向量空间证明(精选多篇)
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。
这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法2解：因为x+y+z=0x=-y-zy=y+0xzz=0xy+z(x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xzy,z为任意实数则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
篇二:《空间向量在几何证明题解法》空间向量在几何体中例题1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。
（1）求证：EF⊥CD；（2）证明：PA//平面DEF3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 12，AB1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
{如何证明是向量空间}.16．（本题满分14分）求ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明引言空间向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了向量的线性相关性和线性无关性之间的关系。
本文将探讨空间向量基本定理的推论证明，深入分析其数学原理和推导过程。
空间向量基本定理空间向量基本定理是指：任意n个非零向量组成的集合S中，如果存在一个向量可以由其余n-1个向量线性表示，那么这n个向量线性相关。
推论证明推论1：如果n个向量中存在一个零向量，那么这n个向量线性相关。
证明：假设n个向量组成的集合S中存在一个零向量0。
我们可以将零向量0表示为其他n-1个向量的线性组合，即存在一组不全为零的实数c1, c2, …, cn-1，使得：0 = c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-1 * vn-1 其中v1, v2, …, vn-1为S中的其他n-1个向量。
由于0向量的存在，上述等式左边为零向量，而右边的线性组合也为零向量。
因此，我们可以得到以下等式：c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-1 * vn-1 = 0 由于c1, c2, …, cn-1不全为零，所以这个等式表明n个向量线性相关。
推论2：如果n个向量中存在一个向量可以由其余n-2个向量线性表示，那么这n个向量线性相关。
证明：假设n个向量组成的集合S中存在一个向量vn可以由其余n-2个向量线性表示，即存在一组不全为零的实数c1, c2, …, cn-2，使得： vn = c1 * v1 +c2 * v2 + … + cn-2 * vn-2 其中v1, v2, …, vn-2为S中的其他n-2个向量。
我们可以将上述等式重写为如下形式：c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-2 * vn-2 - vn = 0 注意到上述等式左边是n-1个向量的线性组合，而右边为零向量。
因此，我们可以得到以下等式：c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-2 * vn-2 - vn = 0 由于c1, c2, …, cn-2不全为零，所以这个等式表明n个向量线性相关。
向量积分配律的证明(精选多篇)
向量积分配律的证明(精选多篇)第一篇：向量积分配律的证明向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a×b=|a|·|b|·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂直部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑用向量方法证明空间中的平行与垂直1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C >A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥αC．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是( A >A．①③ B．①④C．②③ D．②④3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAPA．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2>C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 .解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg解读：由已知错误!，xHAQX74J0X解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4.7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，所以a⊥b，又|a|＝2错误!，|b|＝错误!，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|·|b|＝2错误!×错误!＝2错误!.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC ＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.Zzz6ZB2Ltk证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.dvzfvkwMI1则O(0,0,0>，A(0，－8,0>，B(8,0,0>，C(0,8,0>，F(4, 0,3>．由题意，得P(0,0,6>，E(0，－4,3>，G(0,4,0>．rqyn14ZNXI 因为错误!＝(8,0,0>，错误!＝(0，－4,3>，EmxvxOtOco设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z>，则错误!，即错误!，SixE2yXPq5取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4>．由错误!＝(－4,4，－3>，得n·错误!＝0.6ewMyirQFL又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.9.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．kavU42VRUs(1>求证：PB∥平面EFH；(2>求证：PD⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，所以A(0,0,0>，B(2,0,0>，C(2,2,0>，D(0,2,0>，P(0,0,2>，E(0,0,1>，F(0,1,1>，H(1，0,0>．y6v3ALoS89(1>因为错误!＝(2,0，－2>，错误!＝(1,0，－1>，M2ub6vSTnP所以错误!＝2错误!，因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.(2>因为错误!＝(0,2，－2>，错误!＝(1,0,0>，错误!＝(0,1,1>，0YujCfmUCw 所以错误!·错误!＝0×0＋2×1＋(－2>×1＝0，eUts8ZQVRd 错误!·错误!＝0×1＋2×0＋(－2>×0＝0，sQsAEJkW5T所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
重点中学高三数学优质课件精选利用空间向量证明平行垂直问题
7．证明两条直线垂直，只要证明这两条直线的方向向量 __垂__直__．
8．空间中的平行共有：线__线__平__行__、__线__面__平__行__、__面__面__平__行__.
9．空间中的垂直共有：线__线__垂__直__、__线__面__垂__直__、__面__面__垂__直__.
则 n·C→B1＝0，n·C→D1＝0.
即－y＋z＝0 －x＋z＝0，
令 z＝1，
解得 n＝(1,1,1)．
∴A→1B·n＝0，A→1D·n＝0.
又∵A1B∩A1D＝A1，且 A1B⊂平面 A1BD，
A1D⊂平面 A1BD，
∴平面 A1BD∥平面 CB1D1.
