中考数学专题：圆与一次函数(代几综合)

（2011南京）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x
的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是2。

（2010•文山州）如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）直线n在运动过程中，
①当t为何值时，半圆与直线l相切？
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S= 12S梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，说明
理由．
(2011四川达州，21，6分)如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动(点D 不与B 重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．以DE 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形ADFE ，设点D 的运动时间为t 秒． (1)用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ； (2)当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切?
C
【答案】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B=60° 在△ADE 中，∵∠A=90° ∴AD
AE
ADE =
∠tan ∵AD=t t =⨯1，∴AE=t 3 又∵四边形ADFE 是矩形， ∴S △DEF =S △ADE =
22
332121t t t AE AD =⨯⨯=⨯（)30<≤t ∴S=
2
2
3t （)30<≤t （2）过点O 作OG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，
H G
∵DE ∥BC ，∴OG=DH ，∠DHB=90° 在△DBH 中，BD
DH
B =
sin ∵∠B=60°，BD=AD AB -，AD=t ，AB=3，
∴DH=
)3(23t -，∴OG=)3(2
3t - 当OG=
DE 2
1
时，⊙O 与BC 相切， 在△ADE 中，∵∠A=90°，∠ADE=60°，∴2
1
cos ==∠DE AD ADE ， ∵AD=t ，∴DE=2AD=t 2， ∴2)3(2
3
2⨯-=
t t ， ∴936-=t
∴当936-=t 时，⊙O 与直线BC 相切
（2011湖南娄底，25,10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，
B两点的坐标分别为A(0，
，B(-2，0).
（1）求C，D两点的坐标.
（2）求证：EF为⊙O1的切线.
（3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）连结DE，∵CD是⊙O1的直径，
∴DE⊥BC，
∴四边形ADEO为矩形.
∴OE=AD=2，DE=AO
.
在等腰梯形ABCD中，DC=AB.
∴CE=BO=2，CO=4.
∴C(4，0)，D(2，
).
（2）连结O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，
∠O1EC=∠O1C E，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.
∴O1E∥AB,
又∵EF⊥AB，
∴O1E⊥EF.
∵E在AB上，
∴EF为⊙O1的切线
（3）解法一：存在满足条件的点P.
如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO
=AO
BO
==
∴∠ABO=60︒，
∴∠PCN =∠ABO =60︒
.
M
P
在Rt △PCN 中， cos ∠PCN =1
2
CN PC =， 即
41
2
x x -=, ∴x =83
.
∴PN =CN ·tan ∠PCN =(4-8
3)
∴满足条件的P 点的坐标为(83). 解法二：存在满足条件的点P ，
如右图，在Rt △AOB 中，AB 4. 过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM , 在矩形OMPN 中，ON =PM ，
设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ， ∵∠PCN =∠ABO ，∠PCN =∠AOB =90︒. ∴△PNC ∽△AOB ， ∴
PC CN AB BO =，即442
x x
-=. 解得x =8
3
.
又由△PNC ∽△AOB ，得
8
3
4
PN PC AO AB ==，
∴PN =
∴满足条件的P 点的坐标为(83
（2010•泰州）如图，⊙O是O为圆心，半径为5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；
（2）若k=-12，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．
（2010•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点．（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．
（2009•永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（-3，0），经过A、O两点作半径为5/2的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
相切
如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．
1. （东营）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），
过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM AN AB AC
=，即43x AN
=．
∴ AN ＝4
3
x ．
∴ S =2
133248
MNP AMN S S x x x
∆∆==
⋅⋅=．（0＜x ＜4） （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2
1
MN ． 在Rt △ABC 中，BC
． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM MN AB BC
=，即45x MN
=．
∴ 54MN x =
，∴ 5
8
OD x =． 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5
8
MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，
∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC
=．∴ 55258324x
BM x ⨯==，25
424
AB BM MA x x =+=+=．
∴ x ＝
4996． ∴ 当x ＝49
96
时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．
∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC
∴ △AMO ∽ △ABP ．
B
D 图 2
P 图 3
B
图 1
∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜x ≤2时，2Δ8
3
x S y PMN ==．
∴ 当x ＝2时，2332.82
y =
⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．
∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，
∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．
∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ． ∴
2
PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪
⎝⎭
．∴
()2
322
PEF S x ∆=
-MNP PEF
y S S ∆∆=-＝
()2
22339266828
x x x x --=-+-． 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2
98283x ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
．
∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当8
3
x =时，y 值最大，最大值是2．
图 4
（无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．
解：（1）过C作CD x
⊥轴于D，
1
OA t
=+，1
OC t
∴=+，
1 cos60
2t
OD OC +
∴==，
3(1
sin60
DC OC
==，
∴点C的坐标为
1)
22
t t
⎛⎫
++
⎪
⎪
⎝⎭
，．················（2分）
（2）①当P与OC相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC
⊥，
cos30 OC OP
∴=，
3 13
t
∴+=，1
t
∴=
②当P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC
=
过P作PE OC
⊥于E，则
1
2
OE OC
=，
133
cos30
2
t
OP
+
∴==．③当P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，
则PF OC
⊥，FG CD
∴==，
3(1
sin30
PC PF OP
∴==+．
过C作CH y
⊥轴于H，则222
PH CH PC
+=，
22
2
13
3
22
t⎫⎛
+
⎛⎫
∴+-=+
⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
化简，得2
(1)1)270
t t
+-++=，
解得1
t+=
9310
t=-<，1
t
∴=．∴所求t的值是1，1和1．
2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线BF 交⊙O 于点F ，且∠ABF ＝∠AEC ，则直线BF 对应的函数表达式为 ．
【答案】1-=x y ，1+-=x y
23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直线BC上，⊙A是以A为圆心，AD为半径的圆．
（1）求a的值；
（2）求证：⊙A与BC相切；
（3）在x负半轴上是否存在点M，使MC与⊙A相切，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由；（4）线段AD与y轴交于点E，过点E的任意一直线交⊙A于P、Q两点，问是否存在一个常数K，始终满足PE•QE=K，如果存在，请求出K的值；若不存在，请说明理由
．
（2010安徽蚌埠）已知⊙O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于点A 。

