相似三角形的判定SSS
相似三角形相似三角形的判定sss课件
05
SSS判定定理的总结与回
顾
SSS判定定理的重要性和应用范围
1 2
三角形全等的最直接判定方法 SSS判定定理是三角形全等判定中最直接的方法， 只需要满足三边分别相等即可判定两个三角形全 等。
在几何证明题中的应用 在解决几何证明题时，SSS判定定理常常被用来 证明两个三角形全等，进而得出其他相关结论。
04
SSS判定定理的练习题与 解析
练习题一：判断两个三角形是否相似
总结词
通过比较三角形的三边长度来判断两 个三角形是否相似。
详细描述
首先，分别测量两个三角形的三边长 度，然后比较这些长度是否满足SSS 判定定理（三边对应成比例的两个三 角形相似）。如果满足，则这两个三 角形相似。
练习题二：找出相似三角形的对应边长
与其他三角形全等判定定理相比，SSS判定定理的应用范围相对较小，但在特定情况下 却是唯一的判定方法。
感谢观 看
THANKS
掌握定理的证明过程
通过学习SSS判定定理的证明过程， 可以更好地理解定理的原理和应用条 件，有助于记忆和应用。
与其他相似三角形判定定理的比较和联系
与其他判定定理的联系
SSS判定定理与其他三角形全等的判定定理有一定的联系，例如SAS判定定理和ASA判 定定理都可以通过SSS判定定理证明。
与其他判定定理的比较
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
SSS定理
如果两个三角形的三边对应相 相等，且这两个角所对的边也 对应相等，则这两个三角形相似。
ASA定理
如果两个三角形有两个角对应 相等，且这两个角所夹的边也 对应相等，则这两个三角形相似。
三角形的相似判定与相关问题
三角形的相似判定与相关问题在初中数学中，三角形是一个重要的几何图形。
它有着丰富的性质和特点，其中一个重要的概念就是相似三角形。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在本篇文章中，我们将探讨三角形的相似判定及其相关问题。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
具体来说，如果两个三角形的对应角分别相等，且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
那么如何判断两个三角形是否相似呢？我们可以利用以下几种方法进行判定。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知两个三角形的两个对应角分别为60°和30°，那么这两个三角形就是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知两个三角形的三条边长度分别为3cm、4cm、5cm和6cm、8cm、10cm，那么这两个三角形就是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两条边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知两个三角形的一个对应角相等，而另外两条边的比例分别为2:3和4:6，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质和应用相似三角形有许多重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的几个。
1. 边长比例：相似三角形的对应边的长度比例相等。
例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么其他两条边的长度比例也是2:3。
2. 高度比例：相似三角形的对应高度的长度比例等于对应边的长度比例。
例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么它们的对应高度的长度比例也是2:3。
3. 面积比例：相似三角形的面积比等于对应边的长度比例的平方。
例如，如果两个相似三角形的一个边的长度比例为2:3，那么它们的面积比也是2²:3²，即4:9。
相似三角形的应用非常广泛。
全等相似三角形的判定方法
全等相似三角形的判定方法
全等和相似三角形的判定方法如下：
全等三角形的判定方法：
1.SSS（边、边、边）：三边长度相等。
2.SAS（边、角、边）：两边夹角相等。
3.ASA（角、边、角）：两角夹边相等。
4.AAS（角、角、边）：两角非夹边相等。
5.RHS（直角、斜边、边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条
直角边相等。
相似三角形的判定方法：
1.两角分别对应相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的判定(sss)概要
ABC ∽ A' B ' C '
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 4 1 BC 6 1 (2) , , A' B' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 AB BC AC . A' B' B' C ' A' C '
B` A
C`
∴
DE BC EA C A , BC BC CA CA
D
E
.
因此 DE BC, EA CA . ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
求证: △A`B`C` ∽△ABC
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB, AB AB
AD AE DE AB AC BC
C
B′
?
