概率论 第一章D
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例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设B表示至少有两件一级品
P( B) P10 ( k )＝1-P10(0)-P10(1)
k 2
10
9 0.998 1 0.410 C1 0 . 6 0 . 4 10
例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。
(1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为： 故
3 P4(0)+P4(1) (1 p)4 C1 p ( 1 p ) 4 3 0.84 C1 0 . 2 0 . 8 =0.82 4
例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？ 解法一： 每局双方获胜的可能性均为 1 。 2 应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
1 1 1 2 1 3 P(B5 ) C3 2 2 2 16 故甲方最终获胜的概率为 11 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 16 赌注应按11：5的比例分配。
2
例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。
利用全概率公式可以把复杂的事件的概率化为 互斥的简单事件的概率来计算.
例题
例10 仓库中有10箱同类产品，其中甲厂生产的
有5箱，乙厂生产的有3箱，丙厂生产的有2箱， 三个厂的产品次品率分别为1/10，1/15，1/20。 现从这10箱中任取一件产品。已知取得是正品， 求该正品是甲厂生产的概率。
8 P10 (8) C10 0.880.22 =0.302
例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为
4 P ( k ) 1 P ( 0 ) 1 ( 1 p ) 0.59 4 4 k 1 4
2
2
3Leabharlann Baidu
4
解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。 甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为
1 1 P( B3 ) 2 4 甲方在第四局结束赌博获胜的概率为 1 1 1 1 1 P(B4 ) C2 2 2 2 4 甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
例题
例7 仓库中有10箱同类产品，其中甲厂生产的有
5箱，乙厂生产的有3箱，丙厂生产的有2箱， 三个厂的产品次品率分别为1/10，1/15，1/20。 现从这10箱中任取一件产品。求恰好取得正品 的概率。
能不能直接简单地用加法公式和乘法公式来计 算呢？或者利用古典概率和几何概率的定义来 计算呢？
不能!
这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k n k Pn (k ) Ck p q ,(k 0,1,..., n ) n
其中q 1 p
贝努里概型
进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。
若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0<p<1)。
=0.142
再由Bayes公式分别可以算得
同理可得
可见，P(B1|A)=0.5172最大,即他是坐火车来的可能性最 大.
例题
例4：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症 具有如下的效果，对癌症患者进行试验结果呈阳 性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴 性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进 行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的 0.4%，求: (1) 试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌 症的概率； (2) 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌 症的概率.
事件的独立性
定义3 对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任 意两个事件独立,就称这一组事件是两两独 立的 如果从中任取k个事件(2≤k ≤n)都有 P(Ai1Ai2… Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(AiK), 其中,k个整数i1 ,, i2, … ik 满足: 1≤ i1≤ i1≤… ik ≤ n,则称A1,A2,…,An相互 独立
当P(B/A)= P(B)时，说明事件A是否发生 并不影响事件B的发生，则称B对A是独 立的
事件的独立性
定义1 设A与B是两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立,简称A、B独立
事件的独立性
定义2 设A，B，C，是三个事件，若满足等 式： P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C相互独立,简称A,B,C独立
i 1 n
（全概公式）
例题
例8 且坏灯泡的个数从0到5时等可能的。求从 1000个灯泡中任取100个全是好灯泡的概率
并不是说 就是 5个 已知在1000个灯泡中至多有 5 个坏灯泡，
例题
例9：有十个袋子，各袋中装球的情况如下： （1）两个袋子中各装有2个白球与4个黑球； （2）三个袋子中各装有3个白球与3个黑球； （3）五个袋子中各装有4个白球与2个黑球. 任选一个袋子，并从其中任取2个球，求取出的2个球 都是白球的概率.
全概公式和贝叶斯公式
定义 1-6 若事件组A1,A2,…An满足： （1） A1+A2+…+An=Ω （2） AiAj =Φ(i ≠ j,i,j=1,2…n) 则称该事件组为完备事件组。 定理1-7 如果A1,A2,…An是一完备事件组；且 B A1+A2+…+An则有
P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
事件的独立性
若A与B相互独立则有以下性质
（1 ）设有两个事件A与B,且P(B)>0,若A与B相互 独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然
（2 ）若四对事件
A，B；A，B； Ā ，B； Ā ，B中有一对独立， 则另外三对也独立
事件的独立性
(3)事件A与B独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
(4) 若事件A1,A2,…,An相互独立，则有 P(A1 A2 …An)=P(A1) P(A2) …P(An)
( 4)若事件A1 , A 2 ,..., A n 相互独立，则有 P(A1 ... A n )＝ 1 －P(A1 )...P(A n )
例题
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被 击中的概率。 解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。 目标被击中，即至少有一人击中，即A+B A与B独立。故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98 或由性质(4)
P(A) P10 (k )
k 6
10
＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
6 7 8 9 C10 0.860.24 C10 0.870.23 C10 0.880.22 C10 0.890.2 0.810
0.97
而正好有8人治愈的概率为
全概公式和贝叶斯公式
假设导致事件A发生的“原因”有 Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容，现已知事件 A确已经发生了，若要估计它是由“原 因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求 出.即可从结果分析原因.
