洛必达法则应用两则
洛必达法则的应用
洛必达法则的应用一、什么是洛必达法则？洛必达法则是经济学中的一个基本原理，它指出，当某种商品的价格上涨时，消费者会减少对该商品的需求量；反之，当价格下降时，消费者会增加对该商品的需求量。
这个原理也被称为“需求定律”。
二、洛必达法则在市场营销中的应用1. 价格策略根据洛必达法则，价格上涨会导致需求量下降，因此，在制定产品价格时需要考虑到消费者的需求反应。
如果产品定价过高，可能会导致销售不佳；如果产品定价过低，则可能会影响品牌形象和利润率。
因此，在制定产品价格时需要进行市场调研和分析，了解消费者的需求和心理预期，并根据这些信息来确定最合适的价格策略。
2. 促销策略促销活动是提高销售额和市场份额的重要手段之一。
根据洛必达法则，在促销活动中可以采取不同的策略来刺激消费者购买行为。
例如，可以通过打折、赠品、限时优惠等方式来降低产品价格，从而增加产品的需求量；或者通过推出新品、改良旧品等方式来提高产品的附加价值，从而吸引消费者购买。
3. 市场定位策略市场定位是指企业在市场中选择自己的目标客户群体，并以此为基础来制定产品设计、营销策略和品牌形象。
根据洛必达法则，在市场定位中需要考虑到不同消费者对价格的敏感程度。
例如，对于高端用户来说，他们更注重产品的质量和品牌形象，对于价格的敏感度相对较低；而对于普通消费者来说，他们更注重产品的价格和性价比，对于价格的敏感度相对较高。
因此，在制定市场定位策略时需要根据不同客户群体的需求和心理预期进行差异化分析。
三、洛必达法则在企业管理中的应用1. 成本控制策略成本控制是企业管理中非常重要的一项工作。
根据洛必达法则，在制定成本控制策略时需要考虑到产品价格与销售量之间的关系。
如果企业将成本控制得太紧，可能会导致产品质量下降或者生产效率降低，从而影响产品的销售量；反之，如果企业将成本控制得过松，可能会导致产品价格过高，从而影响产品的销售量。
因此，在制定成本控制策略时需要综合考虑产品价格、销售量和成本之间的关系。
洛必达法则2篇
洛必达法则2篇洛必达法则（调查者偏见）是指人们在思考和决策时，往往受到自身观点和偏见的影响，忽视或排斥其他可能的因素和观点。
这种偏见常常导致人们对信息进行选择性的收集和解释，从而在决策过程中产生错误的判断和偏见。
本文将分为两篇，分别探讨洛必达法则在个人和集体决策中的应用。
第一篇：洛必达法则在个人决策中的应用洛必达法则在个人决策中起着重要的作用。
在面临选择时，个人常常会有自己的观点和偏见，以及某种心理倾向，导致信息的一偏一面。
比如，有人可能对某个选项持有强烈的喜好或厌恶。
这样的主观倾向会影响个人对相关信息的选择性接收，并产生一种所谓的“调查者偏见”。
例如，当一个人面临购买手机的决策时，他可能会有自己对某个品牌的偏好。
在进行信息收集时，他倾向于选择与他喜欢的品牌有关的信息，并对竞争对手的信息不予理会。
这样偏颇的信息选择会导致他无法全面了解市场上不同品牌的优缺点，最终可能做出错误的决策。
此外，个人还容易受到已有知识和经验的束缚，在决策时难以接受新的信息和观点。
人们往往更愿意接受与自己已有观点相符的信息，而对与自己观点相反的信息持怀疑态度甚至拒绝接受，这也是洛必达法则的体现。
比如，在职场上，当一个人需要选择与自己专业相关的进修课程时，他可能会更倾向于选择与自己已有专业知识相符的课程，而对涉及其他领域的课程不感兴趣或认为不重要。
这种思维局限会限制个人的发展和学习，导致知识和技能的匮乏。
第二篇：洛必达法则在集体决策中的应用洛必达法则在集体决策中也同样发挥着重要的作用。
当一个群体面临共同的决策时，个体成员会受到相互影响，往往出于社会心理和认知偏见，只关注自身的观点和利益，忽视其他成员的意见和建议。
例如，当一个团队需要做出重要的决策时，其中的个体成员可能会为了争夺资源或争取个人利益，倾向于支持自己的观点，并排斥其他成员的意见。
这种倾向性会导致集体决策过程中存在信息的片面性和偏差，最终可能导致低效和错误的决策。
此外，集体决策中存在的群体思维也是洛必达法则的体现。
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
导数的应用洛必达法则
导数的应用洛必达法则1.设函数21)(ax x e x f x ---=.(1) 若0=a ,求)(x f 的单调区间;(2) 若当0≥x 时,0)(≥x f ,求实数a 的取值范围.解:(1) 定义域为R ,当0=a 时,有题知x e x f x --=1)(,则1)('-=xe xf . 令0)('>x f ,得e x >;令0)('<x f ,得e x <所以函数)(x f 的增区间为),(+∞e ,减区间为),(e -∞.(2)①当0=x 时,00001)0(20≥=⨯---=a e f 成立. ②当0>x 时,当210)(x x e a x f x --≤⇔≥时,设)0(,1)(2>--=x xx e x g x ,则442]2)2[(2)1()1()('x x e x x x x x e x e x g x x x ++-=⨯----= 设)0(,2)2()(>++-=x x e x x h x,显然)(x h 在),0(+∞为增函数,所以 0)0()(=>h x h ,所以0)('>x g ,所以)(x g 在),0(+∞上为增函数 由洛必达法则得2122211)(000200lim lim lim lim ===-=--=→→→→e e x e x x e x g x x x x x x x 所以21)(>x g 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤a . 即实数a 的取值范围为]21,(-∞2.设函数x e x f --=1)(.(1) 证明:当1->x 时,1)(+≥x x x f ; (2) 设当0≥x 时,1)(+≤ax x x f ,求实数a 的取值范围. 解:(1) 证明: 当1->x 时,011)(≥--⇔+≥x e x x x f x . 设)1(,1)(->--=x x e x g x ,则1)('-=x e x g .令0)('>x g ,得0>x ;令0)('<x g ,得01<<-x .则)(x g 在)0,1(-上为减函数,在),0(+∞为增函数.则010)0()(0min =--==e g x g 即0)(≥x g 在),1(+∞-恒成立.所以当1->x 时,1)(+≥x x x f . (2)①当0=x 时,01)0(0=-=e f ,0100=+⨯a ,1)(+≤ax x x f 成立. ②当0>x 时 1)若0<a 时,当a x 1->, 则01<+ax x ,则1)(+≤ax x x f 不成立,不符合题意. 2)当0≥a 时,1)(+≤ax x x f x xe e xe a x x x -+-≤⇔1时, 设xxe e xe x g x x x -+-=1)(,则 22)1()1)(1()()('--++---=x x x x x x x e x xe e e xe x xe xe x g 0)1(122222>-+-+-=x x x x e x e e e x 在),0(+∞恒成立 所以)(x g 在),0(+∞上为增函数由洛必达法则得x x xx x x x x x x x x x x xe e xe e xe e xe x xe e xe x g ++=-+=-+-=→→→→211)(lim lim lim lim 0000 210200000=⨯+⨯+=e e e e 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤a . 综上,210≤≤a ,所以实数a 的取值范围为]21,0[。
用洛必达法则解决导数问题
如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在， 也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。
洛必达（L’Hospital ）法则：设（1）当时，函数及都趋于零； （2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；那么1 用洛必达法则求下列极限 (1)x x x )1ln(lim 0+→ (2)x e e x x x sin lim 0-→-(3)a x a x a x --→sin sin lim (4)x x x 5tan 3sin lim π→ (5)22)2(sin ln lim x x x -→ππ (6)n n mm a x a x a x --→lim (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→(8)x x x 3tan tan lim 2π→(9)x arc x x cot )11ln(lim ++∞→ (10)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→ (11)x x x 2cot lim 0→ (12)2120lim x x e x → (13)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x (14)x x x a )1(lim +∞→(15)x x x sin 0lim +→ (16)x x xtan 0)1(lim +→ 例题：设函数2()1x f x e x ax =---.（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥.①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，21x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤. 记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3(2)2'()x x e x g x x -++=. 记()(2)2x h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所以()(2)2x h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，3()'()0h x g x x=>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤. 综上所述，当12a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.练习已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。
洛必达法则
洛必达法则
1.洛必达法则
在介绍柯西中值定理时，提出，使用柯西中值定理，可以推导出洛必达法则。
洛必达法则是说：
1.当x->a时，f(x)和F(x)都趋近与0
2.f'(x)和F'(x)都存在，在F'(x)不等于0
则
2.求当x趋于0时， sinx/x =?