△ABC∽△A′B′C′
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。
相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。
本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。
2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。
二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。
根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。
根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。
根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。
根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。
《相似三角形的判定—SSS判定定理》精品教学方案
第2课时：相似三角形的判定-SSS判定定理第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似27.2.1.2相似三角形的判定-SSS判定定理一、教学目标1.学会利用类比的思想研究三角形相似的判定问题；2.掌握三角形相似的SSS定理的证明方法，并能简单应用；3.进一步体会几何证明中的公理一体化问题；4.探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.二、教学重难点重点：进一步体会几何证明中的公理一体化问题．难点：掌握三角形相似的SSS定理的证明方法，并能简单应用．三、教学用具教学课件.四、教学过程设计【复习回顾】目前为止，我们已经学习了判定三角形相似的2种方法定义法：对应边成比例，且对应角相等的两个三角形是相似三角形．平行线法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．类比全等三角形的判定，还有哪些判定方法呢？【教学建议】通过复习回顾，帮助学生梳理已经学过的知识，引起认知冲突，为新课的学习进行铺垫.【探究】思考：两个三角形的三边对应成比例，他们是相似三角形吗？已知：△ABC与△A'B'C'AB BC AC A B B C A C==''''''中，问题：△ABC与△A'B'C'相似吗？探究方法：1、利用量角器度量对应角的大小2、通过平移让对应角重合，验证对应角的大小关系【探究操作】（1）∠A=∠A'(2)∠B=∠B'（3）∠C=∠C'猜想：三边成比例的两个三角形相似 【证明】如图，在△ABC 和△A'B'C'AB BC ACA B B C A C ==''''''中，，求证：△ABC ∽△A'B'C'．分析：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D =AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E ，构造△A'DE ．证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D =AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E ，∵DE ∥B'C' A D DE A EA B B C A C ''==''''''∴． AB BC ACA B B C A C ==''''''又，A'D=AB ， DE BC B C B C =''''A E AC A C A C '=''''∴，． ∴DE =BC ，A'E =AC ．∴△A'DE ≌△ABC (SSS 全等判定定理)．【归纳】判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．符号语言表示：如图，在△ABC 和△A'B'C'中， AB BC ACA B B C A C ==''''''∵， ∴△ABC ∽△A'B'C'．总结：k 叫做相似比，其中，当相似比等于1时，两个三角形是全等三角形【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识 【反思】 证明思路：【教学建议】这一环节，教师引导学生对证明过程那进行反思总结，培养良好的学习习惯.【做一做】依据以下各组条件,判定△ABC 与△A'B'C'【典型例题】例1 根据下列条件，判断△ABC 与△A'B'C'是否相似，并说明理由：1cm 2cm 3 cm cm 2 cm =3 cm AB BC AC A'B'a B'C'a A'C'a =====,,;,,.0a ≠∵解：1AB A'B'a ∴=,212BC B'C'a a ==,313AC A'C'a a ==, AB AC BC ==A'B'A'C'B'C'∴. ∴△ABC 与△A'B'C'相似.总结：只有三组对应边的比值相等时，两个三角形才是相似三角形例2 如图，已知△ABD ∽△ACB ，AD =2，AC =8，求AB 的长．解：∵∠ABD =∠C ，∠A =∠A ∴△ABD ∽△ACB ． AB ADAC AB=∴ 82AB AB=∴∴AB 2=2×8=16 ∴AB =4【教学建议】教师通过思维导图，将本节课的内容进行归纳，帮助学生梳理知识脉络和重难点。
相似三角形的判定3
证明：在AB,AC上分别截取AM= DE,AN = DF
∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF ∴ ΔAMN≌ΔDEF，
∴ ∠AMN=∠E， 又∵ ∠B=∠E， ∴ ∠AMN=∠B，
∴ MN//BC， ∴ ΔAMN∽ΔABC。
∴ ΔDEF∽ΔABC
M B
A D
N
CE
F
例题分析
A
例2. 如图，△ABC中，
求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 C 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
此结接使用.
