数学分析不定积分习题课课件
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不定积分习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
不定积分典型例题讲解课件PPT
dx
( n 为自然数)
n (x a)n1(x b)n1
解: I 令 则( xttn a)xx(xxxdxbabab, )nnt xxbad t (a( xannbt)dbtb)tdtdtx1 ((xxaabdb))(xxdxb) n (说(通注(通注说计 一一一一计一通二特使(一注注使注注二说 二通二一(使说一通一使计 一(说注一注(一注特使一(((通通注一二通(说计一P通 注使(通二计一计使二计二(注PP二通代代代代代代代代代代22112222)))))明过意过意明算、、般般算般过、别用、意意用意意、明般过、、用明般过般用算、明意般意、意别用、过过意般过明算般过意用、过、算、般算用、算、意、过000换换换换换换换换换换初初一一初555:简 常 简 常 :格经 经 格 经 简 几 :各 常 常 各 常 常 几 :几 经 简 几 各 :经 简 经 各 格:常 经 常 常 :各 简 简 常 经 几 简 :格 经 简常 各 简 几 格 经 格 各 几 格 几 常 几 简～ ～ ～求求求求求求求求求::::::::::等等般般等此此当此 此此当此单见单见式 验验式验单种种见见种见见种种验单种种验单验种式 见验见见种单单见验种单式验单 见种单种式验式种种式种见单PPP不不不不不不不不不函函方方函法技法技 技法法222uu变的变的:::::变特基的的基的的特特:变特基:变:基:的:的的基变变的:特变::变 的基变特:::基特特的特变000定定定定定定定定定数数法法数特巧为特巧 巧特为特666列 按按列按按按按列 按按列按列按列列形换形换形殊本换换本换换殊殊形殊本形本换换换本形形换殊形形 换本形殊本殊殊换殊形积积积积积积积积积公公公的的不不的别适别适 适别别表 ““表“n“““表 “n“表“表“表表元元类积元元积元元类类类积积元元元积元类元积类积类类元类,,,,,,,,,,,))))))))))分分分分分分分分分式式式原原一一原利利利利利利利利利 利利适用适用 用适适次次计 反反计反反反反计 反反计反计反计计积积型分积积分积积型型型分分积积积分积型积分型分型型积型的的的的的的的的的(((函函定定函用用用用用用用用用 用用用于用于 于用用多多111,,,,,,,,,,算 算算 算算算算分分的法分分法分分的的的法法分分分法分的分法的法的的分的666基基基基基基基基基对对对对对对对对对对数数是是数基基基基基基基基基 基基于形于形 形于于项项)))类类积类类类类积积积类类类类积类积积积类积,,,,,,,本本本本本本本本本~~~,,,,,,,,,,不 不 最 最 不简简简简简简简本本本本本本本本本本本为为 为式式幂幂幂幂幂幂幂幂幂幂(((型型分型型型型分分分型型型型分型分分分型分222方方方方方方方方方一一简简一便便便便便便便积积积积积积积积积 积积时时444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)))法法法法法法法法法指指指指指指指指指指定定便便定的的的如如计如如计如如计计如如如计如如计计如分分分分分分分分分 分分,, 是是的的是推推推掌掌算掌掌算掌掌算算掌掌掌算掌掌算算掌公公公公公公公公公 公公,,,,,,,,,, 三三三三三三三三三三初初方方初导导导握握握握握握握握握握握握式式式式式式式式式 式式.......””””””””””等等法法等方方方和和和和和和和和和 和和的的的的的的的的的的函函函,,法法法运运运运运运运运运 运运顺顺顺顺顺顺顺顺顺顺数数数算算算算算算算算算 算算序序序序序序序序序序法法法法法法法法法 法法,,, ,,,,,,,,,,则则则则则则则则则 则则
不定积分习题课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
1)9
C
；
（Hale Waihona Puke ）1 36(4x1
1)11
C
.
17
二、求下列不定积分：
1、
1 x2
cos
1 x
dx
;
2、
x2
dx 2x
;
5
3、
ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
4、
(1
x2 x
2
)2
dx
;
5、
1
dx ; 1 x2
6、
x2
x
1 x2
1
dx
;
7、
e
x
dx (1 e
2
x
;
)
1 x2
tan 1 x2 d 1 x2 ln cos 1 x2 C
4
第四章 不定积分 习题课
例3
x2 1
x4
dx 1
分子分母同除以 x2
解 原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
5
第四章 不定积分 习题课
例4
xe x (1 x)2 dx
解
xe x
(1 x)2 dx
(1
x x
)2
de
x
v
u
原式
xe
x
d( 1
1
) x
xe 1
x
x
( xe x ) dx
1 x
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
不定积分的计算ppt课件
2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d (2 x 1 )
1 2
1 u
du
1 ln | u | C 2
1ln| 2x1| C. 2
注意换回原变量
精品课件
5
例2 求 xsin x2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sin u du
解sin2xcosxdx sinx2dsinx
1 sin3 x C.
3
u2du u3 C 3
一般地, 有
s in x f( c o s x ) d x f( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f( s in x ) d x f( s in x ) d s in x .
1
解 3x2 1x3dx (1x3)2 3x2dx
1 u2du
2u32
C
3
1
(1x3)2 dx3
1
(1x3)2d1x3
2
(1
3
x3)2
C.
3
精品课件
19
例14
求
dx x2 a2 .