解：对分子，分母分别求导：(sinx)'=cosx (x)'=1所以，sinx/x= cosx/1 当x->0时， cos0=1, 因此, sinx/x=1
这是一个非常重要的公式
3.常见的，0乘以无穷大的解法
求
解：如果直接对xlnx用洛必达法则是错误的，洛必达法则要求是0/0或者∞/∞类型
而在题目里，x->0时，x是0，但是lnx是无穷大，所以，需要把 lnx变成无穷小或者把x变成无穷大。
无穷大变成无穷小通常就是求倒数。
无穷小变成无穷大也是求倒数（不是导数）。
洛必达法则应用举例
洛必达法则应用举例洛必达法则是管理学中一项重要的原理，被广泛用于组织和时间管理。
下面将从不同场景中给出几个洛必达法则的应用举例，以期为读者提供一些建议和指导。
第一个应用举例是关于工作任务的优先级划分。
假设你是一个项目经理，手头有多个任务需要处理，其中一些较为紧急，一些较为重要，有的任务必须立即处理，有的任务可以稍后进行。
在这种情况下，你可以运用洛必达法则来确定任务的优先级。
根据洛必达法则，你可以将工作任务分为四个象限：紧急且重要、重要但不紧急、紧急但不重要以及既不紧急也不重要。
然后，你可以按照洛必达法则的要求，首先解决紧急且重要的任务，然后处理重要但不紧急的任务，接下来是紧急但不重要的任务，最后是既不紧急也不重要的任务。
通过这种方式，你能更好地管理你的工作任务，高效地利用时间和资源。
第二个应用举例是关于个人时间管理。
我们经常面临着很多工作和个人事务，如何高效地利用时间成为一项重要的技能。
在这种情况下，洛必达法则也能给予指导。
你可以将你的任务和活动分为紧急和重要的、重要但不紧急的、紧急但不重要的以及既不紧急也不重要的四个类别。
比如，急需处理的紧急且重要的任务应该优先安排。
同时，你也应该为重要但不紧急的活动留出合适的时间，如进一步提升自己的技能、拓展人际网络等。
而对于紧急但不重要的事务，你可以考虑是否能够委托给他人或者不予处理。
最后，既不紧急也不重要的任务可以考虑彻底放弃或者推迟到合适的时机进行。
通过这样的时间管理，你能够更好地安排你的日程，避免过度消耗时间和精力。
第三个应用举例是关于团队管理。
洛必达法则也适用于团队的任务分配和管理。
在团队工作中，经常会遇到各种任务的紧急程度和重要性不同。
你可以利用洛必达法则帮助团队成员理清任务的优先级，将工作按照紧急程度和重要性合理分配给不同的成员。
通过这种方式，你能够更好地协调团队的工作，提高工作效率和质量。
综上所述，洛必达法则在工作、时间和团队管理中都能起到重要的指导作用。
洛必达法则在高考解答题中的应用
一．洛必达法例：法例 1. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x) 可导且 g '( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x法例 2. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1)lim f x及 lim g x；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x)可导且 g' ( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x利用洛必达法例求不决式的极限是微分学中的要点之一，在解题中应注意：○1 将上边公式中的x a ， x换成 x， x， x a， x a 洛必达法例也建立．○2 洛必达法例可办理0 ，， 0， 1，， 00，型．0 ，○3 在着手求极限从前，第一要检查能否知足，0， 1 ，0，00，型定式，不然滥用洛必达法例会犯错．当不知足三个前提条件时，就不可以用洛必达法例，这时称洛必达法例不合用，应从此外门路求极限．○4 若条件切合，洛必达法例可连续多次使用，直到求出极限为止．二．高考例题解说1.函数 f ( x)e x 1 x ax2．（Ⅰ）若 a0 ，求 f ( x)的单一区间；（Ⅱ）若当 x0 时f ( x)0 ，务实数 a 的取值范围．2. 已知函数aln x by f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为f ( x)1，曲线x xx 2 y 30 ．（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）假如当 x0 ，且 x 1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x3. 若不等式sin x x ax3关于x (0,) 恒建立，务实数 a 的取值范围．24. 设函数 f ( x)sin x 。
洛必达法则7种例题高中
洛必达法则7种例题高中
_百度知道
1、圆周率求法问题：假定有一个圆，它的周长比它的直径大2个单位。
使用洛必达法则，就可以求出圆的直径d：d = 2π
2、正比问题：已知x：y = 2：3，y：z = 4：5，使用洛必达法则求出x：z的比例。
x：z = 2：5
3、抛物线面积问题：计算抛物线面积，其中f(x) = x^2 – 4x + 4，同时
x0 = 0，xk = 1，使用洛必达法则。