AD
B
射影定理：
(1) AC2＝AD·AB (2) BC2＝BD·AB (3) CD2＝BD·AD
D A
C
B
E
F
如图：在直角ΔABC与直角DEF中，若AB:DF=AC:DE ,
求证：ΔABC∽ ΔDEF'
∵∠A、∠C都是BD⌒所对的圆周角 A
∴ ∠A=∠C
D
同理: ∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB）
OP
B
∴△PAD∽△PCB
C
\ PA PD PC PB
即PA·PB=PC·PD
• 对于两个直角三角形，我们还可以用“HL” 判定它们全等。那么，满足斜边的比等于 一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：
PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，
∴∠ A=∠D。
同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 A
相似三角形的判定(解析版)
相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。
一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。
3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。
通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。
二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。
通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。
如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。
SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。
结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
证相似三角形的方法
证相似三角形的方法相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要证明两个三角形是相似的，因此，了解证相似三角形的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常用的证相似三角形的方法，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. AA 判定法。
AA 判定法是最常用的证相似三角形的方法之一。
所谓 AA 判定法，即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形 DEF 中，∠A=∠D 且∠B=∠E，那么三角形 ABC 与三角形 DEF 是相似的。
这是因为两个角相等可以确定两个三角形的形状，从而可以推出它们是相似的。
2. AAA 判定法。
AAA 判定法是另一种常用的证相似三角形的方法。
所谓 AAA 判定法，即如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形 DEF 中，∠A=∠D 且∠B=∠E 且∠C=∠F，那么三角形 ABC 与三角形 DEF 是相似的。
这是因为三个角相等可以确定两个三角形的形状，从而可以推出它们是相似的。
3. SSS 判定法。
SSS 判定法是另一种常用的证相似三角形的方法。
所谓 SSS 判定法，即如果两个三角形的对应边的比相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形 ABC 与三角形 DEF 是相似的。
这是因为三条边的比相等可以确定两个三角形的形状，从而可以推出它们是相似的。
4. 直角三角形的判定法。
对于直角三角形，还有一种特殊的相似判定法。
如果一个三角形的一个角为直角，且另外两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形 ABC 中，∠C=90°，且三角形 DEF 中，∠F=90°，且∠A=∠D 且∠B=∠E，那么三角形 ABC 与三角形 DEF 是相似的。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
2023—2024学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定(2)(SSS、SAS) 课件
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四基三级练
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二级
3．(2022春·让胡路区校级期中)如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求
证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AB·AE＝AD·AC， ∴AADB＝AACE. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE.
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四基三级练
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三级
4．如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中 点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DPCQ＝ACDQ＝2. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.
四基三级练
一级
1
2
二级
3
三级
4
四基三级练
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一级 1．如图，△ABC与△DEF相似，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2， 则DE的长度为( A ) A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
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四基三级练
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2．(2022秋·桥西区校级期末)下列四个三角形，与如图的三角形相似的是 (B)
27.2.1相似三角形的判定 (2)(SSS、SAS)
01
新课学习
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1．相似三角形的判定2 如果两个三角形三组对应边的比_相__等_，那么这两个三角形相似． 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∵__AA_′_BB_′_＝__AA_′CC__′＝__B_B_′CC__′ ___， ∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们有着特殊的形状和性质。
在本文中，我们将探讨相似三角形的判定方法以及它们所具备的性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的角度对应相等来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
2. SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的边与夹角的对应关系来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边成比例，并且夹角对应相等，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF，∠A = ∠D，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
3. SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的对应边成比例来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，那么它们的对应角一定相等。
换句话说，相似三角形的三个对应角度是相等的。
2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的对应边长度成比例。
换句话说，相似三角形的三个对应边长之比是相等的。
3. 高度成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的高度也是成比例的。
具体而言，相似三角形的任意两条高的比值等于对应边长的比值。
4. 面积成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的面积也是成比例的。
具体而言，相似三角形的面积比等于对应边长的比值的平方。
5. 勾股定理成立性质相似三角形中，如果它们的一个角是直角，那么其他两个角也分别是直角。
换句话说，如果一个直角三角形与另一个三角形相似，那么这两个三角形都是直角三角形。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但是尺寸不同的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、AAA判定法AAA（全等的英文首字母）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据AAA原理，如果两个三角形的对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三个角均对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、AA判定法AA（对应角的英文首字母）判定法也是常用的判定方法之一。
根据AA原理，如果两个三角形的两个对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
三、SAS判定法SAS（边角边的英文缩写）判定法也是常用的判定方法之一。
根据SAS原理，如果两个三角形的一个角度相等，且两边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，且AB/DE＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