跟踪训练 3．如图，在四棱锥S—ABCD中，底
2．已知A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,2，－1)，下列四个 点中在平面ABC内的点是( )
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
n·A→B＝－x＋y＝0， ∴n·B→C＝x－z＝0，
令 x＝1，得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
利用空间向量证明平行问题
在正方体ABCD— A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平 面CB1D1.
证明：如图，取A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线 分别作x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
定．
设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 a和b， P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序 实数对(x，y)，使得______O_→_P_＝__x_a_＋__y_b__.
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
空间向量证明立体几何问题[ppt课件]
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向量的模表示向量的大小，计算公 式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$， 其中x、y、z分别为向量在三个坐 标轴上的分量。
向量的加法与数乘
向量的加法
两个向量相加，对应坐标相加即可，例如： $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$。
04
空间向量的向量积
向量的向量积的定义与性质
总结词
了解向量积的定义和性质是解决空间几何问题的关键。
详细描述
向量积是两个向量通过一个角生成的第三个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方 向由右手定则确定。向量积具有反交换律、分配律等性质，这些性质在解决空间几何问题时非常重要 。
向量的向量积的运算律
向量的数量积的运算律
总结词
掌握向量的数量积的运算律，包括分 配律、结合律和交换律。
详细描述
向量的数量积满足分配律、结合律和 交换律，这些运算律有助于简化复杂 的向量运算。
向量的数量积的应用
总结词
了解向量的数量积在解决实际问题中的应用，包括力的合成与分解、速度和加速度的研究等。
详细描述
通过向量的数量积可以方便地解决力的合成与分解问题，以及研究速度和加速度等问题，为解决实际问题提供了 有效的数学工具。
性质
数乘运算满足结合律、交换律和分配律。
向量的共线与共面
定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$vec{a}$可 以表示为向量$vec{b}$的$k$倍，则称向量 $vec{a}$与向量$vec{b}$共线。
向量空间：基础概念和一些常见定理的证明
向量空间：基础概念和一些常见定理的证明向量空间：基础概念和一些常见定理的证明2023年，随着人工智能技术的不断发展，向量空间的概念和应用正在变得越来越重要。
向量空间是数学中的一种重要的结构，它描述了一个有限维数的线性空间，其中的元素是向量，可以进行加、减、数乘等运算。
本文将对向量空间的基础概念和一些常见定理的证明进行介绍。
一、基础概念1.向量向量是向量空间中的元素，它可以表示为n维数组。
该数组的每个元素都是实数或复数，如：v = (x1, x2, ..., xn)其中x1, x2, ..., xn是实数或复数。
由于向量只包含数字，因此我们可以进行加、减、数乘等运算。
例如，给定两个向量u和v，我们可以定义它们的加法为：u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)而数乘运算则定义为：αv = (αx1, αx2, ..., αxn)其中，α是一个实数或复数。
2.向量空间向量空间是一个形如V = {v1, v2, ..., vn}的集合，其中的元素是向量。
这个集合必须满足下列条件：• 加法的封闭性：对于任意的u, v∈V，有u+v∈V。
• 数乘的封闭性：对于任意的v∈V和实数α，有αv∈V。
• 向量加法的交换律：对于任意的u, v∈V，有u+v = v+u。
• 向量加法的结合律：对于任意的u, v, w∈V，有(u+v)+w =u+(v+w)。
• 存在一个零向量0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0 = v。
• 对于任意的v∈V，存在它的相反元-v∈V，使得v+(-v) = 0。
这些性质保证了向量空间的定义是符合数学规律的。
3.基一个向量空间的基是一个向量的有限序列，它可以表示出这个空间的所有向量。
对于一个n维向量空间V，它的基是一个包含n个线性无关的向量的集合B = {b1, b2, ..., bn}。
一个向量v可以表示为：v = α1b1 + α2b2 + ... + αnbn其中α1, α2, ..., αn是实数或复数。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明一、空间向量基本定理概述空间向量基本定理是向量空间中的一个重要定理，它阐述了向量空间中的向量可以通过基向量的线性组合来表示。
空间向量基本定理对向量空间的性质和研究具有深远的影响，为后续的推论证明提供了理论基础。
二、空间向量基本定理的推论1.线性组合与线性无关线性组合是指向量空间中的向量通过基向量的线性组合得到的向量。
线性无关是指一组向量无法通过线性组合得到零向量。
根据空间向量基本定理，任何向量都可以表示为基向量的线性组合，因此基向量是线性无关的。
2.线性相关与线性无关线性相关是指一组向量可以通过线性组合得到零向量，而线性无关则相反。
根据空间向量基本定理，基向量是线性无关的，因此它们无法通过线性组合得到零向量。
3.基向量与坐标表示基向量是空间向量基本定理中的重要概念，它们可以用来表示空间中的任意向量。
任何一个向量都可以表示为基向量的线性组合，即坐标表示。
坐标表示使得我们可以用一个有序数对（或更高维的有序数组）来表示空间中的向量，方便计算和分析。
三、推论证明过程1.引理1：线性组合与线性无关证明：假设存在一组线性无关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，即β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
由于α1，α2，...，αn是线性无关的，所以存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
但这时β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，与β线性无关的定义矛盾。
因此，假设不成立，得证。
2.引理2：线性相关与线性无关证明：同引理1，假设存在一组线性相关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β不能表示为这组线性相关向量的线性组合。
则存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
但这与β不能表示为这组线性相关向量的线性组合的假设矛盾。
向量空间证明(完整版)
向量空间证明向量空间证明29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面pa⊥平面ab，△ab是以a为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，a的中点，a＝16，pa＝p＝10.设g是o的中点，证明：fg∥平面boe.证明：如图，连接op，因为pa＝p，ab＝b，所以po⊥a，bo⊥a，又平面pa⊥平面ab，所以可以以点o为坐标原点，分别以ob，o，op所在直线为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系o-xz .则o，a，b，，p，e，f．由题意，得g．→＝，oe→＝，因为ob设平面boe的一个法向量为n＝，→n·ob＝0?x＝0则?，即?，→＝0?－4＋3z＝0?oe?n·取＝3，则z＝4，所以n＝．→＝，得n·→＝0. 由fgfg又直线fg不在平面boe内，所以fg∥平面boe.9.如图，四棱锥p-abd的底面为正方形，侧棱pa⊥底面abd，且pa＝ad＝2，e，f，h分别是线段pa，pd，ab的中点．求证：pb∥平面efh；求证：pd⊥平面ahf.证明：建立如图所示的空间直角坐标系a-xz，所以a，b，，d，p，e，f，h．→＝，eh→＝，因为pb→＝2eh→，所以pb因为pb?平面efh，且eh?平面efh，所以pb∥平面efh.→＝，ah→＝，af→＝，因为pd→·→＝0×0＋2×1＋×1＝0，所以pdaf→·→＝0×1＋2×0＋×0＝0， pdah所以pd⊥af，pd⊥ah，又因为af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.第五篇：第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直一、二面角二面角l，若?的一个法向量为m，?的一个法向量为n，则os?,，二面角的大小为?m,n?或?m,n?例1．如图，正三棱柱ab?a1b11中，e为bb1的中点，XX1?a1b1，求平面a1e与平面a1b11所成锐角的大小。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明
（最新版）
目录
1.空间向量基本定理的概念和意义
2.空间向量基本定理的推论证明
3.空间向量基本定理的应用举例
4.空间向量基本定理在几何和物理中的重要性
正文
一、空间向量基本定理的概念和意义
空间向量基本定理是指在空间中，任意一个向量都可以表示为三个线性无关向量的和。
这个定理在空间向量的研究和应用中具有非常重要的地位，它为我们处理空间中的向量问题提供了一种有效的方法。
二、空间向量基本定理的推论证明
为了证明空间向量基本定理，我们可以通过构造一个特定的例子来进行推导。
假设在空间中有四个不共面的点 O、A、B、C，我们以 OA、OB、OC 为基底来表示空间中的向量。
对于任意一个向量 P，我们可以将它表示为三个实数 x、y、z 的和，即 P=x*OA+y*OB+z*OC。
由于 OA、OB、OC 是线性无关的，所以 x、y、z 也是唯一的。
这就证明了空间向量基本定理的正确性。
三、空间向量基本定理的应用举例