抛物线面积为：1/3
4、求和问题：已知a(n) = 2n + 1，求Sn，其中n=1,2,3,…,5，使用洛必
达法则。
Sn = 32
5、积分问题：计算下函数积分：∫ 0.4x^4 dx，使用洛必达法则。
积分：17/15 x^5
6、求最小公倍数问题：求最小公倍数，其中m = 8，n = 12，使用洛必
达法则。
最小公倍数：24
7、求行列式值问题：计算3*3的行列式的值，其中A = |-3 8 1|，|2 4 -
5|，|5 4 6|，使用洛必达法则。
行列式值：-219。
洛必达法则经典例题
洛必达法则经典例题
洛必达法则的经典例子就是“穿衣服的兔子”。
具体的例子是，在一个森林里，有一只兔子穿着一件衣服，他走过来来回走，行走的速度是每小时3英里。
现在，有一个人想要从这只兔子前面穿过，他以每小时6英里的速度走，他们会首先在什么地方相遇？
按照洛必达法则的计算，兔子和人相遇的地方将是兔子离开原点的6倍距离处。
因为兔子每小时走3英里，所以兔子在6小时后离开原点的距离将是18英里（3英里× 6小时 = 18英里），这也就是兔子和人相遇的地方。
因此，兔子和那个人相遇的地方将是18英里以外的地方，也就是说，兔子在离开原点18英里之后，那个人才会赶上它。
继续按照洛必达法则的计算，每小时这两个人会遇到一次，并分别在18英里，36英里，54英里，72英里，90英里，108英里的地方相遇。
继续按照洛必达法则的计算，在接下来的6个小时内，兔子和那个人会分别在126英里，144英里，162英里，180英里，198英里，216英里的地方相遇。
等等…这样，每小时他们就会相遇一次，直到森林里兔子穿衣服的距离完成。
导数恒成立问题---洛必达法则的妙用
洛必达法则 市第十一中学数学组拥权洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足： （1）lim ()lim ()0x ax af xg x →→==；（2）在()U a ，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim ()x af x Ag x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()limlim ()()x ax a f x f x A g x g x →→'=='.（可连环使用）注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①将上面公式中的x →a ，x →∞换成x →+∞，x →-∞，x a+→，x a-→洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
③在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
1．（2006全国2）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，数a 的取值围．令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……5分(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． ……9分(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)， 即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立． 综上，a 的取值围是（－∞，1]． ……12分 解法二：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． ……3分 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……6分当x ＞ e a －1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分 所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a －1－1≤0． 由此得a ≤1，即a 的取值围是（－∞，1]． 解法三：1），当0x =时，a R ∈；2），当 x>0时 ，=()由洛必塔法则===12. 2006全国1理 已知函数()11axx f x e x-+=-. （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值围.解法（一）(ⅰ)当0<a ≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当a>2时, 取x 0= 12a －2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x 0)<f(0)=1 (ⅲ)当a ≤0时, 对任意x ∈(0,1),恒有1+x1－x>1且e －ax ≥1,得f(x)=1+x 1－x e －ax ≥1+x1－x>1. 综上当且仅当a ∈(－∞,2]时,对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>1. 解法（二）,g(x)=,(x)(x )（两次求导） 由洛必塔法则：=-2,3.2007全国1理设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值围． 解法（一）：令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为214ln a a x +-=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值围是(]2-∞，． 解法（二）：（1）x=0时都成立。
