，2x>0，
选项D为真命题，
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.(2018·石家庄模拟)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命
1.3简单的逻辑联结词(教学设计) (1)
1.3简单的逻辑联结词（1）（教学设计）1.3.1且 1.3.2或 1.3.3非教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义（２）正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．通过探究学习培养学生合作交流的良好习惯和品质，培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。
教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”，“P∨q”，“⌝p”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”“⌝p”. 教学过程：一、复习回顾：命题：若p，则q(1)若p⇒q，且q p.则P是q的充分不必要条件(2)若p q，且q⇒p.则p是q的必要不充分条件(3)若p⇒q，且q⇒p.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件引调：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。
二、创设情境、新课引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
1.3_简单的逻辑联结词_基础
1.3简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题。
要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p ∧q 的真与假。
（2）与集合中的交集类比 交集{|}AB x x A x B =∈∈且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。
要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题。
要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p ∨q 的真与假。
（2）与集合中的并集类比 并集{|}AB x x A x B =∈∈或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。
（3）“或”有三层含义，以“p 或q ”为例： ①p 成立且q 不成立； ②p 不成立但q 成立； ③p 成立且q 也成立。
要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p 或p 的否定”。
1.3简单的逻辑联结词
_1.3 简单的逻辑联结词1.3简单的逻辑联结词如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．如知识点一中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，綈p为真？提示：当p假时．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断：1．对“或”的理解，可联想集合中并集的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，是指“x∈A”“x∈B”其中至少一个是成立的，即可以是x∈A，且x∉B，也可以是x∉A，且x∈B，还可以是x∈A，且x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义．生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．由“或”联结两个命题p 和q构成的复合命题“p或q”，当“p真q假”“p假q真”“p真q真”时，都为真．2．对“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，是指“x∈A”“x∈B”同时满足，即x既属于集合A，同时又属于集合B.用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，为真．3．对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”．当p真时，则“非p”为假；当p假时，则“非p”为真．若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U 中的补集∁U P.[例1](1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；(3)矩形不是平行四边形．[思路点拨]解答本题先进行命题结构分析，再写出每个简单命题．[精解详析](1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．[一点通](1)不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，因此就有“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题，其中p，q 为简单命题．(2)在“p∨q”“p∧q”“綈p”中，p，q都是命题，但在“若p，则q”中，p，q可以是命题，也可以是含有变量的陈述句．(3)正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是()A．简单命题B．“(綈p)∧(綈q)”的形式C．“p∧q”的形式D．“p∨q”的形式解析：含有逻辑联结词“且”，故为“p∧q”的形式．答案：C2．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．(1)方程x2＋x＋1＝0无实根；(2)他是运动员兼教练；(3)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；(4)3≥1.解：(1)这个命题是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋1＝0有实根．(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品逻辑上有错误．(4)此命题为“p∨q”的形式，其中p：3>1，q：3＝1.[例2](1)p：6<6，q：6＝6.(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解．(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]先判断p，q的真假，再利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]判断复合命题的真假可以总结为三句话，即(1)对“p∨q”命题：一真必真．也就是p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题．(2)对“p∧q”命题：一假必假．也就是p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题．(3)对“綈p”命题：真假相反，也就是p与非p的真假不同，p真，非p就假；p假，非p就真．3．由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是()A．p：3是偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5>3C．p：a∈{a，b}，q：{a} {a，b}D．p：Q R，q：N＝N*解析：“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，所以可知：p假、q真．对照分析四个选项，只有B符合．答案：B4．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)x＝1是方程x2＋3x＋2＝0的根或x＝－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)A ⃘(A ∪B )．