二次函数一般式
二次函数一般式化为顶点式的公式
二次函数一般式化为顶点式的公式二次函数是数学中经常遇到的函数类型之一，其一般式表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常系数，且a不等于0。
我们希望将这个一般式化为顶点式的公式，顶点式的公式为：y=a(x-h)^2+k其中，(h,k)是顶点的坐标。
要将一般式化为顶点式的公式，步骤如下：1.找到顶点的横坐标h：由于顶点的横坐标就是二次函数的轴对称线的纵坐标，可以通过公式h=-b/2a找到。
这是因为二次函数的轴对称线的横坐标等于顶点的横坐标，而轴对称线的表达式为x=-b/2a。
2.将顶点的横坐标代入一般式，求得顶点的纵坐标k：将顶点的横坐标h代入一般式，即可求得顶点的纵坐标k，即 k = ah^2 + bh + c。
3.将h和k代入顶点式：将顶点的横坐标h和纵坐标k代入顶点式y=a(x-h)^2+k，即可得到二次函数的顶点式。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何将一般式化为顶点式的公式。
假设有二次函数y=2x^2+4x+1，我们要将其化为顶点式的公式。
首先，根据步骤1h=-b/2a=-4/(2*2)=-1然后，我们将顶点的横坐标h代入一般式，求得顶点的纵坐标k：k = ah^2 + bh + c = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1最后，将h和k代入顶点式y=a(x-h)^2+k：y=2(x-(-1))^2+(-1)=2(x+1)^2-1因此，二次函数y=2x^2+4x+1可以化为顶点式的公式y=2(x+1)^2-1综上所述，要将二次函数的一般式化为顶点式的公式，需要先找到顶点的横坐标h，然后将其代入一般式求得顶点的纵坐标k，最后将h和k 代入顶点式即可。
这种化简的方法可以使我们更方便地研究二次函数的性质和特点，也有助于解题和问题求解。
二次函数一般式坐标公式
二次函数一般式坐标公式
二次函数一般式的坐标公式为：
y = ax²+ bx + c
其中，a、b、c 是常数，x、y 是变量。
如果已知二次函数的一般式，可以通过代入不同的x 值，求出对应的y 值，从而画出函数的图像。
具体步骤如下：
1. 设定x 的取值范围，比如x 取-5 到5。
2. 根据一般式，代入不同的x 值，求出对应的y 值。
比如当x = -5 时，y = a(-5)²+ b(-5) + c。
3. 将每个x 和对应的y 组成一个坐标点，如(-5, y)。
4. 将所有坐标点连成一条曲线，就是二次函数的图像。
需要注意的是，二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
a 的正负决定了抛物线的开口方向，a 越大，抛物线越陡峭；c 是抛物线的纵坐标截距，决定了抛物线与y 轴的交点；b 是抛物线的一次项系数，影响抛物线的平移。
二次函数一般式怎么化顶点式
二次函数一般式怎么化顶点式二次函数一般式和顶点式都是描述二次函数的两种常见形式，它们之间的转化是求解二次函数的重要步骤。
在学习数学、物理等学科时，二次函数是非常重要的知识点，对于解决实际问题和理解某些现象都有很大的帮助。
二次函数是一种二次多项式函数，它的一般式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c $其中a、b、c均为常数，a不等于0。
这个a决定了二次函数的开口方向和大小。
如果a大于0，则代表开口向上，形如一个U形，如果a小于0，则代表开口向下，形如一个倒U形。
比如，二次函数y = 2x^2 + 4x + 1代表开口向上的二次函数。
其中a、h、k均为常数，a不等于0。
这个h和k确定了二次函数的顶点坐标，也就是他们能够描述二次函数的开口方向和大小，以及顶点的位置。
对于已知二次函数一般式，我们需要将其转化为顶点式来描述。
首先，我们需要将一般式中的x配方成一个完全平方数，然后将整个式子移项，利用配方法得到顶点式中的h、k常数。
具体步骤如下：依据因式公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$我们可以将一般式中的二次项配方成一个完全平方数的形式：$ax^2+bx+c=a((\frac{b}{2a}+x)^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$这里，$\frac{b}{2a}$就是完全平方数的前半部分，将$x^2$与它进行配平，剩下的便是完全平方数的后半部分。
2. 将整个式子移项，得到顶点式中的h、k常数。
这里我们需要加减逆运算，将配方得到的式子移项，两边同时加上一个c，也就是一般式中的常数项。
这时，我们的一般式就被转化为了顶点式的形式。
其中，顶点的横坐标为$\frac{-b}{2a}$，纵坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。
例如，已知函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过上面的方法将它转化为顶点式：这里我们将a=2，b=4，c=1代入公式进行求解，然后移项得到h=-1，k=-1。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标
新美加教育：刘德凤 .