洛必达法则例题
洛必达法则例题在高等数学中，洛必达法则是求未定式极限的一种非常有效的方法。
它能够在一定条件下，将复杂的未定式极限转化为相对简单的形式，从而更方便地求出极限值。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解洛必达法则的应用。
例 1：求极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄这是一个典型的“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。
根据洛必达法则，对分子分母分别求导：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$，＄x' ＝ 1$所以，＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝＼lim_{x ＼to 0}＼frac{＼cos x}｛1} ＝＼cos 0 ＝ 1$例 2：求极限＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{x^2}｛e^x}＄这是一个“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型未定式。
应用洛必达法则，对分子分母求导：＄（x^2)＇＝ 2x$，＄（e^x)＇＝ e^x$得到：＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x}＄这仍然是“＄＼frac{＼infty}｛＼infty}＄”型，继续使用洛必达法则求导：＄（2x)＇＝ 2$，＄（e^x)＇＝ e^x$所以，＄＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2x}｛e^x} ＝＼lim_{x ＼to ＋＼infty} ＼frac{2}｛e^x} ＝ 0$例 3：求极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{1 ＼cos x}｛x^2}＄这也是“＄＼frac{0}｛0}＄”型未定式。
先对分子分母求导：＄（1 ＼cos x)＇＝＼sin x$，＄（x^2)＇＝ 2x$则有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛2x}＄此时还是“＄＼frac{0}｛0}＄”型，再用一次洛必达法则：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$，＄（2x)＇＝ 2$所以，＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛2x} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼cos x}｛2} ＝＼frac{1}｛2}＄例 4：求极限＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{＼ln x}｛x 1}＄这是“＄＼frac{0}｛0}＄”型。
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。
法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。
洛必达法则求极限例题
洛必达法则求极限例题在微积分中，洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一种用于求解极限的重要工具。
它适用于某些类型的极限问题，可以帮助我们解决一些复杂的极限计算。
本文将通过几个例题来展示洛必达法则的应用。
例题1：求极限lim(x→0) [sin(x)/x]首先，我们将直接代入x=0，得到的结果是0/0，这是一个不确定的形式。
此时，我们可以使用洛必达法则来求解。
根据洛必达法则，我们对函数的分子和分母同时求导。
对于分子sin(x)，求导后得到cos(x)；对于分母x，求导后得到1。
将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→0) [cos(x)/1]。
再次代入x=0，我们得到的结果是cos(0)/1=1/1=1。
因此，原始的极限lim(x→0) [sin(x)/x]的值为1。