全概率
各原因下条件概率已知
求事件发生概率 事件已发生
求是某种原因造成得概率
贝叶斯
贝叶斯公式
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)
1 11 21 1 31 1 C4 C4 2 2 2 2 2 16 5 乙胜的概率为 ，赌注应按11：5的比例分配。 16
解：设B1={他坐火车来},B2={他坐船来},B3={他坐汽车 来},B4={坐飞机来},A={他迟到}. 则 P(B1)=0.3, P(B2)=0.2,P(B3)=0.1,P(B4)=0.4, P(A|B1)=0.25, P(A|B2)=0.3,P(A|B3)=0.1,P(A|B4)=0. 由全概率公式得
应用之一
分类预测 思考…..
有如图所示的气候训练样本集，其中决策属性有：天气、气温、 湿度和风，类别属性有“运动”，类别属性的取值有：适合和 不适合
特征 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天气 晴 晴 多云 雨 雨 雨 多云 晴 晴 雨 晴 多云 多云 雨 气温 热 热 热 适中 冷 冷 冷 适中 冷 适中 适中 适中 热 适中 湿度 高 高 高 高 正常 正常 正常 高 正常 正常 正常 高 正常 高 风 无风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 有风 运动 不适合 不适合 适合 适合 适合 不适合 适合 不适合 适合 适合 适合 适合 适合 不适合
?
P(BA1 )
×
贝叶斯公式
定理1-8如果A1,A2,…An是一完备事件组；且
B A1+A2+…+An，则有：
P( Aj ) P( B / Aj )
P( Aj / B)
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
n
（贝叶斯公式）
证明.
例题
例3：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、 坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐 火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是 0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐 哪种交通工具来的可能性最大.
13
14
使用朴素贝叶斯分类预测类标志，我们希 望确定其类别属性值的数据对象是：
X={天气=“雨”，气温=“热”，湿度=“高”，风 =“有风”}
事件的独立性
引例：袋中有5个白球与3个黑球，从袋中 有放回的陆续取出两个球，设A={第一次取 出白球}，B={第二次取出白球}。求P(B), P(B/A)
P(A B) 1 P(A)P(B)
=1-0.1×0.2 =0.98
例题
例2 有4张卡片，其上分别写有2，3，5，30. 从4张卡片中任取一张，设A1表示“取到卡片 上的数字为2的整数倍” A2表示“取到卡片上 的数字为3的整数倍” A3表示“取到卡片上的 数字为5的整数倍”。试问A1 A2 A3是否两两 独立？是否相互独立？
P( B) P10 ( k )＝1-P10(0)-P10(1)
k 2
10
9 0.998 1 0.410 C1 0 . 6 0 . 4 10
例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。
(1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为： 故
3 P4(0)+P4(1) (1 p)4 C1 p ( 1 p ) 4 3 0.84 C1 0 . 2 0 . 8 =0.82 4
例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？ 解法一： 每局双方获胜的可能性均为 1 。 2 应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
1 1 1 2 1 3 P(B5 ) C3 2 2 2 16 故甲方最终获胜的概率为 11 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 16 赌注应按11：5的比例分配。
2
例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。
利用全概率公式可以把复杂的事件的概率化为 互斥的简单事件的概率来计算.
例题
例10 仓库中有10箱同类产品，其中甲厂生产的
有5箱，乙厂生产的有3箱，丙厂生产的有2箱， 三个厂的产品次品率分别为1/10，1/15，1/20。 现从这10箱中任取一件产品。已知取得是正品， 求该正品是甲厂生产的概率。
8 P10 (8) C10 0.880.22 =0.302
例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为
4 P ( k ) 1 P ( 0 ) 1 ( 1 p ) 0.59 4 4 k 1 4
2
2
3Leabharlann Baidu
4
解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。 甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为
1 1 P( B3 ) 2 4 甲方在第四局结束赌博获胜的概率为 1 1 1 1 1 P(B4 ) C2 2 2 2 4 甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
例题
例7 仓库中有10箱同类产品，其中甲厂生产的有
5箱，乙厂生产的有3箱，丙厂生产的有2箱， 三个厂的产品次品率分别为1/10，1/15，1/20。 现从这10箱中任取一件产品。求恰好取得正品 的概率。
能不能直接简单地用加法公式和乘法公式来计 算呢？或者利用古典概率和几何概率的定义来 计算呢？
不能!
这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k n k Pn (k ) Ck p q ,(k 0,1,..., n ) n
其中q 1 p
贝努里概型
进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。
若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0<p<1)。
=0.142
再由Bayes公式分别可以算得
同理可得
可见，P(B1|A)=0.5172最大,即他是坐火车来的可能性最 大.
例题
例4：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症 具有如下的效果，对癌症患者进行试验结果呈阳 性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴 性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进 行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的 0.4%，求: (1) 试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌 症的概率； (2) 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌 症的概率.
