22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 第5课时教学设计

第5课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

一、基本目标

【知识与技能】

1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．

2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律．

3．能运用二次函数的知识解决简单的实际问题．

【过程与方法】

通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题．

【情感态度与价值观】

进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质．

【教学难点】

1．二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系．

2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．

环节1自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是__(－2，－4)__，当x__＜－2__时，函数值y 随x的增大而增大．

2．若抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点是__(－3,0)__.

3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当__a>0__时，开口向上；当__a<0__时，开口向下；

对称轴是直线__x ＝h __；顶点坐标是__(h ，k )__.

4．一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝ax 2的__形状__相同(因为a 值相同)，而__位置__不同．将抛物线y ＝ax 2__上下__平移，可得到抛物线y ＝ax 2＋k (k ＞0时，向上平移k 个单位；k ＜0时，向下平移－k 个单位)，再将抛物线y ＝ax 2＋k __左右__平移后，可得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k (h ＞0时，向右平移；h ＜0时，向左平移)．

环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学)

【例1】关于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( ) A ．图象开口向上

B ．图象的对称轴是直线x ＝1

C ．图象有最低点

D ．图象的顶点坐标为(－1,2)

【互动探索】(引发学生思考)二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的开口方向、对称轴、最高(低)点、顶点坐标分别由什么决定？

【分析】∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，故A 、C 错误．∵二次函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象的顶点是(－1,2)，∴对称轴是直线x ＝－1，故B 错误，D 正确．

【答案】D

【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的开口方向、最高(低)点由a 决定；对称轴由h 决定；顶点坐标由h 、k 共同决定．

【例2】已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出它的开口方向、对称轴．

【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的顶点坐标，怎样求二次函数的解析式呢？ 【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)， ∴可设此函数解析式为y ＝a (x ＋1)2＋2. 把点(1，－3)代入解析式，得 a ＝－54.

故抛物线的解析式为y ＝－5

4

(x ＋1)2＋2.

(2)由(1)的函数解析式可得此抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)已知二次函数的顶点，可以将二次函数的解析式设为y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的形式，再根据题目中的条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式．

【活动2】 巩固练习(学生独学)

1．对于抛物线y ＝－(x ＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( A )

①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x ＝－2；③图象不经过第一象限； ④当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．已知某二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象的如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( A )

3．已某知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是 __y ＝－3

16

(x ＋4)2＋3__.

4．已知将二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y ＝－1

2

(x ＋1)2＋3.

(1)试确定a 、h 、k 的值；

(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．

解：(1)将二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，

得到抛物线的解析式为y ＝a (x －h ＋2)2

＋k ＋4，则⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－12

，

－h ＋2＝1，

k ＋4＝3.

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－12

，

h ＝1，

k ＝－1.

(2)由(1)，得y ＝a (x －h )2＋k ＝－1

2(x －1)2－1.故它的图象的开口方向向下；对称轴为直

线x ＝1；顶点坐标为(1，－1)．

【活动3】 拓展延伸(学生对学)

【例3】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m ，宽为 2 m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6 m ，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；

(2)一辆货车高4 m ，宽4 m ，能否从该隧道内通过，为什么？

【互动探索】(引发学生思考)我们以前学会了构建一次函数模型解决实际问题，那么该怎样构建二次函数模型解决实际问题呢？

【解答】(1)设此抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2＋k . ∵顶点为(4,6)， ∴y ＝a (x －4)2＋6. ∵它过点(0,2)，

∴a (0－4)2＋6＝2，解得a ＝－1

4，

∴此抛物线的解析式为y ＝－1

4(x －4)2＋6.

(2)当x ＝2时，y ＝5＞4， ∴该货车能通过隧道．

【互动总结】(学生总结，老师点评)用函数知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系．

环节3 课堂小结，当堂达标