研究生数值分析(26)

f(x)是求积节点 x1, x2 ,, xn 的Lagrange
插值多项式，即
f ( n ) ( ) f ( x) li ( x) f ( xi ) n ( x), x [a, b], ( x) (a, b) n! i 1 n ( x) ( x x1 )(x x2 ) ( x xn )
如果积分区间是[a，b]，那么通过变量置换 就可以用Gauss-Legendre求积公式计算积分 b ba 1 ab ba a f ( x)dx 2 1 f ( 2 2 t )dt
ab ba x t 2 2
例3 用四点Gauss-Legendre求积公式计
算积分 解 令
p( x) q( x)n ( x) r ( x)
其中 q(x)和 r(x) 都是次数不高于n-1的多 项式，并且 于是有
p( xi ) r ( xi ) i 1,2,, n

b
a
( x) p( x)dx ( x)q( x)n ( x)dx ( x)r ( x)dx
1 2
( x x1 )(x x3 ) 8 A2 x dx 1 ( x2 x1 )(x2 x3 ) 75
1 2
由
2 A1 A2 A3 x dx 1 3
1 2
得到
7 A3 25
所要的Gauss型求积公式为
1 5 8 5 1 x f ( x)dx 25[7 f ( 7 ) 3 f (0) 7 f ( 7 )]
证
必要性
由于当f(x)是任何次数不高于2n-1的多项式时， 求积公式

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
n
成为等式， 所以对任意次数不高于n-1的多项式 q(x)，
总有

b
a
( x)q( x)n ( x)dx Ai q( xi )n ( xi ) 0
Ai
0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 0.0812743884 0.1806481607 0.2606106964 0.3123470770 0.3302393550
i 1
n
根据定理5.6( p120 )以及正交多项式的唯一性
可知
1 n ( x ) g n ( x ) an
gn ( x)
n x 的 项系数。
其中an 是
因此，求积公式

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
b a
n
Ai
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
gn ( Leabharlann )定理3 设求积公式
b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
n
Ai
b
a
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
是Gauss型求积公式，则它的求积系数 Ai 满足
(1) (2)
Ai 0, i 1,2,, n ;
A
i 1 i
n
b
a
( x)dx .
证明略。p166
定理4 设求积公式

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
n
Ai
b
a
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
是Gauss型求积公式，若函数 f(x)∈[a,b]，则有
gn ( x)
的求积节点是
的零点。
充分性 设求积公式
Ai
b a

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
n
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
的求积节点 x1, x2 ,, xn 是多项式 gn ( x) 的n个零点。 根据正交多项式的性质，这些节点必互 异，且全都在区间(a，b)内。任取次数不高于 2n-1的多项式 p(x)，则 p(x)总可表示为

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
i 1
b
n
Ai
a
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
是Gauss型求积公式的充分必要条件是 它的求积节点是 n 次正交多项式 g n( x) 的n个零点 xi , i 1,2,, n
i 1
n
Ai
b
a
( xi ) ( x xi ) g n
( x) g n ( x)
dx, i 1,2,, n
f ( 2 n ) ( ) b 2 的截断误差为 R 2 ( x ) g n ( x)dx an (2n)! a
其中η∈(a,b)，an 是正交多项式 证明略。p166 的最高次项系数。
§7
Gauss型求积公式
一、一般理论 定义 如果 n 个节点 x1, x2 ,, xn 的求积公式 a ( x) f ( x)d Ai f ( xi ) i 1
b n
其中：ρ (x)是区间（a，b）上的权函数
Ai
b a
( x)n ( x) dx, i 1,2,, n ( xi ) ( x xi )n
用三点Gauss-Legendre求积公式计算，得
1
0.8888888889 0 1
0.5555555556 0.7745966692 1 1.892725829
精确值为1.885618083。可见，在节点数相 同的情况下，用Gauss型求积公式计算， 结果的精确度高于用Newton-Cotes求积公 式计算。
8
9
6
例2 分别用三点Simpson公式和三点
Gauss-Legendre求积公式计算积分
解 用三点Simpson公式计算,得

1
1
x 1dx


1
1
1
2 x 1dx ( 1 1 4 0 1 1 1) 1.804737854 6
x 1dx 0.5555555556 0.7745966692 1

1 x
2
1
e dx
1 x
1 x (t 3) 2
2
，则

1
1 e dx 2
2 t 3

1
1
e
2 t 3
dt
记 (t ) e
，则由
(t1 ) (0.8611363116 ) 2.547406932 (t2 ) (0.3399810436 ) 2.120971718
3 5 3 g 0 ( x) 1, g1 ( x) x, g 2 ( x) x , g 3 ( x) x x 5 7 由方程 g3 ( x) 0 解出求积节点
2
5 5 x1 , x 2 0, x3 7 7
计算求积系数
( x x2 )(x x3 ) 7 A1 x dx 1 ( x1 x2 )(x1 x3 ) 25
(t3 ) (0.3399810436 ) 1.819944113 (t4 ) (0.8611363116 ) 1.678637128
得

2
1
1 e dx {0.3478548451 [ (t1 ) (t 4 )] 2 0.6251451549 [ (t 2 ) (t3 )]} 2.020049534
a a
b
b
1 an

b
a
( x)q( x) g n ( x)dx Ai r ( xi ) Ai p( xi )
i 1 i 1
n
n
由此可知，求积公式是Gauss型求积公式。 证毕。
定理2 设f(x)在区间[a，b]上有2n阶连续
导数，则Gauss型求积公式

b
a
( x) f ( x)d Ai f ( xi )
n
n ( x) li ( x) , i 1,2, , n ( x) ( x xi )n j 1 xi x j
n j i
x xj
且 f (x)在区间[a，b]上有 n 阶导数， 的代数精度为2n-1次，则称它为Gauss 型求积公式。
n个节点的所有求积公式中，具有最高 代数精度的求积公式是Gauss型求积公式。 定理1 设 {gk ( x) k 0,1,} 是区间[a，b]上带权ρ (x)的正交多项式 系，则求积公式
1 2
二、几种Gauss型求积公式 1、Gauss-Legendre求积公式 给定权函数ρ(x)≡1和积分区间[-1，1]，相 应的正交多项式是Legendre多项式
1 dn Ln ( x) n n [(x 2 1) n ] 2 n! dx
取 Ln (x) 的零点作为求积节点所形成的求积公式
lim Ai f ( xi ) ( x) f ( x)dx
b n i 1 a n
证明略。p167
例1 试构造形如

1
1
x f ( x)dx Ai f ( xi )