⑴ 求HAO ∠sin 的值；
⑵ 如图，设⊙O 与x 轴正半轴交点为P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交x 轴于点G ，若DEF ∆是以EF 为底的等腰三角形，试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化，请说明理由。

⑴
（2）试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化，请说明理由.
解：当E 、F 两点在OP 上运动时（与点P 不重合），CGO ∠sin 的值不变 过点D 作EF DM ⊥于M ，并延长DM 交O Θ于N ，连接ON ， 交BC 于T 。

因为DEF ∆为等腰三角形， EF DM ⊥， 所以DN 平分BDC ∠
所以弧BN=弧CN ，所以BC OT ⊥， 所以MNO CGO ∠=∠ 所以CGO ∠sin =5
3
sin ==∠ON OM MNO
5
3
sin ==
∠AO HO HAO
即当E 、F 两点在OP 上运动时（与点P 不重合），CGO sin 的值不变。

x
x
（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数.
（2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘相切？
（3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由.
【答案】解：（1）在Rt △AOB 中：
tan ∠OAB=
3
3
31212=
=OA OB ∴∠OAB=30° x
（2）如图10，连接O ‘
P ，O ‘
M. 当PM 与⊙O ‘
相切时，有∠PM O ‘
=∠PO O ‘=90°， △PM O ‘≌△PO O ‘。

（1）知∠OBA=60°，∵O ‘M= O ‘B ，∴△O ‘BM 是等边三角形，∴∠B O ‘M=60°，
可得∠O O ‘P=∠M O ‘P=60°，∴OP= O O ‘·tan ∠O O ‘P=6×tan60°=36，又∵OP=32t ，∴
32t=36，t=3，即：t=3时，PM 与⊙O ‘相切.。

x
（3）如图9，过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ∴QE=
2
1
AQ=2t AE=AQ·cos ∠OAB=4t×
t 322
3
=∴OE=OA-AE=312-32t ∴Q 点的坐标为（312-32t ，2t ）
S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ
=)32312(22
12)32312(21)212(32213121221t t t t t t -⋅-⋅---⋅⋅-⋅⋅
=372336362
+-t t =318)3(362
+-t （60＜＜t ）
当t=3时，S △PQR 最小=318
（4）分三种情况：如图11.
○
1当AP=AQ 1=4t 时， ∵OP+AP=312 ∴32t+4t=312
∴t=
2
336+
或化简为t=312-18 ○
2当PQ 2=AQ 2=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ， ∴PA=2AD=2A Q 2·cosA=34t 即32t+34t =312 ∴t=2
○
3当PA=PQ 3时，过点P 作PH ⊥AB 于点H AH=PA·cos30°=（312-32t ）·2
3
=18-3t AQ 3=2AH=36-6t 得36-6t=4t ，
∴t=3.6
12-18时，△APQ是等腰三角形. 综上所述，当t=2，t=3.6，t=3
40。