解 dx
x2a2
(xad)(xxa)
21a(x 1ax 1a)dx
21a(x 1adxx 1adx)
2 1 a[x 1ad(xa )x 1ad(xa )]
1(lnxalnxa)C 2a
1 ln xa C. 2a xa
精品课件
20
例15 求 sin2 xdx.
解sin2xdx1c2 os2xdx
12(dxcos2xdx) 12dx12cos2xdx
12dx14cos2xd(2x)
不定积分课件
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积 分 表
(1) kdx kx C (k是常数); (2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)
dx x
ln
x
C;
说明： x
x
0,
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x2 x(1 x2 )dx.
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
x2 1
三、一曲线通过点( e 2 , 3 )，且在任一点处的切线的 斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、
2
x
5 2
C；
7、
2
x
3 2
C；
5
3
8、 x3 3 x2 2x C ； 32
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2 xdx tan x C;
(9)
dx sin 2
x
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
高数不定积分-讲解和例题.ppt
tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
数学分析第六章课件不定积分
x2
x a2
2
x2a2a2 (x2a2)
dxx2xa2
2I22a2I2
1x 1 I22a2x2a22a2I1
类似的
In ......
总结：
前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们 可以求出许多初等函数的不定积分。但是要 灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简 单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一 定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初 等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的 步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函 数有可能不再是初等函数，这时我们也说积 分积不出来。
dsinx dsinx
cos2x1sin2x
由例2得，
1lnsinx1c 2 sinx1
1lnsinx1clnsecxtanxc
2 sinx1
增加 tanxdxlncosxc
cotxdxlnsinxc
例5 求
dx x(1 x)
ห้องสมุดไป่ตู้
解法1：
x(d 1xx)
dx xx2
由例3得
d
x
1 2
1 4
x
1 2
2
对于 x2 a2 ，令 x a s e c t,0 t或 t
2
2
目的在于消去根号，因为它们比较典型， 故特别称之为三角代换。
2．分部积分法
由乘积的微商公式：
[ u ( x ) v ( x ) ] ' u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
u ( x ) v '( x ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
d x
x 2
d x
a 2 x 2
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
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习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
一、 求不定积分的基本方法
I. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则
求不定积分的方法 . II. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
常见类型:
1. f ( x n1 )x ndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x) dx; x
f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x) sec2 xdx;
例7 求
dx .
x(2 x10 )
例8 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
例9
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
[
f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
例10 求 max{1, x }dx.
例12. 设 为 的原函数, 且
求
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
例2
求
e
x (1 sin x 1 cos x
)
dx.
例3 求 x 1 dx.
x2 x2 1
例4 求
dx
x
x
x.
1 e2 e3 e6
A 6, B 3, C 3, D 3.
例5. 求 例6. 求
四种类型分式的不定积分
1.
Adx Aln x a C; 2. xa
Adx (x a)n
(1
A n)( x a)n1
C;
3.
Mx N x2 px
dx q
M 2
ln
x2
px
q
N
Mp 2
arctan
x
p 2
C;
q
p2 4
q
p2 4
4.
Mx ( x2 px
N q)n
f (arctan x) 8. 1 x2 dx;
常用代换:
1. x (at b) , R.
R( x, n ax b) 令t n ax b;
ax b
R( x, n
)
令t n ax b;
cx e
cx e
2. 三角函数代换
f (x) a2 x2 , 令x a sin t.
dx
M 2
(2x (x2
p)dx px q)n
N (x2
Mp 2
px q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
II. 需要注意的问题 1. 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 . 2. 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
二、几种特殊类型的积分
I. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
f (x) a2 x2 , 令x a tan t.
f (x) x2 a2 , 令x a sect.
f (x) R(sin x, cos x) 令 t tan x
3. 倒置代换 令x 1.
2
t
x 2arctan t
III. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
一、 求不定积分的基本方法
I. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则
求不定积分的方法 . II. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
常见类型:
1. f ( x n1 )x ndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x) dx; x
f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x) sec2 xdx;
例7 求
dx .
x(2 x10 )
例8 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
例9
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
[
f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
例10 求 max{1, x }dx.
例12. 设 为 的原函数, 且
求
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
例2
求
e
x (1 sin x 1 cos x
)
dx.
例3 求 x 1 dx.
x2 x2 1
例4 求
dx
x
x
x.
1 e2 e3 e6
A 6, B 3, C 3, D 3.
例5. 求 例6. 求
四种类型分式的不定积分
1.
Adx Aln x a C; 2. xa
Adx (x a)n
(1
A n)( x a)n1
C;
3.
Mx N x2 px
dx q
M 2
ln
x2
px
q
N
Mp 2
arctan
x
p 2
C;
q
p2 4
q
p2 4
4.
Mx ( x2 px
N q)n
f (arctan x) 8. 1 x2 dx;
常用代换:
1. x (at b) , R.
R( x, n ax b) 令t n ax b;
ax b
R( x, n
)
令t n ax b;
cx e
cx e
2. 三角函数代换
f (x) a2 x2 , 令x a sin t.
dx
M 2
(2x (x2
p)dx px q)n
N (x2
Mp 2
px q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
II. 需要注意的问题 1. 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 . 2. 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
二、几种特殊类型的积分
I. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
f (x) a2 x2 , 令x a tan t.
f (x) x2 a2 , 令x a sect.
f (x) R(sin x, cos x) 令 t tan x
3. 倒置代换 令x 1.
2
t
x 2arctan t
III. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则: