概率论与数理统计教案

概率论与数理统计教案
【篇一：概率论与数理统计教案】
《概率论与数理统计》课程教案
第一章随机事件及其概率
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；
(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。

理解事件的独立性。

二．本章的教学内容及学时分配
第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；
4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题
1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；
2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解
事件的互斥关系；
3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；
4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组
合，复习排列、组合原理；
5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；
五．思考题和习题
思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？
2. 怎样理解互斥事件和逆事件？
3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？
习题：
第二章随机变量及其分布
一．本章的教学目标及基本要求
(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理
解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布
计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配
第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布
离散随机变量及分布律、分布律的特征
第三节常用的离散型随机变量
常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变
量的分布函数
分布函数的定义和基本性质，公式
第五节连续型随机变量及其分布
连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时
第六节常用的连续型随机变量
常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点
a) 随机变量的定义、分布函数及性质；
b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律
或密度函数求任何
事件的概率；
c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数
分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题
a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)
构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；
c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间
的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且
p(x?x)?0，其中x为任
意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。

e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题；
五．思考题和习题
x?x?0?e,f(x)???x??1?e,x?0是否是某个随机变量的分布函数？思考题：1. 函数
2. 分布函数f(x)有两种定义——p{x?x}orp{x?x}，主要的区别是
什么？
3. 均匀分布与几何概率有何联系？
4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。

5．列举正态分布的应用。

习题：
第三章多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续
型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。

(2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。

(3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。

(4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数x+y, max(x, y), min(x, y))的分布。

二．教学内容及学时分配
第一节二维随机变量
二维随机变量及其分布，离散型随机变量及其分布律、连续型随机
变量及其密度函数、它们的性质、n维随机变量 2学时第二节边缘分布
边缘分布律、边缘密度函数 2学时
第三节条件分布 1学时第四节相互独立的随机变量
两个变量的独立性，n 个变量的独立性 1学时第四节二维随机变量的函数的分布
已知(x,y)的分布率pij或密度函数?(x,y)，求z?f(x,y)的分布律或密
度
函数?z(z)。

特别如函数形式：z?x?y,z?max(x,y),z?min(x,y)。

2学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
??b) 边缘密度函数的计算公式：
?x(x)?????(x,y)dy的运用，特别是积分限的确定和
变量x的取值范围的讨论；
c) 随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘
分布律或密度函数
可以确定联合分布律或联合密度函数；
??d) 推导z?x?y的密度函数的卷积公式：
积公式；
?x?y(t)?????(x,t?x)dx，正确使用卷
e) 在x，y独立性的条件下，推导z?max(x,y),z?min(x,y)的密度函数，注
意它们在可靠性方面的应用。

四．教学过程中应注意的问题
a) 注意联合分布函数能决定任意随机变量x或y的分布（边缘分布），反之则不能确
定(x，y)的联合分布，由正态分布可以说明；
b) 在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点(x0,y0)，使得：
p(x?x0,y?y0)?p(x?x0)p(y?y0)或?(x0,y0)??x(x0)?y(y0)，则称变
量x与y不独立；
c) 一般计算概率使用如下公式：
p((x,y?)g?)
(x,y?)g???(x,y)dxdy，注意二重积分运算知识点的复习。

d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。

五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量x,y的边缘分布能否决定它们的联合分布？ 2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变
量的独立性是否一致？
4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。

习题：
第四章随机变量的数字特征
一．教学目标及基本要求
(1) 理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2) 掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。

(3) 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差；
(4) 了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

二．教学内容及学时分配
第一节数学期望
离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望
的应用、数学期望的性质 3学时第二节方差
方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳
2学时
第三节协方差与相关系数 2学时第四节矩和协方差矩阵 1学时三．本章教学内容的重点和难点
a) 数学期望、方差的具体含义；
b) 数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。

c) 期望、方差的应用；四．本章教学内容的深化和拓宽
将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。