空间向量基本定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，空间向量基本定理可以用来表示和计算物体在三维空间中的位置和姿态；在物理学中，空间向量基本定理可以用来描述物体在空间中的运动状态和受力情况。
四、空间向量基本定理在几何和物理中的重要性
空间向量基本定理在几何和物理中具有非常重要的地位。
它为我们研究和处理空间中的向量问题提供了一种有效的方法和工具。
空间向量基本定理证明
空间向量基本定理证明引言在向量空间中，空间向量基本定理是一个重要的定理，它描述了空间中的向量组是否能够生成整个向量空间。
本文将对空间向量基本定理进行证明，并详细解释其原理和应用。
空间向量基本定理的表述设V是n维线性空间，S是V的一个有限维子空间。
如果S的一组基向量可以扩充为V的一组基向量，则称S在V中稠密。
空间向量基本定理的证明步骤1：假设线性空间V是n维的，S是V的m维子空间，并且m < n。
步骤2：假设S有一组基底{v1, v2, …, vm}。
步骤3：将这组基底扩充为V的一组基底{v1, v2, …, vm, w1, w2, …, wn-m}，其中w1, w2, …, wn-m是线性无关的。
步骤4：对于任意一个属于V的向量x，可以表示为x = a1v1 + a2v2 + … + amvm + b1w1 + b2w2 + … + b(n-m)wn-m。
步骤5：由于w1, w2, …, wn-m是线性无关的，所以只有当b1 = b2 = … =b(n-m) = 0时，才能使得x属于S。
步骤6：因此，S的一组基底可以扩充为V的一组基底，即S在V中稠密。
空间向量基本定理的应用空间向量基本定理在线性代数和几何学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 判断向量组是否生成整个空间通过空间向量基本定理，我们可以判断一个给定的向量组是否能够生成整个空间。
如果给定的向量组可以扩充为该空间的一组基底，则说明该向量组能够生成整个空间；否则，说明该向量组不能生成整个空间。
2. 寻找子空间的补空间在线性代数中，我们经常需要寻找一个给定子空间的补空间。
通过使用空间向量基本定理，我们可以找到一个与给定子空间正交且和该子空间直和为整个空间的补子空间。
3. 确定线性相关性通过应用空间向量基本定理，我们可以确定一个给定向量组是否线性相关。
如果给定向量组无法扩充为整个空间的一组基底，则说明该向量组线性相关；否则，说明该向量组线性无关。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明空间向量基本定理是线性代数中的重要定理，它说明了任一n 维向量空间中的任一基底都具有相同的维数，即n。
推论证明如下：假设V是一个n维向量空间，B1和B2是V的两个基底。
我们需要证明B1和B2具有相同的维数n。
首先，我们可以证明B1与B2生成的子空间相等。
令B1={v1, v2, ..., vn}和B2={u1, u2, ..., un}，由于B1是V的基底，所以任意向量v∈V可以由B1的向量线性组合得到：v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn同样地，任意向量v∈V也可以由B2的向量线性组合得到：v = b1u1 + b2u2 + ... + bnu_n我们需要证明任意向量v∈V都可以由B2的向量线性组合得到。
由于V本身是一个向量空间，所以我们只需要证明B2的向量线性组合满足向量空间的定义即可。
首先，我们可以将B2的向量线性组合写为：v = b1u1 + b2u2 + ... + bnu_n而B1又是向量空间V的基底，所以我们可以将B1的向量线性组合写为：v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn由于V是一个向量空间，所以v = v。
因此，我们可以将上面两个等式相等：a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1u1 + b2u2 + ... + bnu_n根据向量的线性无关性质，我们可以得出：a1v1 + a2v2 + ... + anvn - (b1u1 + b2u2 + ... + bnu_n) = 0由于B1和B2都是V的基底，所以它们是线性无关的。
因此，上面等式只有当每个系数都为零时才成立，即：a1 = a2 = ... = an = b1 = b2 = ... = bn = 0这说明B1的每个向量都可以由B2的向量线性组合得到。
同样地，我们也可以证明B2的每个向量都可以由B1的向量线性组合得到。
因此，B1与B2生成的子空间相等。
空间向量证明立体几何问题
2 1 2 2
3．夹角公式
cos a b
ab |a ||b|
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a3 2 b12 b2 2 b3 2
4、两个向量平行的条件
a || b x1 x 2 , y1 y2 , z1 z 2 ( R )
x 2z 解得 y0
A1 z B1 C1
D1
取z =1得平面OA1D1的法向 量的坐标n=(2,0,1)
A
A O
y D
B x
C
5、两法向量所成的角与二面角的关系
n1
l
n2
n1
l
n2
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，
由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、
DB1 (1,1,1).
解得n (1,1,2) x DB1 n 1 1 2 0, DB1 n , DB1 // 平面A1C1 E.