二次函数源于生活
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函数
一次函数 反比例函数 二次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
.
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐 标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点的坐标。
.
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让 我
有只 质有
们 的量
热 爱 数
进的 步变
学 吧
化
！
才
会
有只 新有 的不 发断 现的
思 考
数 学 因 思 维 而 耐 人
数 学 因 规 律 而 不 再
才寻枯
会 燥 .
味
17
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（坐标最关键，
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
二次函数的相关公式
二次函数的相关公式二次函数可是中学数学里的一个重要角色呀！咱先来说说二次函数的一般式，那就是 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
这里面的 a、b、c 都有着自己独特的作用。
a 决定了抛物线的开口方向和大小，要是 a 大于 0，抛物线开口向上，像个开心的笑脸；要是 a 小于 0，抛物线开口向下，就像个愁眉苦脸。
b 呢，它和 a 一起影响着抛物线的对称轴，对称轴的公式是 x = -b / （2a）。
c 就是抛物线和 y 轴的交点纵坐标啦，当 x = 0 时，y = c 。
顶点式 y = a（x - h）² + k 也很常用。
这个公式里，（h，k）就是抛物线的顶点坐标。
通过这个式子，咱们能一下子就找到抛物线的顶点，多方便！还有一个交点式 y = a（x - x₁）（x - x₂），这里的 x₁和 x₂是抛物线和 x 轴交点的横坐标。
记得我当年上学的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于二次函数的。
题目给出了一个二次函数的一般式，让我们求出它的顶点坐标和对称轴，还问这个函数有没有最大值或者最小值。
当时我一看这题，心里有点小紧张，不过很快就冷静下来了。
我先把对称轴的公式写出来，算出对称轴，再把对称轴的值代入函数求出顶点的纵坐标，一步步稳稳地做下来。
最后得出答案的时候，心里那叫一个踏实。
咱们在学习二次函数的时候，一定要多做练习题，这样才能熟练掌握这些公式。
比如说，给定一个抛物线的顶点和另一个点的坐标，让我们写出它的顶点式。
这时候就得灵活运用顶点式的特点来解题。
还有啊，实际生活中二次函数也有很多用处呢。
比如说投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用二次函数来描述。
建筑师在设计桥梁的时候，也会用到二次函数的知识来确定桥梁的形状和受力情况。
总之，二次函数的这些公式就像是我们解决数学问题的法宝，只要我们用心去学，用心去用，就能在数学的世界里畅游无阻！所以，同学们，加油吧，把这些公式牢牢地装在我们的脑袋里，让它们为我们的学习和生活服务！。
二次函数一般式交点坐标公式
二次函数一般式交点坐标公式
二次函数一般式交点坐标公式在数学中是用来计算两个二次函数的交点坐标的
公式。
一个二次函数的一般式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数
且a不等于0。
假设有两个二次函数f1(x)和f2(x)，它们的一般式分别为f1(x) =
a1x^2 + b1x + c1和f2(x) = a2x^2 + b2x + c2。
要计算这两个二次函数的交点坐标，首先需要将它们相等，即f1(x) = f2(x)，
然后解方程得到x的值。
将这个x值带入其中一个函数中，就可以得到交点的坐标。
具体地说，根据f1(x) = f2(x)，可以得到一个二次方程的形式：a1x^2 + b1x +
c1 = a2x^2 + b2x + c2。
将它化简为标准二次方程的形式（也就是ax^2 + bx + c = 0），然后使用求根公式或其他求解二次方程的方法，可得到x的值。
设交点的坐标为(x,y)，将得到的x值代入其中一个函数（比如f1(x)）中，可以计算出对应的y值。
这样就得到了交点的坐标。
需要注意的是，当解二次方程时可能会有两个实根、一个实根或者无实根的情况。
例如，如果解方程得到x的两个值x1和x2，那么对应的交点坐标就是 (x1,
f1(x1)) 和 (x2, f1(x2))。
综上所述，二次函数一般式交点坐标公式的基本原则是将两个二次函数相等，
并解方程得到x的值，然后带入其中一个函数求得y的值，从而得到交点的坐标。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达形式：①一般式：y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样，当*=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(*-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(*-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在*轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(*-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(*-*1)(*-*2) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .抛物线与*轴即y=0有交点A〔*1，0〕和 B〔*2，0〕,我们可设y=a(*-*1)(*-*2),然后把第三点代入*、y中便可求出a。
二次函数的一般式是
程 20 x 5 x 2 15 （即 5 x 2 20 x 15 0 ）。反过
来，解方程 5 x 2 20 x 15 0 又可以看作已知二 次函数 y 20 x 5x 2 15 的值为0，求自变量x的值。
我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的 根，但是由于作图或观察可能存在误差，所以由
图象求得的根，一般是近似的。
1.一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 , x2=0.6, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点 2,0和0.6， 0 坐标是 ＿＿＿＿＿.
