洛必达法则应用两则

外选择点 （!， 趋于点 （ ， ） 的方式， 使上极限不等于零。作以下分析： # # "）
# 解决问题的关键 找出曲线 "+# （!） ， 使点 （!， 沿曲线 "+# （!） 趋于 （# ， 时， 极限 $ #） "） （!） ! # ( ) * + !# # . （!） !" # !, # （ ） # 解决方法 !
# ! ( ) ( "’ & !’ "
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( ) + * ( ( ( ( ’ 例*中所选的 （! （ ， ） （ ， ） ， 实际上是选择了函数 ( （!） $ ’ $ & ) & ) &) ’， ’） ’ ’’ ( ’ ( ( ’ ’ ! ， ( * 由于( （!） （!） ， 因此当!! （!） 也满足： （!） ， （!） $ &) + % & "时， ! " $ ( ( ( ( * ! （ （ ( ’! ( ’!） ( ’!） * ! ， * ， （!） （!） 显然不如# （!） !) ( % ! * &) +这里的 ( &) &! )! 简单。 ( & ( ’!
* , 二、 将洛必达法则加以推广， 有如下的 定理
高等数学研究
4 $ $ 5年 ’月
若!! （!） （!） 与" （!） 在! 的某空心邻域内可导， 且" （!） ， （ ） " #" %&； " $ " $ ’ ! " # # $
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（!） （!） （!） $ $ # （% 可为有限数， 也可为(&） ， 则! %% " ## %! " ## %% ) （!） （ ） （!） !!! ! ! ! $ $ ! " " " $ $ 证明从略) （ ） 该定理由于未对 !!! 时# ! 的极限情况提出要求， 因此它包括了通常洛必达法则中的 & $ （!） & " 情况， 应用面就更广。看下面两例： 例’ （选自* 单项选择： 设# （!） 处处可导， 则 + + ,年硕士研究生入学考试数学三） 当! （!） 必有 ! （!） （-） " ## $ %.&时， " ## %.& )
! 为了证明例$的极限不存在， 有的题解中分别采取了让 " 沿"+! 及"+! 从而 -! 的形式，
得到不同的极限值#与$ . $ ! $$， ", 例! 对于极限 ( 也有与例$同样的情况， 而为了证明其极限不存在， 有的 ) * （!， （ ， ） " # # !, "） " $， $与 $， $ ， 题解中是采取以下两种点列： 于是有 ! ! & & +%+ %+ %+ %" % % "% %, $
洛必达法则应用两则
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 刘蒲凰 刘蒲凰,山东财政学院文理学院,济南,250014 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(2) 0次
参考文献(2条) 1.华东师范大学 数学分析 1980 2.张筑生 数学分析新讲 1990
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* # ! ! ( ) ( & 更 "’ ） 右中除系数(外， 其形式与 （ ） 同， 因此若取# （ 有 # （ ! ( !） &) ) !， $ % & + !! " * & ! ’ * " *
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* 若要其极限是)(， 只须令& &)(， 即&&) （!） ( +因此# &! )! +易验证 # $ % !! " * * * *
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（!） # # 假设"+ （!） 存在一定阶导数， 将以上问题转化为求一元函数 ! 的 型 # （!） # !, # 极限 （!" ， 利用洛必达法则探求# （!） ， 使其极限为 ’# #时） # .