例题2：求极限lim(x→∞) [x/(x+1)]将x代入∞，得到的结果是∞/∞，仍然是一个不确定的形式。
使用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导。
对于分子x，求导后得到1；对于分母(x+1)，求导后得到1。
将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→∞) [1/1]。
再次代入x=∞，我们得到的结果是1/1=1。
因此，原始的极限lim(x→∞)[x/(x+1)]的值为1。
例题3：求极限lim(x→∞) [ln(x+1)/x]同样地，将x代入∞，得到的结果是∞/∞。
我们可以应用洛必达法则，对分子和分母同时求导。
对于分子ln(x+1)，求导后得到1/(x+1)；对于分母x，求导后得到1。
将求导后的结果代入，我们得到新的极限lim(x→∞) [(1/(x+1))/1]。
再次代入x=∞，我们得到的结果是(1/(∞+1))/1=1/∞=0。
因此，原始的极限lim(x→∞) [ln(x+1)/x]的值为0。
洛必达法则是求解极限的一种有用的工具，特别适用于处理不确定形式的极限。
它的基本思想是通过求导，将原始的极限转化为一个新的极限，往往更容易求解。
洛必达法则的一些应用
洛必达法则的一些应用洛必达法则（Lotka-Volterra equations），也称为捕食-食饵模型，是对生态系统中捕食者和食饵之间相互作用关系的数学描述。
它由阿尔弗雷德·洛特卡（Alfred J. Lotka）和瓦尔特·福尔泰拉（Vito Volterra）于1920年代提出，成为生态学的重要理论基础之一、洛必达法则主要用于揭示生态系统中捕食者和食饵之间相互依赖和相互制约的关系，对生物多样性和生态平衡研究有着重要意义。
dx/dt = αx - βxydy/dt = δxy - γy其中，x表示食饵的种群数量，y表示捕食者的种群数量，t表示时间。
α、β、δ和γ分别表示捕食者对食饵的增长率、食饵被捕食的速率、捕食者的死亡率和食饵的自然增长率。
这个模型假设捕食者和食饵之间不存在其他相互作用。
1.解释捕食者-食饵动态：洛必达法则可以用来解释捕食者和食饵之间的种群动态变化。
当食饵的数量增多时，捕食者的数量也会相应增多；而当捕食者的数量增多时，食饵的数量会减少。
这种反馈机制使得捕食者和食饵之间能够达到一种相对平衡的状态。
2.研究生物多样性：洛必达法则可以用来研究生态系统中不同物种之间的相互作用和竞争关系。
通过观察捕食者和食饵的数量变化，可以了解不同物种对资源的利用和竞争情况，从而揭示生态系统的物种组成和多样性。
3.预测和控制生态系统变化：洛必达法则可以通过数学模拟来预测生态系统的变化趋势。
通过改变模型中的参数值，可以模拟不同环境条件下捕食者和食饵之间的相互作用，进而预测生态系统的稳定性和可持续性。
4.生物害虫防治：洛必达法则在农业害虫防治中有重要应用。
通过研究害虫与天敌（捕食者）之间的相互关系，可以选择合适的天敌进行生物防治，控制害虫数量从而减少农药使用。
5.环境保护和生态恢复：洛必达法则可以用来评估生态系统遭受破坏后的恢复能力。
通过研究捕食者和食饵之间的动态变化，可以了解恢复过程中物种之间的相互关系和依赖程度，从而指导生态恢复工作。
定积分用洛必达法则的例子
定积分用洛必达法则的例子
洛力达法则（Lobachevsky’s Theorem）是拉丁文学家俄国学者洛必达（Nicholas Lobachevsky）提出的一种法则，它认为，在几何中，若将一个平面的任意直线分割成两部分，任意选择一个分割点，其他分割点之和必然大于那一分割点一致，这就是洛力达法则。
这可以用于图形面积的计算，例如，一个三角形，它有三个定点，比如A，B，C，那么根据洛力达法则，我们只需要任意选择一个分割点，比如A，然后计算A，B，C任意两点之间的距离的和（比如AB+BC+CA），就可以得出三角形面积的大小。
另外，洛力达法则也可以用于积分计算，积分是求和一曲线下积分确定的曲线下区域与x轴之间的体积。
我们可以利用洛力达法则，把曲线区域分割成多个较小的区域，并求出曲线在这些小区域内的长度和，利用这些长度之和，就可以求出曲线下区域与x轴之间的积分，这也是洛力达法则的一种应用。
总的来说，洛力达法则是几何学中的发现，它可以在图形面积以及积分计算中发挥重要作用，这也是洛力达法则受欢迎的原因之一。
洛必达法则解决问题
洛必达法则简介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x ag x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 洛必达法则在 “证明二重极限不存在时” 的应用 在证明二重极限 ( （!， 不存在时， 一般采取令 （!， 沿不同方式趋于 （ ， ） 时， 其极 ) * # # # "） "） （!， ） （ ， ） " # #
"
限值不相等的方法加以证明。在具体证明中， 多数是令 " 沿直线"+$ 对不同的 $ 值 ! 趋于零时， 所得极限值不同来判断。但有的函数却出现当令" 沿上述方式趋于零时， 对所有的 $ 值所得极限 值是相同的。例如：
# ! ( ) ( "’ & !’ "
" "&! )!!
