高三上学期期中考试 数学文科

成都七中高三期中测试题(文科)

参考答案及评分意见

一、选择题(每小题5分,共60分)

D D D A A B B B B B D D

二、填空题(每小题4分,共16分)

13、(或其等价形式); 14、-2; 15、; 16、(-∞,-1).

三、解答题:

17、解：（1）记“甲当选班委”为事件A,则; （2分）

记“乙当选班委”为事件B,则; （4分）

记“丙当选班委”为事件C,则; （6分）

因为事件A、B、C互斥,所以恰有一名同学当选的概率为

. （8分）（2）设“甲、乙、丙三人都当选班委”为事件D，则

. （10分）又“至多两人当选班委”为对立事件,且

. （12分）18、解：（1）由已知得. （3分）

解得. （6分）（2）原式（9分）

. （12分）19、解：由题意,以G为原点、GE为x轴、GD为y轴、GP为z轴,建立空间直角坐标系,则

G(0,0,0),E(,0,0),P(0,0,4),C(,,0),D(0,,0),B(,-,0). （3分）（1）(,0,0),(,,-4),则

. （6分）所以异面直线GE与PC所成角的大小的余弦值为. （8分）

（2）设平面PBG的法向量为(x,y,z),且(,-,0),(0,0,4),则

,取x=1得(1,1,0).（或直接证明为法向量）（10分）又(0,,0),

所以点D到平面PBG的距离为. （12分）

20、解：（1）由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,即d=0. （1分）

所以f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c. （2分）

又∵当x=1时,f(x)取得极值-2.

∴,即，解得. （4分）

所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).

则f'(x)取值规律及f(x)的单调性情况如下表所示:

∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞);单调递减区间为(-1,1). （7分）

f(x)的极大值为f(-1)=2. （8分）（2）由(1)知,当x1,x2∈[-1,1]时,有|f(x1)|≤2,|f(x2)|≤2. （10分）所以|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤4. （12分）

21、证明：由f(x)=-x2+2x,g(x)=kx及|f(x)+g(x)|<1得

-1

当x∈(0,2]时，不等式(※)恒成立,即

(0

所以

22、证明：（1）当n≥2时,a n=S n-S n-1=(4-2a n+1)-(4-2a n)=2a n-2a n+1,即a n+1=a n. （3分）

当n=1时,S1=4-2a2,又a1=2,所以a2=1,也满足上式. （5分）

故{a n}是等比数列，其通项为a n=()n-2. （7分）（2）由(1)可得,S n=4(1-). （8分）∵S n·S n+2-S n+12=16(1-)(1-)-16(1-)2

=16[(1--+)-(1-+)

=-<0. （11分）

∴S n·S n+2

两边取对数,得log2(S n·S n+2)<2log2S n+1,即

log2(S n·S n+2)<2log2S n+1. （14分）