解：(1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根．因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题.[例3] 函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解答本题可先求p ，q 中a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出a 的范围．[精解详析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2， ∴命题p ：－2<a <2.函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数， 则有5－2a >1，即a <2.∴命题q ：a <2.由p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，∴a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]． [一点通](1)根据p ，q 的真假可判断命题p ∧q ，p ∨q 的真假；反之根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假也可以判断命题p ，q 的真假．(2)解答这类问题的一般步骤： ①求出命题p ，q 为真时参数的条件；②根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假判定命题p ，q 的真假； ③根据p ，q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．5．已知p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是________．解析：p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题， ∴p ，q 中至少有一个为假，∴x ≥3或x ≤－1. 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)6．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0.解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0. 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．故⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1，或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3，或1<m ≤2.所以m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．1．一个复合命题，从字面上看不一定含“或”、“且”字样．这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”“x ＝±3”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”．2．判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式，是“p ∧q ”“p ∨q ”，还是“綈p ”的形式； ②判断其中简单命题p ，q 的真假； ③根据真值表判断复合命题的真假．3．已知命题的真假求参数的取值范围，可以先求出构成命题的p 和q 为真时参数的范围，然后根据条件判断出p 和q 的真假，建立不等式(组)求参数的范围．1．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当p 或q 为真时，可以得到p 和q 中至少有一个为真，这时q 且p 不一定为真；反之当q 且p 为真时，必有p 和q 都为真，一定可得p 或q 为真．答案：B2．给出命题p ：3≥3；q ：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0在R 上的值域为[－1,1]．在下列三个命题：“p ∧q ”“p ∨q ”“非p ”中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为真命题．对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真，非p 假． 答案：B3．已知p ：函数y ＝2|x－1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：命题p 是真命题．y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q 为假命题．∴p 且q 为假，p 或q 为真，綈p 为假． 答案：B4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－(12)x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D. q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A. 答案：C5．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．解析：∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0. 答案：b ≤a ≤06．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}7．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题，并判断其真假：(1)p ：6是自然数；q ：6是偶数． (2)p ：∅⊆{0}；q ：∅＝{0}．解：(1)p ∧q ：6是自然数且是偶数．它是真命题． p ∨q ：6是自然数或是偶数．它是真命题． 綈p ：6不是自然数．它是假命题． (2)p ∧q ：∅⊆{0}且∅＝{0}．它是假命题． p ∨q ：∅⊆{0}或∅＝{0}．它是真命题． 綈p ：∅⃘{0}．它是假命题．8．已知a >0，a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减．当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时0<a <1. q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，∴0<a <12或a >52.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p ，q 中必定是一个为真一个为假．(1)若p 真，q 假， 则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1， 即a ∈[12，1)．(2)若p 假，且q 真， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52，即a ∈(52，＋∞)．综上可知，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．。
1.3简单的逻辑联结词
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”。
问题3：你能判断每组中三个命题的真假吗? 命题（3） 的真假与命题（1）（2）有何关系？总结规律，填表。
1.3简单的逻辑联结词
(1)菱形的对角线互相垂直 (2)菱形的对角线互相平分 (3)菱形的对角线互相垂直且平分
（1）2是质数 （2）4是质数 （3）2或4是质数
问题1：每组中命题（3）与命题（1）（2）有什么关系？ 你还能列举出数学中其他方面的例子吗？ 问题2：如果用p表示命题(1)，q表示命题(2)，那么命题 (3)该如何表示？
）
p：35是4的倍数； q：35是6的倍数．
（1）35能被5整除； （2）35不能被5整除.