( ) + * ( ( ( ( ’ 例*中所选的 （! （ ， ） （ ， ） ， 实际上是选择了函数 ( （!） $ ’ $ & ) & ) &) ’， ’） ’ ’’ ( ’ ( ( ’ ’ ! ， ( * 由于( （!） （!） ， 因此当!! （!） 也满足： （!） ， （!） $ &) + % & "时， ! " $ ( ( ( ( * ! （ （ ( ’! ( ’!） ( ’!） * ! ， * ， （!） （!） 显然不如# （!） !) ( % ! * &) +这里的 ( &) &! )! 简单。 ( & ( ’!
洛必达法则应用两则
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 刘蒲凰 刘蒲凰,山东财政学院文理学院,济南,250014 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2004，7(2) 0次
参考文献(2条) 1.华东师范大学 数学分析 1980 2.张筑生 数学分析新讲 1990
#
!! " （!） ! " #
# $ %
（ ） (
） 式的分子趋于" ， 在分母中， 若令# （!） （!! ， 则有 ( （!） （!! ， 依 （ ( !) ( " 时） ’ ! " " 时） $ $ # 然是"型， 继续使用洛必达法则， 得 " ） 式& （ ( # $ %
!! " （!） ! " # （!） $ !) ( #
" #! ! " #! !
"
（ ） !
* # ! ! ( ) ( & 更 "’ ） 右中除系数(外， 其形式与 （ ） 同， 因此若取# （ 有 # （ ! ( !） &) ) !， $ % & + !! " * & ! ’ * " *
! （!） & & )! #
* 若要其极限是)(， 只须令& &)(， 即&&) （!） ( +因此# &! )! +易验证 # $ % !! " * * * *
本文链接：/Periodical_gdsxyj200402006.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：4250121a-609e-4c79-864c-9dcd00969681 下载时间：2010年8月9日
# "+ #! "
（!） # # 假设"+ （!） 存在一定阶导数， 将以上问题转化为求一元函数 ! 的 型 # （!） # !, # 极限 （!" ， 利用洛必达法则探求# （!） ， 使其极限为 ’# #时） # .