； 修改日期： ! 收稿日期： ! # # ! # " $ A ! # # A # B # C
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（/ ） 当! （!） 必有 ! （!） $ " ## %.&时， " ## %.& )
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（0 ） 当!Βιβλιοθήκη Baidu（!） 必有 ! （!） " ## $ %1&时， " ## %1& )
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（2） 当! （!） 必有 ! （!） " ## %1&时， " ## $ %1& )
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） 式的分子趋于" ， 在分母中， 若令# （!） （!! ， 则有 ( （!） （!! ， 依 （ ( !) ( " 时） ’ ! " " 时） $ $ # 然是"型， 继续使用洛必达法则， 得 " ） 式& （ ( # $ %
!! " （!） ! " # （!） $ !) ( #
! " 为例， 样想出的？下面我们对以上问题加以讨论， 先以例$中的极限 ( 说明洛必达法则 ) * （!， （ ， ） , " # # ! "） " 在解此类问题上的应用。
’ 首先， 易验证当点 （!， 沿"+ （ ） 的方式趋于点 （ ， ） 时， 该极限都为零， 因此必须另 $ ! !% # # # "）
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解
4 本题可以通过反例， 使用淘汰法进行选择， 例如， 分别由函数 &% （1 ! 3 !， ! 3 &%! ， &%1
可想到， 选项 （/ ） （0 、 ） （2） 、 是错误的， 因此应选 （-） （%） 的正确性， 我们可 !） )如果进一步讨论结论 由上定理给出如下证明： 当! （!） 取" （!） 则! （!） 根据上述定理 " ## $ %.&时， %!， " #" %.&，
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（!） （!） （!） $ 因此， ， （可设 ( $* ） ， 当 !$ ( 得! " ## %! " ## %! " ## %.&， #’ $$ %( $$ （!） !!.& !!.& ! !!.& * " （!） # 时， 有 即# （!） 所以 ! （!） 即 （%） 是正确的。 $’， $’ !$’ ( $’， " ## %.&， !!.& ! 例5 设 ! （!） 且# （!） 在 ［ 上有界， 则)% 。 " ## $ % )， *， .&） $
（!） （!） $ * ’! % # # （!） % #
（ ） *
* 易见， 在 （ ） 式中若令# （!） ， 由于 # （!） ， 因此 （ ） 式的极限等于 &" * % !) （!! " 时） $ ! )( * & （!） ， 使其满足以下三个条： （!） ； （!） ； （!） $ % " +这样我们只须选择函数 "& ! ! " " !) ( # # # # # * 就可解决 " 中的问题。 !) ， ( & （!） （! ） 入手往前推， 若取 # 下面我们根据以上三个条件来推求函数 # + 首先从后面的条件 % * 显然有 * 再取 （ ） * （!） （!） ， 则有 （!） ， （!） % $ ! &) !)( $ % &) ， # $ % &) ； # $ % &)( # $ % &) # # # # !! " !! " !! " & & & * * *； ! 最后# （!） 则# （!） 满足条件!、 只要点 （!， ） 沿"&)! )! （ ） &) )!， "、 # +这样， &" " " & & &
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（!） （!） （!） 根据上述定理有 ! （!） 因# （!） 在 ［*， 取" %!， " ## %! " ## %! " ## %)， $ （!） !!.& !!.& ! !!.& " （!） ( # 上有界， 所以存在 ( $ ， ［ ， 有 （!） 因此 $ （!! .&） $ #!& *， .&） ’ ’ (( ， ( ( ! $ # ! ’ ! ’ （!） # ， 故! ， 从而)% .&） " # % $ $ ) !!.& ! 证 参考文献
! ! ! $ ! $ ! （ " ， " + 我们有 ( ， 例$ 对于极限 ( ) * ) * ( ) * + ( ) * + # $# $ $+$ （!， （ ， ） , " # # !" # !, !" #!, $ ! !"#$ , $ ! "） " " + $ !" #
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时， 所给函数无意义） .
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! 看了这两个例题， 自然会产生以下问题： 例 $ 中的 "+! （! 是怎 -! 及例 ! 中的点列 & & " %， %）
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［ ］ 华东师范大学)数学分析)人民教育出版社) * * + 6 $ ) ［ ］ 张筑生 数学分析新讲 北京大学出版社 4 ) ) ) * + + $ )
（上接第* 4页） ’ % ! + , ’， & $. $. $.. （% ， 即’ 当且仅当 （!1! （&1& （-1 ! + ’ ( / ’) 7 7 & $. $., $.. ） $） $） 4 4 4 * % .+ ., 即( 取等号， 即是点到直线的距离公式。 %% 7 + 7 , 时， /+! 时， $） 从上面的例子可见， 从相同的条件， 通过不同的方式， 得到同一结论， 这种思维叫发散性思维 ) 所谓发散性思维是指信息处理的途径灵活多变。它是创造性思维的一种重要形式。在教学过程 中， 利用学生的 “好奇” “好想” 、 “好动” 、 的心理， 适当要求做一些一题多解， 可以把知识点串起来， 既 可以复习数学知识， 又培养了他们的创造性思维。而在高等数学中， 一题多解的例子比比皆是。
一、 洛必达法则在 “证明二重极限不存在时” 的应用 在证明二重极限 ( （!， 不存在时， 一般采取令 （!， 沿不同方式趋于 （ ， ） 时， 其极 ) * # # # "） "） （!， ） （ ， ） " # #
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限值不相等的方法加以证明。在具体证明中， 多数是令 " 沿直线"+$ 对不同的 $ 值 ! 趋于零时， 所得极限值不同来判断。但有的函数却出现当令" 沿上述方式趋于零时， 对所有的 $ 值所得极限 值是相同的。例如：
第-卷第*期
" 具体步骤 !
刘蒲凰： 洛必达法则应用两则
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洛必达法则应用两则
刘蒲凰
摘要 关键词 （山东财政学院文理学院 济南
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指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用， 并指出了洛必达法则的一个推广 洛必达法则； 二重极限 中图分类号 & $ ’ !