题型二：面面平行
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1
D
A
D1
X
A 1
空间向量证明 立体几何问题
1.空间向量的直角坐标运算
若a (a1, a2 , a3 )， b (b1, b2 , b3 ) a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) 则：
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )( R)
易知，面SBA 的法向量n1 AD (0, ,0), 2 1 1 x A y CD (1, ,0), SD (0, ,1) D 2 2 设平面 SCD的法向量 n2 ( x, y , z ), 由n2 CD, n2 SD , 得： y x 0 2 n1 n2 6 解得： n ( 1 , 2 , 1 ) cos n1 , n2 , 2 y | n1 || n2 | 3 z0 2 6
向量空间证明(精选多篇)
经典合同向量空间证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日向量空间证明向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。
这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法2解：因为x+y+z=0x=-y-zy=y+0*zz=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z第 2 页共 21 页y,z为任意实数则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.第 3 页共 21 页因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方(2)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^23已知ef是梯形abcd的中位线，且ad//bc，用向量法证明梯形的中位线定理过a做ag‖dc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=½向量bg又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质)∴向量pf=½(向量ad+向量gc)∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)第 4 页共 21 页∴向量ef=½(向量ad+向量bc)∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bppb+pc=2pd=appa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+pe第 5 页共 21 页of=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp由第一问结论2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2ap+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)第二篇：XX年高考数学空间向量证明平行问题4.2 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．?（1）若有直线l, 点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l?????????????上取ab?a，则对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得ap?tab，这?样，点a和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线第 6 页共 21 页??交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面α上任意一点，由平面向量基??????本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得op?xa?yb，这样，点o与方向??向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()a．(1,2,3)b．(1,3,2)c．(2,1,3)d．(3,2,1)2. 从点a(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长ab＝34，则b点的坐标为()a．(－9，－7,7)b．(18,17，－17)c．(9,7，－7)d．(－14，－19,31)二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．??2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点a的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???第 7 页共 21 页⊥u2．2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???⊥v2．????若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//α?u⊥v，l⊥α???u//vb分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。
空间向量的坐标证明
空间向量的坐标证明一、引言空间向量是三维空间中的一个重要概念，它描述了物体在空间中的位置和方向。
坐标是用来表示向量的一种方式，通过坐标可以准确描绘向量的特征。
本文将探讨空间向量的坐标，并给出相关证明。
二、空间向量的坐标定义在三维空间中，一个向量可以由其在坐标系下的投影表示。
我们选取一个点作为坐标原点O，并建立三条互相垂直的坐标轴。
设向量A在x轴上的投影为Ax，在y轴上的投影为Ay，在z轴上的投影为Az，那么向量A在这个坐标系下的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
三、坐标证明为了证明坐标的准确性，我们需要从两个方面进行论述：向量的相等性和向量的运算。
1. 向量的相等性证明假设在三维空间中，有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
如果A和B相等，即A=B，那么它们在三个方向上的投影也应该相等，即Ax=Bx，Ay=By，Az=Bz。
反之，如果两个向量在每个方向上的投影相等，即Ax=Bx，Ay=By，Az=Bz，那么我们可以得出结论A=B。
2. 向量的运算证明设向量A和B分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，我们将证明向量的加法和数乘运算在坐标系下的等价性。
(1) 向量的加法设向量C=A+B，其坐标分别为(Cx, Cy, Cz)。
根据向量的加法定义，Cx=Ax+Bx，Cy=Ay+By，Cz=Az+Bz。
通过坐标运算可知向量C的坐标与向量A和B在对应方向上的坐标之和相等，符合向量的加法运算规律。
(2) 数乘运算设向量D=ka，其中k为常数，向量a的坐标为(ax, ay, az)，向量D的坐标为(Dx, Dy, Dz)。
根据数乘运算定义，Dx=k*ax，Dy=k*ay，Dz=k*az。
通过坐标运算可知向量D的坐标与向量a的坐标在每个方向上都相乘得到，符合数乘运算规律。
通过以上证明，我们可以得出结论：在特定坐标系下，向量的坐标能够准确地描述向量的特征，并且满足向量的相等性和运算规律。
空间向量法解决立体几何证明
空间向量法解决立体几何证明空间向量法是一种运用向量的几何性质进行证明的方法，它以向量为基本工具，通过对向量的运算和性质的利用来解决立体几何的问题。
它不仅可以简化证明过程，还能够准确地描述空间中的点、线、面等几何元素的关系，使证明更加直观和清晰。
一、空间向量的定义和性质：在空间中，我们可以用向量表示点、线、面等几何元素，同时向量之间也可以进行加减、乘除等运算。
1.向量的定义：向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过两点确定，也可以利用坐标表示。
2.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3.共线向量：如果一个向量与另一个向量成正比例，则它们是共线向量。
4.零向量：即向量的大小为0，没有方向。
5.向量的加法和减法：向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；向量的减法可以通过加上相反向量来实现。
6.向量的数量积和向量积：数量积是两个向量的数量乘积，向量积是两个向量的叉乘积。
二、空间向量法的应用：1.证明平面垂直或平行关系：通过计算两个向量的点积来判断它们是否垂直，如果点积为0，则说明两个向量垂直；如果点积为非零常数，则说明两个向量平行。
2.求线段的中点：设线段AB的中点为M，可以通过向量加法来计算中点坐标，即M=(A+B)/23.证明两个向量共线：如果一个向量和另一个向量成正比例，则说明它们共线，可以通过向量的除法来验证。
4.求直线的方程：可以通过设定直线上的一点和与直线平行的向量来确定直线的方程，利用向量法可以方便地表示直线的方向和位置关系。
5.判断四点共面：通过计算四个向量的混合积来判断四点是否共面，如果混合积为0，则说明四点共面。
6.求空间三角形面积：可以通过向量的叉乘来计算三个不共线点所确定的面积，公式为S=1/2*，AB×AC。
三、空间向量法的证明步骤：1.设定要证明的几何问题，明确所要证明的结论。
2.根据所给信息，用向量来表示图中的几何元素，建立向量方程或相关关系。
第八章第7讲空间向量在证明空间位置关系中的应用
第7讲 空间向量在证明空间位置关系中的应用1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量为v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.1．利用⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0n ·b ＝0，列出关于n ＝(x ，y ，z )的方程组，即由x ，y ，z 为未知数的两个三元一次方程组成的不定方程组，根据其特点令其中一个为非零实数．即可求出其它两个．例如令z ＝z 0(z 0≠0)．可求出x ＝x 0，y ＝y 0，则法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)．2．利用向量方法求解立体几何问题，最后将向量关系“翻译”成几何元素关系．1．(选修2－1 P 118A 组T 7改编)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1，0,1)．若k a ＋b 与2a －b 垂直，则k 的值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选D.k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,1)＝(k －1，k,1)， 2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,1)＝(3,2，－1)， 因为k a ＋b 与2a －b 垂直． ∴(k －1，k,1)·(3,2，－1)＝0， 即3k －3＋2k －1＝0，∴k ＝45，故选D.2．(选修2－1 P 104练习T 2(3)改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不对 解析：选C.∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直，故选C.3．(选修2－1 P 104内文改编)已知直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量为u ，v ，有下列命题：①若a ⊥u ，则l ∥α；②若a ∥b ，a ∥u 则m ⊥α； ③若u ∥v ，则α∥β；④若a ∥u ，u ⊥v ，则l ⊥β. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.对于①，l 可能在平面α内，故①为假； 对于②，由a ∥b ，即l ∥m ，由a ∥u ， 则有l ⊥α，∴m ⊥α，故②为真；对于③，由u ∥v ，则以u ，v 为法向量的两平面α，β平行． 即u ∥v ，且u ⊥α，v ⊥β， ∴α∥β，故③为真；对于④，由a ∥u ，则l ⊥α，又由u ⊥v ， 则α⊥β，∴l ∥β或l ⊂β，故④为假， ∴②、③为真，故选B.4．(选修2－1 P 107练习T 1改编)如图，F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EBD ．E 与B 重合解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体棱长为2，则D (0,0,0)，F (0,1,0)，D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，且设E (2,2，t )．则D 1F →＝(0,1，－2)，DE →＝(2,2，t )．由D 1F ⊥DE ，得(0,1，－2)·(2,2，t )＝0，即2－2t ＝0. ∴t ＝1，即E 为BB 1的中点，故选A.5．(选修2－1 P 118A 组T 10改编)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别是DD 1，BD ，AA 1的中点，求证D 1G ∥平面EFC .证明：取基底{DA →，DC →，DD 1→}＝{a ，b ，c }，由题意有EC →＝ED →＋DC →＝－12c ＋b ，EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12a ＋12b .GD 1→＝GA 1→＋A 1D 1→＝－a ＋12c ，设GD 1→＝λEC →＋μEF →.即(－a ＋12c )＝λ(－12c ＋b )＋μ(－12c ＋12a ＋12b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12μ，0＝λ＋12μ，12＝－12λ－12μ.解得λ＝1，μ＝－2.即存在λ＝1，μ＝－2，使GD 1→＝EC →－2EF →， 即GD 1→、EC →、EF →共面．又GD 1⊄平面EFC . ∴GD 1∥平面EFC .(提示：此题还有其他两种证明方法：①建立空间直角坐标系，求出EFC 的法向量n ，证明n ⊥D 1G →；②连接GB 与BD 1，证明平面GBD 1∥平面EFC .)利用向量法证明平行问题已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)． FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥DA →，n ⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝2x ＝0，n ·AE →＝2y ＋z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－2y ，令z ＝2，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n ＝－2＋2＝0.所以FC 1→⊥n .因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .用向量证明线面平行的方法有：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．1.如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .求证：AB ∥GH .证明：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两互相垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，P (0，0,2)，Q (0，2,0)．所以AB →＝(－2,0,0)．因为点D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以点G ，H 分别是△P AQ ，△PBQ 的重心，所以G ⎝⎛⎭⎫23，23，23，H ⎝⎛⎭⎫0，23，23，所以GH →＝⎝⎛⎭⎫－23，0，0. 所以AB →＝3GH →，所以AB →∥GH →，即AB ∥GH .2.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0)．法一：EF →＝(0,1,0)，EG →＝(1,2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB →＝(2,0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .法二：PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)， FG →＝(1,1，－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线， ∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .利用向量法证明垂直问题如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．求证：EF ⊥BC .[证明] 法一：∵E 、F 分别是AC ，DC 的中点． ∴EF →＝12AD →＝12(BD →－BA →)．又|AB →|＝|BC →|＝|BD →|＝2， 〈BA →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝120°.∴EF →·BC →＝12(BD →－BA →)·BC →＝12(BD →·BC →－BA →·BC →)＝12(2×2×cos 120°－2×2×cos 120°)＝0，∴EF →⊥BC →.即EF ⊥BC .法二：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直于BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0,2,0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .用向量证明垂直的方法：①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．1.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .求证：BD ⊥平面AED .证明：连接AC ，∵AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CD ＝CB ＝AD ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝30°，∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，A (3，0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F (0,0,1)，因此BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，0，∴BD →·AD →＝0，∴BD ⊥AD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，∴BD ⊥平面AED . 2.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明：(1)以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图(1)所示的空间直角坐标系C -xyz ，图(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°. ∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M (32，0，32)，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， CM →＝(32，0，32)，令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)如图(2)，取AP 的中点E ，图(2)则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .立体几何中的探索性问题如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．[解] (1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD . 从而AC ⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，由BE →·DS →＝0⇔t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.又BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标 ，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．1.(2016·武汉调研)如图，棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解： (1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP . 2.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k . 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．图(2) 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.1．(选修2－1 P 117A 组T 3改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，求λ的值．解：如图所示，取B 1C 1中点P ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，∵底面边长为1，侧棱长为2，则A (0，32，0)，B 1(－12，0,2)，C (12，0,0)，C 1(12，0,2)，M (0,0,0)，设N (12，0，t )，∵C 1N →＝λNC →，∴N (12，0，21＋λ)，∴AB 1→＝(－12，－32，2)，MN →＝(12，0，21＋λ)．又∵AB 1⊥MN ，∴AB 1→·MN →＝0.∴－14＋41＋λ＝0，∴λ＝15.2. (选修2－1 P 113B 组T 2改编)如图，四边形ABEF 与ABCD 是两个全等的正方形，且平面ABEF 与平面ABCD 互相垂直，M 、N 分别是AC 与BF 上的点，且CM ＝BN .(1)求证MN ⊥AB ； (2)求证MN ∥平面CBE .证明：(1)设正方形的边长为1.CM →＝λCA →，则BN →＝λBF →.取一组向量的基底为{BA →，BE →，BC →}，记为{a ，b ，c }． 则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴MN →＝MC →＋CB →＋BN →＝－λCA →＋CB →＋λBF → ＝－λ(a －c )－c ＋λ(a ＋b )＝λb ＋(λ－1)c ， ∴MN →·BA →＝[λb ＋(λ－1)c ]·a ＝λ(b ·a )＋(λ－1)(c ·a ) ＝λ×0＋(λ－1)×0＝0. ∴MN →⊥BA →，即MN ⊥AB . (2)法一：由(1)知MN ⊥AB .又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，BE ∩BC ＝B . ∴AB ⊥平面CBE . 又MN ⊄平面CBE . ∴MN ∥平面CBE .法二：由(1)知，MN →＝λb ＋(λ－1)c＝λBE →＋(λ－1)BC →. ∴MN →与平面CBE 共面． 又MN ⊄平面CBE . ∴MN ∥平面CBE .3．(选修2－1 P 119B 组T 2改编)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a ，0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)， AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.因为B 1E →·AD 1→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． 因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时|AP |＝12.一、选择题1．在空间四点O ，A ，B ，C 中，若OA → ， OB →，OC→是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线[导学号03350667] 解析：选B.选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则向量OA →，OB →，OC →共面，构不成基底；选项B 是错误命题，若四点共面，则OA →，OB →，OC →共面．构不成基底；选项C 是正确的，若四点共面，则OA →，OB →，OC →构不成基底；选项D 是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量OA →，OB →，OC →构不成基底．2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和侧面DCC 1D 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ的值为( )A ．－1 B.12C ．1D ．－12[导学号03350668] 解析：选D.如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12，故选D.3．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定[导学号03350669] 解析：选B.∵正方体的棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3，∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋13B 1C 1→，又CD →是平面B 1BCC 1的一个法向量，且MN →·CD →＝⎝⎛⎭⎫23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0，∴MN →⊥CD →，∴MN ∥平面B 1BCC 1，故选B.4．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[导学号03350670] 解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →. 则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理， 设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件，故选B. 5.如图，已知边长为6的正方形ABCD 和正方形ADEF 所在平面互相垂直，O 是BE 的中点，FM →＝12MA →，则线段OM 的长为( )A ．3 2 B.19 C ．2 5 D.21[导学号03350671] 解析：选B.由题意可建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系(图略)，则E (0,0,6)，B (6,6,0)，M (6,0,4)，O (3,3,3)，所以|OM →|＝(6－3)2＋(0－3)2＋(4－3)2＝19，即线段OM 的长为19，故选B.6．如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1[导学号03350672] 解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)， 则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝(12，1，－a )，∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1，故选B. 二、填空题7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.[导学号03350673] 解析：∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407y ＝－157，故BP →＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 8．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确结论的序号是________．[导学号03350674] 解析：由于AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的关系是________．[导学号03350675] 解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 答案：平行三、解答题10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．证明：CD ⊥平面P AE .[导学号03350676]证明：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．则CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．∵CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，∴CD ⊥AE ，CD ⊥AP . 又AP ⊂平面P AE .AE ⊂平面P AE ，AP ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面P AE .11.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .[导学号03350677] 证明：如图，以D 为坐标原点，线段DA ，DP ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .设DA ＝1，则有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)， DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .12．如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向向量；(2)若∠PDA ＝45°，求证MN →为平面PCD 的一个法向量．[导学号03350678] 解：(1)如图，取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，因为N 是PC 的中点，所以NE ∥DC ，NE ＝12DC .又DC ∥AB ，DC ＝AB ，AM ＝12AB ，所以AM 綊12CD ，所以NE 綊AM .所以四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE .所以AE →为直线MN 的一个以A 为起点的方向向量．(2)证明：在Rt △P AD 中，∠PDA ＝45°，所以AP ＝AD ，所以AE ⊥PD ，又因为MN ∥AE ，所以MN ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE .又因为MN ∥AE ，所以CD ⊥MN ，又因为CD ∩PD ＝D ，所以MN ⊥平面PCD .所以MN →为平面PCD 的一个法向量．。