五．教学过程中应注意的问题
a) 一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存
在，如柯西分布是最著名的例子； b) 数学期望的一个具体的数字，不是函数； c) 由方差的定义知，方差是非负的；
d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，x与y独立，则x与y 不相关，反之则
不然，但对于正态分布，两者却是等价的；
六．思考题和习题
思考题：1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，
将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？并比较其优劣。

2. 方差的定义为什么不是e|x?ex|？
【篇二：概率论与数理统计教案】
概率论与数理统计教案 1 第一次课?2 学时? 教学内容?教材 1-6 页?
主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事
件之间的运算规律。

教学目的? ?1?了解概率论这门学科的研究对象?主要任务和应用领域? ?2?深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念?掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。

?3?深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事
件和差事件的意义?掌握事件之间的各种运算?熟练掌握用已知事件
的运算表示随机事件? ?4?掌握事件之间的运算规律?理解对偶律的
意义。

教学的过程和要求? ?1?概率论的研究对象及主要任务?10 分钟? 举
例说明概率论的研究对象和任务?与高等数学和其它数学学科的不同
之处?简单介绍概率论发展的历史和应用? (i)概率论的研究对象? 确
定性现象或必然现象?在相同的条件下?每次观察?试验?得到的结果
是完全相同的现象。

例?向空中抛掷一物体?此物体上升到一定高度后必然下落? 例?在一
个标准大气压下把水加热到 100℃必然会沸腾等现象。

随机现象或偶然现象?在相同的条件下?每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。

例?在相同的条件下抛一枚均匀的硬币?其结果可能是正面?分值面?
向上?也可能是反面向上?重复投掷?每次的结果在出现之前都不能确定? 例?从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。

(ii)概率论的研究任务? 概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象
的统计规律性的一门数学学科。

(iii)概率论发展的历史? 概率论起源于赌博问题。

大约在 17 世纪中叶?法国数学家帕斯卡(b pascal)、费马?fermat?及荷兰数学家惠更
斯(c hugeness)用排列组合的方法?研究了赌博中一些较复杂的问题。

随着 18、19 世纪科学的迅速发展?起源于赌博的概率论逐渐被应用
于生物、物理等研究领域?同时也推动了概率理论研究的发展. 概率
论作为一门数学分支日趋完善?形成了严格的数学体系。

(iv)概率论发展的应用? 概率论与数理统计教案 2 概率论的理论和方
法应用十分广泛? 几乎遍及所有的科学领域以及工、农业生产和国民经济各部门. 如应用概率统计方法可以进行气象预报?水文预报和市
场预测、股市分析等?在工业中?可用概率统计方法进行产品寿命估
计和可靠性分析等。

?2?随机事件与样本空间? ?25 分钟? ?重点? 重点讲清随机试验的
目的、随机试验要求具备的条件、概率论中随机试验可以是主动做
试验?也可能是被动观察某一随机现象? 讲清楚随机试验的基本事件、样本空间的定义?对于每个概念要举例说明?可用书中例 1、例 2、例3、例 4 或其它?例子中应该包括有限的、无限可数?连续的等类型。

应该使学生了解样本空间可以是有限的也可以是无限的?可以是离散
的也可以是连续的。

随机事件的概念?基本事件与一般随机事件关系、区别?在上述例子
中继续给出事件的例子。

着重说明事件发生和不发生的含义?引进必然事件和不可能事件的意义。

(i)随机试验的目的? 要研究随机现象的规律需要进行大量的观察和试验。

(ii)随机试验要求具备的条件? 试验可以在相同的条件下重复进行?
试验所有可能的结果是明确知道的?并且不止一个? 每次试验必然出
现这些可能结果中的一个?但试验前不能预知出现哪一个结果? 这样
的试验称为随机试验?简称试验?用字母 e 表示. 例?掷一枚均匀硬币
观察正面和反面出现的情况? 例?某日电话总机所接到的呼叫次数? 例?在一批灯泡中任意抽取一个?测试其寿命等等都是随机试验。