2
2 y x 2 x 3 的图象，利用图象回答： 6、画出函数 （1）方程 x 2 2 x 3 0的解是什么？ （2）x取什么值时，函数值大于0？ （3）x取什么值时，函数值小于0？
用几何画板进行求解
完成课后习题，其中1、2、3、4题
必做，5、6两题选做。
问题2：作二次函数
y x 2 2x，y x 2 2x 1 ，y x 2 2x 2
的图象，观察图象之间的关系，并思考上述函数图象 与x轴有公共点吗？若有，则公共点的横坐标是多少？ 当x取公共点的横坐标时，函数值时多少？由此，你能 得出相应的一元二次方程的根吗？ 用几何画板进行求解
二次函数的一般式是：
y ax bx c
2
( c 0)
当 y 0 时，
ax bx c 0
2
这是什么方程？
一元二次方程与二次函数有什么关系？
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向
击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞 行高度 y (单位:m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有关系:
二次函数的一般式
二次函数的一般式
二次函数一般式的形式通常为y=ax²+bx+c，又称作二次函数的解析式。
公式：
二次函数一般式y=ax²+bx+c
可设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c
二次公式为：x=−b±√b2−4ac
2a
求解方法：
知道3个点的坐标了，分别代入这个解析式，就可以得出3个方程，3个方程，3个未知数，就可以求出a，b，c了。
其他求法：
如果3个交点中有2个交点是二次函数与x轴的交点。
那么，可设这个二次函数解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（x1，x2是二次函数与x轴的2个交点坐标），根据另一个点就可以求出二次函数解析式。
如果知道顶点坐标为（h，k），则可设：y=a（x-h）²+k，根据另一点可求出二次函数解析式。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
一般式二次函数的图像和性质
二次函数与三角函数结合，可以用来解决周期性运动 等问题。
与微积分结合
在微积分中，二次函数是最简单的一类函数，可以用 来理解和学习其他更复杂的函数。
与线性代数结合
二次函数常常出现在线性代数中，如矩阵的特征值、 行列式等。
谢谢观看
二次函数的根的性质
总结词
二次函数的根的乘积等于常数项除以系数a， 根的和等于系数b除以系数a。
详细描述
根据Vieta定理，二次函数$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足$x_{1}
cdot x_{2} = frac{c}{a}$，$x_{1} + x_{2} = frac{b}{a}$。
一般式二次函数的图像和性质
目录
• 二次函数的一般形式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的增减性 • 二次函数的根的性质 • 二次函数的应用
01
二次函数的一般形式
二次函数的一般定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
对称轴与系数关系
对称轴的x坐标可以通 过系数a、b、c计算得 出，对称轴的位置与二 次项系数a的正负有关。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向
由二次项系数a决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 。
总结词
二次函数的开口方向由系数a的正负决定，影响函数的增减性 。
二次函数的开口大小
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。$a$、$b$和$c$被称为 二次函数的系数。
二次函数知识点复习
3、最大或最小值：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= = 4ac b2
b 2a
，y最小值
4a
当a<0时，函数有最大值，并且当x=
b 2a
= 4ac b2
y最大值
4a
函数值的正、负性
如图1：当x＜x1或x＞x2时，y ＞ 0； 当x1＜x＜x2时，y＜0；
如图2：当x1＜x＜x2时，y＞0； 当x＜x1或x＞x2时，y ＜ 0；
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只 有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点， 则c=0；
韦达定理
（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），
对称轴：直线x= b源自2ab 4ac b2
顶点坐标：( 2a , 4a
)
（2）顶点式：y=a（x+m）2+k（a≠0）， 对称轴：直线x=－m； 顶点坐标为（－m，k）
（3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x= x1x2 2
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速瞬移,很快就回到了万水府,白重炙让沥泉尊者在万水府等着,自己一人传送去了噬魂城！ 当白重炙在天台将屠神刀内の那只幽灵释放出来の时候,就连噬大人の眉梢都微微蹙了起来,旁边の九大人却浑身冰冷,大气都不敢吐出！ "这不像恶魔君主,也不像恶魔界の产物,反而感觉有点 像幽冥界の怪物,但是又和幽冥不太像.奇怪了,你呀击杀恶魔
二次函数常用公式
二次函数常用公式二次函数可是咱中学数学里的“大明星”，它的常用公式那可太重要啦！先来说说二次函数的一般式：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
这里的 a、b、c 可都有各自的作用。
a 决定了抛物线的开口方向和大小，要是 a 大于 0 ，抛物线开口朝上，像个乐观向上的孩子；要是 a 小于 0 ，抛物线开口朝下，有点小沮丧的样子。
b 呢，它和 a 一起决定着抛物线的对称轴位置，对称轴的公式是 x = -b / （2a）。
c 就是抛物线与 y 轴的交点纵坐标啦，也就是抛物线在 y 轴上截距。
再说说顶点式：y = a（x - h）² + k 。
这个公式能直接告诉咱们抛物线的顶点坐标（h，k）。
就像有一次我在课堂上讲这个公式，有个同学突然说：“老师，这就好像是给抛物线找到了它的‘家’一样，一下子就知道它的顶点在哪里啦！”我一听，嘿，这孩子形容得真贴切！通过这个公式，我们能很方便地画出抛物线的大致形状。