p
p
假
真
真
假
问题5：每组中的两个命题有什么关系？
问题6：若用符号 p表示命题（1），那么命题（2）该如何表示？ 归纳定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个 新命题，记作￢p,读作“非p”或“p的否定”。
p
q
p∧q
真 假 假 假
p ∨q
真 真 真 假
真
真 假 假
真
假 真 假
问题4：电路中开关的开合与灯的亮灭的关系与真值表中命题 之间的关系有什么相通之处吗？
Байду номын сангаас
例1 ：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断其真假： （1） p：2是偶数； q：3不是质数． （2） p：平行直线没有交点； q：异面直线没有交点． （3
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
1.3.1简单的逻辑联结词(一)完成
1.3.1简单的逻辑联结词（一）学习目标正确理解逻辑联结词“或”、“且”的真正含义，并能正确表述q p q p ∧∨,这些新命题。
一、课前准备※复习准备思考：下面三个命题有什么关系？（1）12能被3 整除（2）12能被4整除（3）12能被3整除且能被4整除发现：命题（3）是由命题（1）和（2）用逻辑联结词“”联结成的新命题。
二、新课导学※探求新知新知（一）：教学命题q p ∧一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到新命题，记作，读作：”pq ”. ☆☆规定：当p ，q 都是真命题时，q p ∧是，当p ，q 两个命题中有一个是假命题时，q p ∧是。
☆☆总结：一假即，全真则，。
※典型例题例1、将下列命题用“且”连结成新命题，并判断它们的真假。
（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等（2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分（3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断真假。
（1）1既是奇数又是素数。
（3）2和3都是素数。
新知（二）：教学命题q p ∨一般地，用联结词“”把命题p 和命题q 联结起来，得到新命题，记作，读作：”. ☆☆规定：当p ，q 两个命题中是真命题时，q p ∨是真命题，当p ，q 都是假命题时，q p ∨是命题。
☆☆总结：一即真，全假则。
※典型例题例3、判断下列命题的真假：（1）22≤（2）的子集。
B A 或B A 是A 集合⋃⋂（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等。
※动手试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数。
（2）矩形的对角线互相垂直和平分。
（3）47是7的倍数或49是7的倍数。
（4）等腰梯形对角线互相垂直或互相平分。
思考：如果q p ∧为真命题，那么q p ∨一定是真命题吗？如果q p ∨是真命题，那么q p ∧一定是真命题吗？※学习小结：q p ∧和q p ∨命题的概念及真假。
1.3 简单的逻辑联结词(一)
濮阳市第一高级中学学生课堂导学提纲 使用时间：2017年（ ）月（ ）日 编制:高二二级部数学组1.3 简单的逻辑联结词（一）班级 姓名 小组 【学习目标】了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，并能正确地表述相关数学内容，能判断””、“”、“”的真假性. 【重点与难点】正确理解逻辑联结词“且”、“或”“非”的含义，并能正确表述这“”、“”、“”这些新命题，并能判断其真假性 【导学流程】 一.基础知识链接阅读课本反思：p q ∧，p q ∨，p ⌝的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断。
二：重点难点知识突破例1已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④例2已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（） A ．B ．C ．D ．例3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q三 疑惑问题四 知识梳理五 课堂检测1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P ：在ABC ∆中，C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ：a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则（ ）.A.p 真q 假B.p 假q 假C.“p 或q ”为假D.“p 且q ”为真 3．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)4．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真3.设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假4 命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题5.设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假6 命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题p q ∧p q ∨p ⌝p q ∧p q ∨p ⌝:p :q ()p q ⌝∨p q ∧()()p q ⌝∧⌝()()p q ⌝∨⌝。
1.3 简单的逻辑联结词
4．复合命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命 题称为复合命题．
复合命题的真假判断:(真值表)
p
q
p∧q p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
P18-练习+习题1.8
含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤 (1)我们可以用口诀记忆法来记忆： “p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真； “¬p”与 p 真假相对． (2)判断复合命题真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“¬p”； ②判断其中的简单命题 p，q 的真假； ③根据真值表判断复合命题的真假．
例3：判断下列命题的真假：
（1）2≤2； （2）集合A是AחB的子集或是AᴜB的子集； （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
解：（1）命题“2≤2”是由命题：P：2=2；q：2<2用“或”联结后构 成的新命题，即p∨q.因为命题p是真命题，所以命题p∨q是真命题.
（2）命题“集合A是AחB的子集或是AᴜB的子集”是由命题：P： 集合A是AחB的子集；q：A是AᴜB的子集；用“或”联结后构成的新 命题，即p∨q.因为命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题.
[提示] (1)不一定，p∨q 是真命题，p 与 q 可能一真一假，此时 p∧q 是假命题．
(2)p∨q 是真命题，p∧q 是假命题．
思考：下列两个命题间有什么关系？ （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除.
可以看出（2）是对（1）的否定.