(iii)基本概念? 基本事件?样本点? ?每一个可能的基本结果?不可分解?称为 e 的基本事件?通常用? 表示. 基本事件空间 ?样本空间? ?
e 的所有基本事件组成的集合称为 e 的基本事件空间?常用}例 1 ?1? 抛一枚均匀的硬币? 其可能出现的结果只有两种? 正面、反面. 若令1??2? 投掷一颗骰子?观察出现的点数. 其可能出现的点数为?1、2、3、4、5、6?若令{???表示。

? =正面?12? =反面?则 ?? =i ?i =1?2?3?4?5?6?则21,??为该随机
试验的两个基本事件?2?? ???为样本空间. ii? 为随机试验的基本概
率论与数理统计教案 3 事件?样本空间?3? 观察单位时间内到达某公
交车站候车的人数?令内有 i 人到达车站候车?,?4? 从一批灯泡中任
取一只?以小时为单位?测试这只灯泡的寿命?令 t 表示灯泡的寿命?
则大于等于零的任意一个实数都是该试验的一个样本点??件?通常用
大写字母c例?投掷一颗骰子出现的点数为偶数可以用事件 a表
示?a={出现的点数为偶数}={2?4?6}?而b ={出现的点数大于
4}={5?6}、c ={出现的点数为2}等等都是随机试验的事件. 事件发生?若一次试验结果出现了事件 a 中的样本点?即当试验结果为
121,{????}i654321 {},,,,6543?? =单位时间i?????????. ???1. ? 20}??i?则基本事件为? ?样本空间2, 1 ,0{},,,{210? ???????0???tt. 随机事件?在随机试验中可能发生、也可能不发生的事情称为随机事ba、、等表示. ? 且a?1?必然事件?称? 为必然事件. 不可能事件?不包含任何基本事件的事件称为不可能事件?记作? . ?3?事件之间的运算关系? ?30 分钟?重点对于每一种关系应该举例、画维恩图说明其含义?积事件和和事件要时?则称事件 a 发生?否则称 a 不发生. 着重说明并推广到多个事件?说明对立事件与互斥事件的相同点与不同点及其应用?差事件的意义及几种表示方法及运算关系? 事件之间的运算关系? 1?事件的包含关系?设在同一个试验e 中有两个事件 a 与 b?若 a发生必然导致 b 发生?即 a 中任意一个基本事件都在 b 中? ?则称事件 b包含事件 a?记作例?如投掷一颗骰子的试验?a={出现 4 点}?b={出现偶数点}?则 a 发生必导致 b 发生?故2?事件相等?若b 例?如掷骰子试验中?记 a={掷出 3 点或 6 点}?b ={掷出 3 的倍数点}?这两个事件所包含样本点相同?因而3?和事件?称事件 a和 b 至少有一个发生所构成的事件为 a 与 b 的和事件?记作b例?如掷一颗骰子观察所得的点数?设 a={1?3?5}?b={1?2?3}?则b例 2?测试灯泡寿
命的试验中?令ab ??或ba??. ba?。

a?且ab ??则称事件ba ?. ba ?。

a?. a?={1?2?3?5}。

??1000??ttb?寿命不超过 1000 小概率论与数理统计教案 4
时? ???500??tta?寿命不超过 500 小时? ? 则??1000???ttbba? ?寿命不超过 1000 小时? 。

4? 积事件? 称事件 a 与 b 同时发生所构成的事件为 a 与 b 的积事件?记作b例?如在掷骰子的试验中},机试验出现 4 点时?a 与 b 同时发生。

5?互斥事件?若事件b与 b 是互斥事件或互不相容事件。

例 3?掷一颗骰子?令 a={出现奇数点}?b={出现 4 点}?则有即 a 与 b 互斥?6?互逆事件?若事件 a 与事件 b 在一次试验中必有且只有一个发生?则称事件 a 与 b 为互逆事件或对立事件。

例 4 ? 掷一颗骰子 ? 令 c={ 出现偶数点 } ? 则c由于?7?差事件?称事件a发生而b不发生所构成的事件为a 与b的差事件?记作
b例 5? 掷骰子试验中? 令 c={2? 4? 6}? d={1? 2? 3}? 则 } 3?4?事
件之间的运算规律?5 分钟? 事件之间的交换律、结合律、分配律只
需简单说明?举例说明对偶律的意义和应用。

事件之间的运算律? 1?交换律?ab2?结合律?(3?分配律?bc4?德摩
根定律?对偶律? ??到任意多个事件的情形? 。

?5?以例 6 和例 7 为主。

学生练习例 6?设算表达式表示下列随机事件. ?1?a 与 b 发生但 c 不发生? ?2?事件a?或 ab . } 5, 4, 3{6, 4,
2{??ba?则 ab ={4}?即只有随a、不能同时发生?即??ab?则称事件a??ab???5431??????baba?。

??ac? 且a?????4?3?61 {5b432?而1????a????所以}ac ??所以?即 c 与 a是互逆事件?但b?ab5????a、不是互逆事件. a?. dcdc????64???1 {????cdcd.
ba??a?acb?cba?b??b?a?c?? )()()ab?bccaac??ab?bc(abaa?(b ????a?? ))(?)cbbac,??可以推广???? ab?2 , 128ap?10 分钟? cba、、是样本空间? 中的三个随机事件?试用cba、、的运cba、、中至少有一个发生? 概率论与数理统计教案 5 ?3?事件?4?事件?5?
事件解? ?1??4?cccbbbaaa、、中至少有两个发生? 中恰好有两个
发生? 中不多于一个事件发生. ab ? ?2?c、、、、
cccba???ab? ?3?cacbcabbc??? ?
ababcabacab?????5?cbacbacbacba???或acbcab??。

练习2 , 128ap?10 分钟? 。

第二次课?3 学时? 教学内容?教材 7-13 页?主要内容?概率的古典定义、统计定义、几何定义?概率的公理化体系及概率的性质。

教学目的? ?1?理解概率的古典定义的条件?掌握计算的一般方法?理解古典概率具备的三条性质? ?2?粗知概率的统计定义和几何定义?
归纳其性质? ?3? 深刻理解概率的公理化定义的意义? 掌握概率的性
质在概率计算中的应用。

教学的过程和要求? ?1?举例简单说明什么是概率? ?5 分钟?阐述概
率是随机事件发生的可能性的大小。

举例说明? 例?抛一枚均匀的硬币?因为已知出现正、反面的可能性
相同?各为2足球裁判就用抛硬币的方法让双方队长选择场地?以示
机会均等. 例?某厂研制出一种新药?要考虑新药在未来市场的占有率
将是多少. 市场占有率高?就应多生产?获取更多利润?市场占有率低?就不能多生产?否则会造成产品积压. 上述问题中的机会、市场占有
率以及彩票的中奖率、产品的次品率?射击的命中率等都是用来度量
随机事件发生的可能性大小的.都可以用0到1 之间的一个数值?也
称为比率?来作为随机事件 a发生的可能性大小的度量?即事件 a发
生的概率?记作把随机事件出现的可能性大小的度量值称为该随机事
件的概率. ?2?概率的古典定义和计算?30 分钟? ?由简单的例子说明古典概率应具备的条件?即有限性和等可能性?重点讲解古典概型的
条件和计算?定义1?)(ap. 概率论与数理统计教案 6 中强调事件和样
本空间所含样本点数?而不需知道是什么样本点?讲解书中例 1 和例2?并通过简单的例子?如掷骰子?归纳古典概率的三个性质。

?20 分钟? 。

书中例 3 可不讲?补充习题?学生先做教师讲解? 。

?10 分钟? (i)古典概率应具备的条件? 试验的样本空间? 中只含有有
限多个基本事件?称为有限性? 在每次试验中?每个基本事件出现的
可能性相同?称为等可能性. 具有这种特点的随机试验称为古典概型. (ii)概率的古典定义? 定义?若随机试验为古典概型?且已知样本空间? 中含有n个基本事件?事件 a中含有 k 个基本事件?则事件 a 的概率aa含中所定义中强调事件和样本空间所含样本点数? 而不需知道是
什么样本点。

(iii)古典概型的计算? 利用概率的古典定义计算随机事件 a 的概率?
首先要确定随机试验 e满足古典概型的特点?然后确定样本空间? 所
包含的基本事件总数 n 和事件 a 中包含的基本事件数 k.有例 1?从有
9 件正品、3 件次品的箱子中抽取两次?每次一件?按两种方式抽
取?1?不放回? ?2?有放回?求事件 a={取得两件正品}和事件 b={取
得一件正品一件次品}的概率. 解? ?1? 从 12 件产品中不放回抽取两件?? 所含的基本事件数为a 包含的基本事件数为611?2? 从 12 件
产品中有放回抽取两件?? 所含的基本事件数为包含的基本事件数为
9 ?b 包含的基本事件数为312例 2? 将 n 个球随意地放入 n 个箱子
中入任意一个箱子?求下列各事件的概率? ?1?指定的 n 个箱子各放
一个球? ?2?每个箱子最多放入一个球? ?3?某指定的箱子里恰好放
入k ?解?将 n 个球随意地放入 n 个箱子中?共有nkp???基本事件
总数中所包含的基本事件数 )( nkap?)(。

212p ? 29 p ?b 包含的基本事件数为8121319 122pp13p19p?所以? 9? 2291112 ? a12322)(,11129)(2229??????????pbpppap 2293339?92???????所以? 812123)(,49)(222?????????bpap )
nn ??? 假设每个球都等可能地放nk ??个球. n 种放法?
记?1? 、 ?2? 、n概率论与数理统计教案 7 ?3?的事件分别为 ?1?
将 n 个球放入指定的n个箱子? 每个箱子各有一球? 其放法有 ! n 种?故有 ?2?每个箱子最多放入一个球?等价于先从 n 个箱子中任选出 n 个?然后每个箱子中放入一球?其放法有cba??. nnnap!)(? !
nnnncncn种?故 !nnbp)(? ?3?先任取 k 个球?有knc 种取法?放入
指定的箱子中?然后将其余的kn ?个球随意地放入其余1?n个箱子?共有knn?? ) 1(种放法?故有 nknknnnccp???) 1()(. 补充例题? 例题?一个机构投资商考虑对 5 个公司中的 2 个公司进行一项大的投资?假设投资者不知道5个公司中的2个公司关于新产品的开发的基础
不稳定。

a?列出所有可能的基本事件。

b?确定从 3 个基础更好的公司中选出 2 个公司的概率。

c?所选公司中包含 1 个基础不稳定的公司的概率是多少? d?选出 2
个基础最不稳定公司的概率是多少? (iv)古典概率的三个性质?
1?2?3?设事件 ?3? 简单介绍统计概率和几何概率的定义? 并说明其
与古典概率具有相同的性质? ?10 分钟? (i)统计概率的定义? 定义?
在一组不变的条件下?进行大量重复试验?随机事件 a出现的频率n
值 p 为随机事件 a 的概率?记为1)1a(0p?? ?1?(a?p)? ?n
a?a??2?p两两互斥?则? ????????)()()(2121apapaaan)(nap kafn?)(稳定地在某个固定的数值 p 的附近摆动?我们称这个稳定pap?)(. 概率论与数理统计教案 8 (ii)几何概率的定义? 定义?设在可
测区域? 内?任一具有相同度量的子区域被取到的可能性相等? 且从? 中随机取一点属于子区域a的可能性只与a的测度成正比?而与 a 的形状及位置无关?则事件 a={点属于 a}的概率为? ?统计概率和几何
概率与古典概率具有相同的性质。

?4? 由前面概率的性质引出概率的公理化定义? 说明公理化定义的伟大意义。

?10 分钟? (i)概率的公理化定义? 定义?设随机试验 e 的样本空间
为? ?对于 e 的每一个事件 a?赋予一个实数) ?1?非负性?对于任
意 ?2?规范性? ?3?可列可加性?若 ?则称)(ii)公理化定义的意义? 事
件概率的统计定义、古典概率定义、几何概率定义在一定的范围内???ssapaa的测度区域的测度子区域)( (ap?且)(ap满足以下三个
条件?公理? ? ?1??为事件 a 的概率. ?a?有
0)(?ap? )(??p? ?1a??????2?n aaa?是两两互斥的事件列?
有 )???121()(iinapaap? (ap解决了某些实际问题?但这几种概率的
定义都存在着应用上的局限性?缺乏数学定义的严密性与一般性.经过长期的研究?到 1933 年?苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人的
研究成果的基础上?提出了概率的公理化体系?明确定义了概率的基
本概念?使概率论成为一门严谨的数学分支。

?5?重点讲解概率的性质及应用。

性质 1 和性质 2 比较显然?直接给出?可不证?性质 3?说明对立事件的应用? 、性质 4 和性质 5 给出证明?并举出应用的例子。

性质 5?加法定理?给出三个事件的情形?可
根据图形让学生自己总结?进而推广到n个事件的情形。

?20 分钟? 概率的性质及证明? 性质 1?性质 2? ?有限可加性?设有
限个事件0)(??p? n aaa?????12两两相斥?
则 ?????????niinnapapapapaaap12121)()()()()(?? 性质 3?对任
何事件 a?有)(1)(apap??. 概率论与数理统计教案 9 证明 ? 由??aa 且??aa?? 由性质2有 )()()()(apapaapp?????p 即?性质 4?设证明?因为由可加性得即一般(性质 5? ?加法定理?设???1)()a、为两个事件?且a)(apba)?则 )(p意(1)(aab?)pap?b ?(bp
任 ?. )()()(bpapbab(p????). b ??所以(ab(b对abb??且a[(??a、
为任意两个事件?则 ))?)](???(?且p??)?bb?a?)()b事?
apb(a)bappap??? a 情a况下(件ba、?
有))))(papabpbap????)()(()(bab? p?babpapbap(??(?. 证
明?ababa??????)ba 由性质 2、4
得? )()()()]([)(abpbpapabbapbap???????。

n 个) 3?n??事件的概率加法公式? ?)()
1()()()()(1121111?????????????????ninjinnnkjikjijiiniaaapaaa paapapapi????6?利用例 5 说明概率性质的应用?可补充例题。

?10 分钟? 例 5?设3 ?1?1)(?ap?21)(?bp?分别在下列条件下
求)( abp? ba ?? ?2?a 与 b 互斥? ?3?81)(?abp.
解?)())p((?))p()b(a ?abpbapp)abab?bpabp??因此 )??(?pa? ?1??则()6(1)()(((???apbpabbbp? ?2? 若ba、互斥? 则 10)(?abp? 因
此 21)()1)(???abp3bp1abp? ?3?8)(?abp?因此
882)()()(?????abpbpabp. 补充例题? 例题? 某企业与甲、乙两公
司签订某商品的长期供货合同? 从以往情况看? 甲概率论与数理统计教案 10 公司按时供货的概率为 0.9? 乙公司按时供货的概率为 0.75? 这两公司都按时供货的概率为 0.7?求至少有一家公司按时供货的概率。

?7?书中配套练习第三次课?4 学时? 教学内容?教材 14-17 页?主要
内容?条件概率的定义、概率的乘法定理及应用、全概率公式的证明
及应用。

教学目的? ?1?深刻理解条件概率的意义?掌握条件概率的计算? ?2? 了解概率的乘法定理在实际应用中的重要性? 掌握两及多个事件乘积。