还有交点式：y = a（x - x₁）（x - x₂），其中 x₁和 x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
这在解决抛物线与 x 轴交点问题时特别好用。
咱们来做道题感受一下。
比如说有个二次函数图像经过点（1，0）、（3，0）和（0，3），那我们可以设这个二次函数的交点式为 y = a（x - 1）（x - 3），然后把点（0，3）代入，就能求出 a 的值，进而得到完整的二次函数表达式。
在实际生活中，二次函数的应用也不少呢。
比如说投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用二次函数来模拟。
还有拱桥的形状，也常常是二次函数的曲线。
学习二次函数的常用公式，就像是掌握了一把打开数学世界大门的钥匙。
同学们，加油啊，和这些公式交上朋友，让数学变得有趣起来！。
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随堂检测
y=3 x2
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 4 .
y
注意注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-
5 4
h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点
3 2
式的特殊形式.
1
-4 -3 -2 -13-O1 1 2 x
随堂检测
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
九年级上册
22.1.4.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识回顾
用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和
（-2，-12）， 所以
k+b=3， -2k+b=-12.
课堂探究
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数解析式.
典例精析
例 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. a-b+c=0， a+b+c=0， c=1.
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1.
本课小结
已知条件 ①已知三点坐标
待定系数法 求二次函数解析式
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或对 称轴或最值
2
(2)△ABC的面积是6.
y
OA C
x
B
布置作业
P40练习1、2
课堂探究
顶点法求二次函数的解析式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(xh)2+k得
y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1. ∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
课堂探究
一般式法二次函数的解析式
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几
个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3 -2 -1 0
1
2
y
0
1
0
-3 -8 -15
课堂探究
待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
课堂探究
一般式法求二次函数解析式的方法
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
课堂探究
交点法二次函数的解析式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式
预习反馈
（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图象过（0，-3）
解：已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过 （0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
解得 k=5，b=-2.
所以一次会用待定系数法求二次函数的解析式. 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
预习反馈
根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式
（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3) 解：已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y 2 1 -4 -3 -2 -1--O12 1 2 x -3 -4 -5
课堂探究
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数解析式.
y=-2(x-1)2+6
.
顶点坐标是（1，6）
随堂检测
3.综合题：如图，已知二次函数y=- 1 x2 +bx+c 的图象经过A(2，0)，
2
B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与 x轴交于点C，连接BA，BC，求 △ABC的面积．
(1) y 1 x2 4x 6;
③已知抛物线与x轴的 两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
本课小结
y o
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标和图象上任意一点，通 常选择顶点式。
x
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式.
.解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以
可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横
坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二 次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0）， （-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3，
a=-1， 解得 b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.