； 修改日期： ! 收稿日期： ! # # ! # " $ A ! # # A # B # C
!!1& !!1&
解
4 本题可以通过反例， 使用淘汰法进行选择， 例如， 分别由函数 &% （1 ! 3 !， ! 3 &%! ， &%1
可想到， 选项 （/ ） （0 、 ） （2） 、 是错误的， 因此应选 （-） （%） 的正确性， 我们可 !） )如果进一步讨论结论 由上定理给出如下证明： 当! （!） 取" （!） 则! （!） 根据上述定理 " ## $ %.&时， %!， " #" %.&，
!!.& !!.&
（/ ） 当! （!） 必有 ! （!） $ " ## %.&时， " ## %.& )
!!.& !!.&
（0 ） 当! （!） 必有 ! （!） " ## $ %1&时， " ## %1& )
!!1& !!1&
（2） 当! （!） 必有 ! （!） " ## %1&时， " ## $ %1& )
!!.&
（!） （!） （!） 根据上述定理有 ! （!） 因# （!） 在 ［*， 取" %!， " ## %! " ## %! " ## %)， $ （!） !!.& !!.& ! !!.& " （!） ( # 上有界， 所以存在 ( $ ， ［ ， 有 （!） 因此 $ （!! .&） $ #!& *， .&） ’ ’ (( ， ( ( ! $ # ! ’ ! ’ （!） # ， 故! ， 从而)% .&） " # % $ $ ) !!.& ! 证 参考文献
!!.& !!.&
（!） （!） （!） $ 因此， ， （可设 ( $* ） ， 当 !$ ( 得! " ## %! " ## %! " ## %.&， #’ $$ %( $$ （!） !!.& !!.& ! !!.& * " （!） # 时， 有 即# （!） 所以 ! （!） 即 （%） 是正确的。 $’， $’ !$’ ( $’， " ## %.&， !!.& ! 例5 设 ! （!） 且# （!） 在 ［ 上有界， 则)% 。 " ## $ % )， *， .&） $
* , 二、 将洛必达法则加以推广， 有如下的 定理
高等数学研究
4 $ $ 5年 ’月
若!! （!） （!） 与" （!） 在! 的某空心邻域内可导， 且" （!） ， （ ） " #" %&； " $ " $ ’ ! " # # $
!!! $
!!! $
（!） （!） （!） $ $ # （% 可为有限数， 也可为(&） ， 则! %% " ## %! " ## %% ) （!） （ ） （!） !!! ! ! ! $ $ ! " " " $ $ 证明从略) （ ） 该定理由于未对 !!! 时# ! 的极限情况提出要求， 因此它包括了通常洛必达法则中的 & $ （!） & " 情况， 应用面就更广。看下面两例： 例’ （选自* 单项选择： 设# （!） 处处可导， 则 + + ,年硕士研究生入学考试数学三） 当! （!） 必有 ! （!） （-） " ## $ %.&时， " ## %.& )
$ %
高等数学研究 / 0 1 2 3 4 / 3 56 & 7 7 4 8 49 : 0 ; 4 9 : 0 3 6 /
， 5 = > ! < =
洛必达法则应用两则
刘蒲凰
摘要 关键词 （山东财政学院文理学院 济南
!
） ! " # # $ %
指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用， 并指出了洛必达法则的一个推广 洛必达法则； 二重极限 中图分类号 & $ ’ !
* * ， ） 时， 则例(的极限值为 & 只需令 "&)! )! 中 的方式趋于点 （ " " +而上述例(中的"&! )!， & 的&&) (即可。 对于例* ， 我们也采取以上方法进行推导。根据洛必达法则，
" #! !
（!） （!） （!） # ! ’ () (" ’! $ # # # # $ % $ % & （!） & # !! " !! " ! ’ （ ） ［ （!） ］ # *# ! (( ’ $ #! ’ # （!） （!） ! " ! " # # （!） （!） ( （!） （!） ( ’! $ ’! $ # # # ・# $ %# # $ % $ % & # （ ） （ !! " !! " !! " *（ ( ’ ( ’ $! $ !） （!） # # ! ’ ( （ # （ ） *# ） ）
（! ， ） （ ， ） " # # %" %
( ) *
! $$ " $ % %, ! " %, %
+ #与 （
， （ ， ） ! & &） " # # % "%
( ) *
! & & $$ " $ % %, ! & & " %, %
+-
$ # # . !
! 看了这两个例题， 自然会产生以下问题： 例 $ 中的 "+! （! 是怎 -! 及例 ! 中的点列 & & " %， %）
第-卷第*期
" 具体步骤 !