2021届高考数学一轮必备 1.3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》考情分析学案(1)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的明白得，表达简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.注意事项1.逻辑联结词与集合的关系。
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词组成的命题问题2．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．3．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．典型例题题型一含有逻辑联结词命题真假的判定【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，那么在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析可判定p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案C【变式1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的选项是( )．A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确．答案 C题型二 全称命题与特称命题【例2】►写出以下命题的否定，并判定其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．【变式2】 写出以下命题的否定，并判定真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根；(2)q ：有些合数是偶数；(3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题．(2)¬q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．题型三 依照命题的真假，求参数的取值范围【例3】已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．解 由p 得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2. 由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，那么1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3； ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2. ∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.【变式3】 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．假设p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1.不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4. ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1. 故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．难点冲破【例1】(2021辽宁模拟)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，假设“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． [解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12. ∵c ＞0且c ≠1，∴¬q：c ＞12且c ≠1.(6分) 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)【例2】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. ∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，现在m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，现在－1≤m ＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．巩固提高1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案C2．假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的明白得运用能力．只有¬q是真命题．答案D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而没必要要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的概念域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么( )．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案C5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。
课件4：1.3 简单的逻辑联结词
例题讲解
（2） p :菱形的对角线互相垂直， q :菱形的对角线互相平分；
解： p∧q : 菱形的对角线互相垂直且平分。 （3） p :35是15的倍数，
q :35是7的倍数。 解： p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数。
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，则∆=16(m-2)2-16<0, 即1<m<3 :1 m 3
p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,则p,q至
少一个为假
p,q一真一假,p真q假或者p假q真
mm
2 1 ,或 m
3
或1m
2 m
3
m 3或1 m 2
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第一章 常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、 “非”，它们与日常生活中这些词语所表达的含义和 用法是不尽相同的，下面我们就分别介绍数学中使用 联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与 用法。
为了叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表 示命题。
命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
p
开关p,q的闭合对
q
应命题的真假,则
整个电路的接通与
断开分别对应命题
的真与假. p q
有真即真, 全假为假.
例题讲解 例3、判断下列命题的真假： （1）2 ≤ 2； 真 （2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； 真 （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个 三角形全等 假
（1） 1既 是奇数，又 是素数；
1.3简单的逻辑联结词一
（10）x > 5 且 x ≥4 （11）0.5非整数
（1） 12>6 （2） 3是15的约数 （3） 0.2是整数 （7）10可以被2或5整除
A B {x | x A或x B}
（8）菱形的对角线互相垂直且平分
A B {x | x A且x B}
（11）0.5非整数
(假 ) (真 )
(假 )
(假 ) (假 )
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
真
假
假
假
p
非p
真
假
假
真
说明: 真假相反
p
q p且q
真真真
真假假
假真假
假假假
说明: 同真为真 其余为假
p
q p或q
真真真
真假真
假真真
假假假
说明: 同假为假 其余为真
例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q”
“非p”形式的复合命题的真假
p
q
P且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
P：12是３的倍数 q：12是４的倍数 p或q：12是3的倍数或是4的倍数 P：12是3的倍数 q：12是8的倍数 p或q：12是3的倍数或是8的倍数 P：12是7的倍数 q：12是8的倍数 p或q：12是7的倍数或是8的倍数
(真 ) (真 ) (真 ) (真 )
CUA {x | x A且x U}
逻 辑 联 结 词：或、且、非
简 单 命 题：不含逻辑联结词的命题
人教课标版高中数学选修2-1《简单的逻辑联结词(第1课时)》教学设计
1.3简单的逻辑联结词（第1课时）一、教学目标 （一）学习目标1．掌握逻辑联结词“且、或”的含义； 2．正确应用逻辑联结词“且、或”解决问题； 3．掌握真值表并会应用真值表解决问题． （二）学习重点1．通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容． （三）学习难点1．正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定； 2．简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）“或”“且”叫做__________；（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________； （3）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作_______，读作_________． 【答案】 逻辑联结词 p q ∨ p 或q p q ∧ p 且q 预习自测1．分别写出由下列命题构成的“p q ∧”与“p q ∨”式的命题． (1) :p π是无理数，:q e 不是无理数；(2) :p 方程2210x x ++=有两个相等的实数根，:q 方程2210x x ++=两根的绝对值相等．答案：（1）p q ∨：π是无理数或e 不是无理数；p q ∧：π是无理数且e 不是无理数；（2）p q ∨：方程2210x x ++=有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p q ∧：方程2210x x ++=有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．解析：【知识点】 命题p q ∧、p q ∨． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．（1）分式2201x x x +-=-； （2）不等式220x x +->的解集是{|12}x x x ><-或答案：（1）是p q ∧的形式，其中2:20:10p x x q x +-=-≠；；（2）是p q ∨的形式，其中:p 不等式220x x +->的解集是{|1}x x >；:q 不等式220x x +->的解集是{|2}x x <-．解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨的判断． 点拨：掌握逻辑联结词的用法． 3．判断下列符合命题的真假． （1）菱形的对角线互相垂直平分； （2）若21x =，则2310x x ++=．答案：（1）命题是p q ∧的形式，真命题；（2）命题是p q ∨的形式，假命题． 解析：【知识点】命题的真假． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．4．命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围． 答案：(3,0][1,)-+∞解析：【知识点】命题p q ∧、p q ∨真假的判断．【解题过程】命题:p 不等式2(1)10x a x -++≤的解集是∅，则2(1)40a ∆=+-<恒成立，解得31a -<<；命题:q 函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数，则11a +>，即0a >．因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p 、q 一真一假．（1）p 真q 假时，30a -<<；（2）p 假q 真时，1a ≥．综上：(3,0][1,)a ∈-+∞． 点拨：p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 、q 一真一假，要分两种情况讨论． (二)课堂设计 1.知识回顾命题：若p ，则q ．(1)若p q ⇒且q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若p q ⇒/且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件； (4)若p q ⇒/且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分与不必要条件． 2．问题探究探究一 结合实例感受逻辑联结词 ●活动① 设置情景，引入概念下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①24能被4整除；②24能被6整除；③24能被6整除且能被4整除． （2）①1x >；②2x <-；③1x >或2x <-．教师引导学生：在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题．问题：以前我们有没有学习过像这样用联结词“且”或者“或”联结的命题呢？ 你能否举一些例子？例如：命题p ：正方形四个角相等且均为直角．命题q ：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分．命题r ：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似．【设计意图】通过观察实例，让学生直观感受逻辑联结词，自然过渡．●活动② 结合例子，提取概念一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∧ ，读作“p 且q ”．一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作：p q ∨ ，读作“p 或q ” ．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”中的“且”字与“或” 字与集合理论里的两个命题中“且” 字与“或” 字的含义相同吗？（1）若x A ∈且x B ∈，则x A B ∈．（2）若x A ∈或x B ∈，则x A B ∈．定义中的“且”字与“或”字与集合理论里的两个命题中“且”字与“或”字的含义是相似．但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时满足； 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去学习或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.类比：符号“∧ ”与“”开口都是向下，符号“∨”与“”开口都是向上. 强调：“p 或q ”，“p 且q ”，命题中的“p ”、“q ”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p ”、“q ”是一个命题的条件和结论两个部分. 【设计意图】结合实例，提取概念，通过类比，加深对逻辑连结词的理解. ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 请同学们选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题.（12）32≥; （3）4是合数或2是质数. 【知识点】逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（12）3232>=或； （3）4是合数或2是质数.同类训练 请选择合适的逻辑联结词“且”“或”改写下列命题. （1）∅既是A 的子集又是它的真子集； （2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或是3的倍数. 【知识点】 逻辑联结词“且”“或”． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】 （1）∅是A 的子集且∅是A 的真子集；（2）*(1)(2)()n n n n N ++∈是偶数或*(1)(2)()n n n n N ++∈是3的倍数． 探究二 “p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定 ●活动① 设置情景，引入概念问题1：请接着判断例1中的三个命题的真假：（1既是奇数又是无理数；（2）32≥；（3）4是合数或2是质数．（抢答） 问题2：你能确定“p q ∧”与“p q ∨”真假吗？“p q ∧”与“p q ∨”真假与p q 、的真假有什么关系?（引导学生思考）分析：（1）中p 假q 真，所以为假；（2）中p 真q 假，但（2）为真（学生可能有不同意见）；（3）中p 真q 真，所以为真． 【设计意图】结合实例，学生更容易理解． ●活动② 结合例子，提取概念 一般地，我们规定：当p q 、都是真命题时，p q ∧是真命题；当p q 、两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题；当p q 、两个命题中有一个是真命题时，p q ∨是真命题；当p q 、两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 总结出真值表：【设计意图】使概念更加清晰，学生理解起来容易． ●活动③ 应用反馈，巩固概念例1 将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p q ∧”与“p q ∨”的形式，并判断它们的真假．（1）p ：长方形的对角线互相平分，q ：长方形的对角线相等； （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：14是2的倍数，q ：14是4的倍数．【知识点】逻辑联结词“且”与“或”及复合命题真假的判断． 【数学思想】 【解题过程】略．【思路点拨】掌握逻辑联结词的用法．【答案】（1）p q ∨：长方形的对角线互相平分或相等（真）；p q ∧：长方形的对角线互相平分且相等（真）；（2）p q ∨：菱形的对角线互相垂直或平分（真）；p q ∧：菱形的对角线互相垂直且平分（真）．（3）p q ∨：14是2的倍数或是4的倍数（真）；p q ∧：14是2的倍数且是4的倍数（假）. 3.课堂总结 知识梳理1．逻辑联结词“且、或”的含义；2．命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的规定和判定． 重难点归纳1.正确理解命题“p q ∧”与“p q ∨”真假的真值表和判定；2.简洁、准确地表述命题“p q ∧”与“p q ∨”．（三）课后作业 基础型 自主突破1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是( ) A ．简单命题B ．“()()p q ⌝∧⌝”的形式C ．“p ∧q ”的形式D ．“p ∨q ”的形式 答案：C解析：【知识点】逻辑联结词“且”．【解题过程】含有逻辑联结词“且”，故为“p ∧q ”的形式． 点拨：掌握逻辑联结词的用法．2．由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的新命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假的是( )A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6，q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆/{a ，b }D ．p ：Q ⊇R ，q ：N ＝N * 答案：B解析：【知识点】“p 或q ”“p 且q ”真假的判断．【解题过程】“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假． A ．p 假，q 假；B ．p 假，q 真； C ．p 真，q 真；D ．p 假，q 假．点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为假，则p 、q 至少一个为假． 3．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：【知识点】命题充分、必要性的判断．【解题过程】当p 或q 为真时，可以得到p 和q 中至少有一个为真，这时q 且p 不一定为真；反之当q 且p 为真时，必有p 和q 都为真，一定可得p 或q 为真． 点拨：p 或q 为真，则p 、q 至少一个为真；p 且q 为真，则p 、q 都为真．4．给出命题p ：3≥3；q ：函数1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上的值域为[－1，1]．则p∧q 、p ∨q 为( ) A ．假命题；真命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．真命题；假命题 答案：A解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】p 为真命题．对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．5．已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋x 1在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”为( ) A ．真命题；假命题 B ．真命题；真命题 C ．假命题；假命题 D ．假命题；真命题 答案：D解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】命题p 是真命题．y ＝x ＋1x在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q 为假命题.∴p 且q 为假，p 或q 为真． 点拨：先分别判断p 、q 的真假．6．已知命题p 1：函数y ＝2x －2x -在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2x -在R 上为减函数．在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 答案：C解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断．【解题过程】∵y ＝2x在R 上为增函数，y ＝2－x＝(21)x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－(21)x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题． y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D. q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：⌝p 1是假命题， (⌝p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A ． 点拨：先分别判断p 、q 的真假． 能力型 师生共研7．已知p ：30x -<，q ：x 2－4x －5<0，若“p 且q ”为假命题，则x 的取值范围是________． 答案：x ≥3或x ≤－1解析：【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【解题过程】p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题 ∴p ，q 中至少有一个为假 ∴x ≥3或x ≤－1点拨：p 且q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假．8．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >ba -}，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________． 【知识点】p ∧q 、p ∨q 真假的判断． 【数学思想】【解题过程】∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假⇔a≤0，q假⇔a≥b，则b≤a≤0．【思路点拨】p∨q为假命题，则p、q均为假命题．【答案】b≤a≤0探究型多维突破9．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．答案：(1,2]∪[3，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题真假．【解题过程】p：240mm⎧∆=->⎨>⎩，得m>2．q：∆=16(m－2)2－16=(m2－4m＋3)<0．解得1<m<3．∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．解得m≥3，或1<m≤2.所以m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．点拨：由∆判断一元二次方程的根的个数．10．a>0，a≠1．设p：函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．答案：[12，1)∪(52，＋∞)解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】当0<a<1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减当a>1时，y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时．0<a<1．q真等价于(2a－3)2－4>0，即12a<或52a>．又a>0，∴0<a<12或a>52．∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中必定是一个为真一个为假．(1)p真，q假⇒12≤a<1，即a∈[12，1)．(2)p假，q真⇒a>52，即a∈(52，＋∞)．综上可知，a的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．点拨：根据p，q的真假求参数a的范围．自助餐1．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．(1)他是运动员兼教练；(2)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；(3)3≥1．答案：(1)这个命题是“p∧q”形式．其中p：他是运动员；q：他是教练．(2)这个命题是“p∧q”形式．其中p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品逻辑上有错误．(3)此命题为“p∨q”形式．其中p：3>1；q：3＝1．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}．答案：(1)p∧q：6是自然数且是偶数．它是真命题．p∨q：6是自然数或是偶数．它是真命题．(2)p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}．它是假命题．p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}．它是真命题．解析：【知识点】命题的形式．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．3．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案：A ．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 点拨：熟悉p ∨q 的真假．4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，x a e ≥ ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”． 若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：[e,4]．解析：【知识点】复合命题的真假．【解题过程】若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4． 点拨：熟悉p ∧q 的真假判断．5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案：(1)A (2)一．解析：【知识点】复合命题，逻辑推理．【解题过程】(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．点拨：熟悉p∧q、p∨q的命题形式．6．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．答案：(－∞，－2]解析：【知识点】p或q、p且q命题的真假．【解题过程】设g(x)＝x2＋2ax＋4．因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0．∴－2<a<2，∴命题p：－2<a<2.函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2.∴命题q：a<2.由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1) 若p真q假，则此不等式组无解．(2)若p假q真，则a≤－2．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．点拨：解答这类问题的一般步骤：①求出命题p，q为真时参数的条件；②根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；③根据p，q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．。
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1.3.1 且(and)
思考?
下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.
一般地,用逻辑联结词 “且”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个新 命题,记作
pq
读作“ p且 q”.
规定:当p,q都是真命题时, p q 是 真命题;当p,q两个命题中有一个命 题是假命题时, p q 是假命题且”联结成新命题,并判断 它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四 边形的对角线相等. 假
(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线 互相平分. 真
例2
用逻辑联结词“且”改写下列命题,
并判断它们的真假:
(1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.真
§1.3简单的逻辑联结词（1）
2010年11月
问题:判断下面的语句是否为命题.
(1)12>5. (2)3是12的约数. (3)3是12的约数吗? (4)0.4是整数. (5)x>5.
像(1)(2)(4)这样可以判断真 假的陈述句称为命题,(3)(5)就不 是命题.
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。 (1)请全体同学起立！ (×) (2)x2+x>0. (×) (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.(真) (4)x=-a. (×) (5)91是素数. (真) (6)中国是世界上人口最多的国家.(真) (7)这道数学题目有趣吗? (×) (8)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. (假) (9)任何无限小数都是无理数. (假)
假
例3 分别写出由命题“p:平行四边形的对 角线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平 分”构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命 题。 例4 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否 正面 至多有 至少有 任意 定. = > 是 都是
一个
否定 ≠ ≤ 不是 不都是
一个
的
所有 的
至少有 没有一 某个不是 两个 个 或某些不是
例5 已知命题p,q,写出“p或q”,“p且q”,“非p” 形式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)p且q. (2)p或q. (3)非p.