四、SSS判定法SSS（边边边的英文缩写）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据SSS原理，如果两个三角形的三边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若AB/DE＝BC/EF＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
五、比例法判定法比例法判定法是判定相似三角形的常用方法之一。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法相似三角形是指三角形的对应角相等，对应边成比例。
在几何学中，判定三角形是否相似是一个常见的问题。
下面我们将介绍三角形相似的判定方法。
1. AAA相似判定法。
如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
这是最简单的相似判定方法之一。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. AA相似判定法。
如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=BC/EF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似判定法。
如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 直角三角形的相似判定方法。
对于直角三角形，如果一个角相等，且斜边成比例，则这两个直角三角形是相似的。
例如，如果∠A=∠D，且AB/DE=AC/DF，则可以判定直角三角形ABC与直角三角形DEF是相似的。
5. 重要提示。
在判定三角形相似时，需要注意以下几点：判定相似时，必须保证对应角相等，并且对应边成比例。
对应边成比例时，可以利用辅助线或者相似三角形的性质来进行判定。
在判定时，要注意排除特殊情况，例如对应角相等但对应边不成比例的情况。
总结。
三角形相似的判定方法主要包括AAA相似判定法、AA相似判定法、SSS相似判定法以及直角三角形的相似判定方法。
在实际问题中，通过这些方法可以准确地判定三角形是否相似，从而解决各种相关的几何问题。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握三角形相似的判定方法，提高对几何学知识的理解和运用能力。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
相似性是几何学中的基本概念之一，研究相似三角形的判定与性质对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
本文将从判定相似三角形的条件和相似三角形的性质两个方面进行论述。
一、判定相似三角形的条件1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
2. AA判定法：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，∠B = ∠Y，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，且两个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足∠A = ∠X，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ（其中AB表示边AB 的长度），则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
4. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若三角形ABC和三角形XYZ满足AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则可以判定三角形ABC与三角形XYZ相似。
二、相似三角形的性质1. 对应边比值相等性质：相似三角形的对应边的比值相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
2. 对应角度相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即，若三角形ABC与三角形XYZ相似，则有∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z。
3. 定理一：如果一个三角形的一个角较大，那么它对应的边也较大。
4. 定理二：如果两个三角形的对应边比值相等（即相似），则它们的对应角度也相等。
5. 定理三：如果两个角相等，则它们所对应的边的比值相等。
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C
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
B
即∠BAD=∠CAE
已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线。
请找出图中的相似三角形。 A
DE // BC ADE ∽ ABC
D
E
DF // AC BDF ∽ BAC
EF // AB
B
CEF ∽ CAB
F
C
ADE∽ DBF∽ EFC∽ ABC ∽ FED
求证：三角形的三条中位线所组成的三角形与原三角形相
似。
A
已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线
求证： △ABC∽△FED
D
E
证明：
B ∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
F
C
∴
DE=
1 2
BC,DF=
1 AC,EF=
2
1 2
AB
∴ DE DF EF 1
BC AC AB 2
∴ △DEF∽△ABC
A' B' B' C' A' C' AБайду номын сангаас BC AC
B’
C’
△A’B’C’ ∽ △ABC
如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
例1： 根据下列条件，判断ABC和A' B'C'是
否相似，并说明理由。 AB 3, BC 5, AC 6, A' B' 6, B'C' 10, A'C' 12.
不相似
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
证明Q AB BC AC AD DE AE
A E
∴ΔABC∽ΔADE
D
∴∠BAC=∠DAE
∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
A` C`
E C
三边对应成
A
比例
A’
B
C
∵ A' B' B' C' A' C' AB BC AC
∴△A’B’C’ ∽△ABC
B’
C’
∵ AB BC AC
A' B' B'C' A'C'
∴ ABC ∽A' B'C'
A
A’
B
C
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
∵
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边 的比不相等，它们不相似．
要使两三角形相似， 不改变AC长，那么 A’C’的长应改为多少？
例3.图中的两个三角形是否相似?
巩固新知：
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个三角
形是否相似。
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
一、如何判断两个三角形是否相似?
1.定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D
E
B
A型
CB
D A
X型
E
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
复习巩固： 如图，在△ABC中，AB＝20cm，BC＝15cm， AD＝12cm，DE∥BC，求DE的长．
解：∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
∴ AD AE DE AB AC BC
∴
解得DE=
答：DE的长为
SSS SAS HL AAS ASA
类似于判定三角形全等的方法，我们能不能通过三边来 判断两个三角形相似呢？
推理论证：
已知:在△ABC和△A′B′C′中
求证:△ABC∽△A′B′C′ A
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的 长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选 料可使这两个三角形相似?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
1.预习 洋葱视频 提交时间：今晚19:00前
2.练习
上交时间：今晚20:30前 发送答案：今晚20:40前 交订正版：今晚21:00前
AB BC AC ,
AB BC A′ AC
D
E
B 分析：
C
B′
△ADE∽△A′B′C′
△ADE≌△ABC ?
C′ △ABC∽△A′B′C′
如图，在△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
求证: △A`B`C` ∽△ABC
AB AC BC
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
解：∵
AB A' B'
3 6
1 , BC 5 2 B'C' 10
1, 2
AC 6 1 A'C' 12 2
∴ AB BC AC A' B' B'C' A'C'
∴ ABC ∽A' B'C'
例2:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似， 并说明理由．
AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
(1)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=12
(2)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=12
DE=6，EF=12，DF=8
△ABC∽△DEF △ABC∽△DEF △ABC∽ △EDF
B
4
3
C 6A D
8
6
F
12
E
(3)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=9，DF=12