（2010云南楚雄）已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0），
⊙A C 作⊙A 的切线交x 于点B （－4，0）．
（1）求切线BC 的解析式； （2）若点P 是第一象限内⊙A 上一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP ＝120°，求点G 的坐标；
（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中是否存在点A ，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）连接AC ，∵BC 是⊙A 的切线，∴90ACB ∠=︒． ∴90ACO BCO ACB ∠+∠=∠=︒．
∵90COA COB ∠=∠=︒，∴18090ACO CAO COA ∠+∠=︒-∠=︒，
∴BCO CAO ∠=∠．
∴△BCO ∽△CAO ，∴
CO BO
AO CO
=
． 即2
414CO AO BO =⋅=⨯=，∴2CO =．∴C 点坐标是（0，2）．
设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵该直线经过点B （－4，0）与点C （0，2），
∴402k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得122k b ⎧=⎪
⎨⎪=⎩ ∴该直线解析式为1
22
y x =
+． （2）连接AG ，过点G 作GH AB ⊥．
由切线长定理知
11
1206022
AGC CGP ∠=∠=⨯︒=︒．
在Rt ACG ∆中，∵tan AC
AGC CG
∠=，
∴tan tan 603AC CG AGC =
===
∠︒． 在Rt BOC ∆中，由勾股定理得
BC ===．
∴
BG BC CG =+= 又∵90,BOC BHG CBO CBH ∠=∠=︒∠=∠． ∴BOC ∆∽BHG ∆，∴
HG BG
OC BC
=
，
∴2
23BG OC
HG BC
⨯⋅=
==+．
则23
+
是点G 的纵坐标，
∴1222x +
=+
，解得x = ∴点G
的坐标(2)33
+． (3)如图示，
当A 在点B 的右侧时
∵E 、F 在⊙A 上，∴AE AF =．
若△AEF 是直角三角形，则90EAF ∠=︒，且为等腰直角三角形． 过点A 作AM EF ⊥，在Rt AME ∆中由三角函数可知
sin sin 452AM AE AEM =⋅∠=︒== 又∵BOC ∆∽ BMA ∆， ∴
OC BC
AM BA
=
，
∴222
BC AM AB OC ⋅===．
∴42
OA OB AB =-=-
， ∴点A
坐标是(
4,0)2
-． 当A 在点B 的左侧时：同理可求点A
坐标是(4,0)-．
（2010广东深圳）如图10，以点M （—1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线3
3533--
=x y 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，求y 轴于点F 。

（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）
（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP ：PH=3：2，求cos ∠QHC 的值；（3分） （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N 。

是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK a =，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由。

（3分）
【答案】【答案】 （1）、如图①，OE =5，2r =，CH =2
（2）、如图②，连接QC 、QD ，则90CQD ∠=︒，QHC QDC ∠=∠ 易知CHP
DQP ∆∆，故
DP DQ
PH CH
=
， 322
DQ
=
，3DQ =，由于4CD =， 3
cos cos 4
QD QHC QDC CD ∴∠=∠==；
（3）、如图③，连接AK ，AM ，延长AM ，
与圆交于点G ，连接TG ，则90GTA ∠=︒ 2490∴∠+∠=︒
34∠=∠，2390︒∴∠+∠=
由于390BKO ∠+∠=︒，故，； 而1BKO ∠=∠，故1∠在AMK ∆和NMA ∆故AMK NMA ∆；
MN AM
AM MK
=
; 即：2
MN MK AM =故存在常数a MK a = 常数4a =
（2010广东茂名）已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．
（1）在⊙O 1内任意作三条弦，其长分别是1l 、2l 、3l ．求证：1l +2l +3l < C ； （3分）
（2）如图，在直角坐标系x O y 中，设⊙O 1的圆心为O 1)(R R ，．①当直线l ：
)0(>+=b b x y 与⊙O 1相切时，求b 的值；②当反比例函数)0(>=
k x
k
y 的图象与⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围．
：
【答案】（1）证明：R l 21≤ ，R l 22≤，R l 23≤．1l ∴+2l +3l C R R =⨯<⨯≤223π，因此，1l +2l +3l < C ．
（第25题备用图）
（2）解：①如图，根据题意可知⊙O 1与x 轴、y 轴分别相切，设直线l 与⊙O 1相切于点M ，则O 1M ⊥l ，过点O 1作直线NH ⊥x 轴，与l 交于点N ，与x 轴交于点H ，又∵直线l 与
x 轴、y 轴分别交于点E （b -，0）、F （0，b ），∴OE ＝OF ＝b ，∴∠NEO ＝45o ，∴∠ENO 1
＝45o ，在Rt △O 1MN 中，O 1N ＝O 1M ÷sin45o ＝R 2，∴点N 的坐标为N （R ，R R +2），把点N 坐标代入b x y +=得：b R R R +=+2，解得：R b 2=
，
②如图，设经过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D ，则由已知，直线OO 1：x y =是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数x
k
y =的图象与⊙O 1直径AD 相交时（点A 、D 除外），则反比例函数x
k
y =
的图象与⊙O 1有两个交点．过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ，过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C ，OO 1＝O 1C ÷sin45o ＝R 2，OA ＝R R +2，所以OB ＝AB ＝
⋅OA sin45o ＝=⋅
+2
2
)2(R R R R 22+，
因此点A 的坐标是A )22,22(R R R R ++
，将点A 的坐标 代入x
k y =，解得：2)22
3
(R k +=．同理可求得点D 的坐标为D )22,22(R R R R --，将点D 的坐标代入x k y =
，解得： 2)223(R k -=。

所以当反比例函数)0(>=k x
k
y 的图象与⊙O 1有两个交
点时，k 的取值范围是：22)22
3()223(R k R +<<-。