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向量空间证明(精选多篇)第一篇：向量空间证明向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。
这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法2解：因为x+y+z=0x=-y-zy=y+0*zz=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*zy,z为任意实数则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方(2)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^23已知ef是梯形abcd的中位线，且ad//bc，用向量法证明梯形的中位线定理过a做ag‖dc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=½向量bg又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质)∴向量pf=½(向量ad+向量gc)∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)∴向量ef=½(向量ad+向量bc)∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bppb+pc=2pd=appa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+peof=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp 由第一问结论2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2ap+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)第二篇：2014年高考数学空间向量证明平行问题4.2直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．?（1）若有直线l,点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l?????????????上取ab?a，则对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得ap?tab，这?样，点a和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线??交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面α上任意一点，由平面向量基??????本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得op?xa?yb，这样，点o与方向??向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为a．(1,2,3)b．(1,3,2)c．(2,1,3)d．(3,2,1)2.从点a(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长ab＝34，则b点的坐标为a．(－9，－7,7)b．(18,17，－17)c．(9,7，－7)d．(－14，－19,31)二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．??2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点a的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用????????????1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1//l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???⊥u2．????????????2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???⊥v2．????若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//α?u⊥v，l⊥α???u//vb分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。
1.设a、??（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）??????四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：?1、设出平面的法向量为n?(x,y,z)．??2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)????n?a?0????n?b?03、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?4、解方程组，取其中一个解，即得法向量v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系：1.设u、????（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，???2）；（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。
??2.已知点a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一个单位法向量。
??3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是a．(0，－3,1)b．(2,0,1)c．(－2，－3,1)d．(－2,3，－1)5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为a．(1，－1,1)b．(2，－1,1)c．(－2,1,1)d．(－1,1，－1)五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m??_?_______.1．在正方体abcd－a1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内??????????一点，线段d1q与op互相平分，则满足mq＝λmn的实数λ的值有a．0个c．2个b．1个d．3个2、线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u ＝(a2，b2，c2)，则l∥α??_______?1??1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，2，2?，且l∥α，??则m＝________.(更多好文章请关注)2．已知线段ab的两端点的坐标为a(9，－3,4)，b(9,2,1)，则与线段ab平行的坐标平面是a．xoyb．xozc．yozd．xoy或yoz3．如图所示，在空间图形p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四边形abcd中，cd∥ab，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝4，cd＝1，点m在pb上，且pb＝4pm，∠pbc＝30°，求证：cm∥平面pad .4.如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，pa＝ac＝a，点e在pd上，且pe∶ed＝2∶1.在棱pc上是否存在一点f，使bf∥平面aec？证明你的结论．5.如图,在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，点d是ab的中点，（i）求证：ac⊥bc1；（ii）求证：ac1//平面cdb1；3、面面平行(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?abc?__?________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.2221．如图，在平行六面体abcd—a1b1c1d1中，m、p、q分别为棱ab、cd、bc的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①a1m∥d1p；②a1m∥b1q；③a1m∥面dcc1d1；④a1m∥面d1pqb1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)2.如图所示，在正方体abcd?a1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点。
求证：（1）mn//平面a1bd；（2）平面a1bd//平面b1d1c。
第三篇：第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。