事件的独立性
定义3 对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任 意两个事件独立,就称这一组事件是两两独 立的 如果从中任取k个事件(2≤k ≤n)都有 P(Ai1Ai2… Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(AiK), 其中,k个整数i1 ,, i2, … ik 满足: 1≤ i1≤ i1≤… ik ≤ n,则称A1,A2,…,An相互 独立
当P(B/A)= P(B)时，说明事件A是否发生 并不影响事件B的发生，则称B对A是独 立的
事件的独立性
定义1 设A与B是两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立,简称A、B独立
事件的独立性
定义2 设A，B，C，是三个事件，若满足等 式： P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C相互独立,简称A,B,C独立
i 1 n
（全概公式）
例题
例8 且坏灯泡的个数从0到5时等可能的。求从 1000个灯泡中任取100个全是好灯泡的概率
并不是说 就是 5个 已知在1000个灯泡中至多有 5 个坏灯泡，
例题
例9：有十个袋子，各袋中装球的情况如下： （1）两个袋子中各装有2个白球与4个黑球； （2）三个袋子中各装有3个白球与3个黑球； （3）五个袋子中各装有4个白球与2个黑球. 任选一个袋子，并从其中任取2个球，求取出的2个球 都是白球的概率.
全概公式和贝叶斯公式
定义 1-6 若事件组A1,A2,…An满足： （1） A1+A2+…+An=Ω （2） AiAj =Φ(i ≠ j,i,j=1,2…n) 则称该事件组为完备事件组。 定理1-7 如果A1,A2,…An是一完备事件组；且 B A1+A2+…+An则有
P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
事件的独立性
若A与B相互独立则有以下性质
（1 ）设有两个事件A与B,且P(B)>0,若A与B相互 独立,则P(A|B)=P(A),反之亦然
（2 ）若四对事件
A，B；A，B； Ā ，B； Ā ，B中有一对独立， 则另外三对也独立
事件的独立性
(3)事件A与B独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
(4) 若事件A1,A2,…,An相互独立，则有 P(A1 A2 …An)=P(A1) P(A2) …P(An)
( 4)若事件A1 , A 2 ,..., A n 相互独立，则有 P(A1 ... A n )＝ 1 －P(A1 )...P(A n )
例题
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被 击中的概率。 解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。 目标被击中，即至少有一人击中，即A+B A与B独立。故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98 或由性质(4)
P(A) P10 (k )
k 6
10
＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
6 7 8 9 C10 0.860.24 C10 0.870.23 C10 0.880.22 C10 0.890.2 0.810
0.97
而正好有8人治愈的概率为
全概公式和贝叶斯公式
假设导致事件A发生的“原因”有 Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容，现已知事件 A确已经发生了，若要估计它是由“原 因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求 出.即可从结果分析原因.
全概率
各原因下条件概率已知
求事件发生概率 事件已发生
求是某种原因造成得概率
贝叶斯
贝叶斯公式
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)
1 11 21 1 31 1 C4 C4 2 2 2 2 2 16 5 乙胜的概率为 ，赌注应按11：5的比例分配。 16
解：设B1={他坐火车来},B2={他坐船来},B3={他坐汽车 来},B4={坐飞机来},A={他迟到}. 则 P(B1)=0.3, P(B2)=0.2,P(B3)=0.1,P(B4)=0.4, P(A|B1)=0.25, P(A|B2)=0.3,P(A|B3)=0.1,P(A|B4)=0. 由全概率公式得
应用之一
分类预测 思考…..
有如图所示的气候训练样本集，其中决策属性有：天气、气温、 湿度和风，类别属性有“运动”，类别属性的取值有：适合和 不适合
特征 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天气 晴 晴 多云 雨 雨 雨 多云 晴 晴 雨 晴 多云 多云 雨 气温 热 热 热 适中 冷 冷 冷 适中 冷 适中 适中 适中 热 适中 湿度 高 高 高 高 正常 正常 正常 高 正常 正常 正常 高 正常 高 风 无风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 无风 无风 有风 有风 无风 有风 运动 不适合 不适合 适合 适合 适合 不适合 适合 不适合 适合 适合 适合 适合 适合 不适合
?
P(BA1 )
×
贝叶斯公式
定理1-8如果A1,A2,…An是一完备事件组；且
B A1+A2+…+An，则有：
P( Aj ) P( B / Aj )
P( Aj / B)
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
n
（贝叶斯公式）
证明.
例题
例3：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、 坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐 火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是 0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐 哪种交通工具来的可能性最大.
13
14
使用朴素贝叶斯分类预测类标志，我们希 望确定其类别属性值的数据对象是：
X={天气=“雨”，气温=“热”，湿度=“高”，风 =“有风”}
事件的独立性
引例：袋中有5个白球与3个黑球，从袋中 有放回的陆续取出两个球，设A={第一次取 出白球}，B={第二次取出白球}。求P(B), P(B/A)
P(A B) 1 P(A)P(B)
=1-0.1×0.2 =0.98
例题
例2 有4张卡片，其上分别写有2，3，5，30. 从4张卡片中任取一张，设A1表示“取到卡片 上的数字为2的整数倍” A2表示“取到卡片上 的数字为3的整数倍” A3表示“取到卡片上的 数字为5的整数倍”。试问A1 A2 A3是否两两 独立？是否相互独立？