泛函分析讲义张恭庆答案

泛函分析讲义张恭庆答案

【篇一：《泛函分析》课程标准】

>英文名称：functional analysis课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4

一、课程性质

泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数

学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限

选课程。

二、课程理念

1、培育理性精神，提高数学文化素养

基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在

数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是

数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生

学习的基础，。它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其

他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理

解基础课程的理论将有很大的益处。该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人

才培养的目标要求。

2、良好的学习状态，提高综合解题能力

本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。学生刚刚结束

教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始

准备找工作。《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。需要师生共同努力去正确面

对才能顺利完成本门课的教学任务。为学习研究生课程和现代数学

打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。

3、内容由浅入深

本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：

“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量

空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠

密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般

的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋

范空间以及巴拿赫空间。在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，

并讨论相关性质。第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到

内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影

的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。最后，介绍

巴拿赫空间中的四个著名定理：hahn-banach泛函延拓定理，一致

有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分

析的威力及其广泛应用。

4、理论联系实际，拓展学生知识面

在教学过程中，主要把握以下几点：将先进的教学思想和教学理念

贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决

问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启

迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学

基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的

能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。课堂

教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数

学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。教师通过

应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛

函分析的内容。

要求学生做到：将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽

象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课

时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅

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相关文献，了解相关结论。

5、深化考核方式的改进，确保教学质量

本课程主要采用课内外结合的学习方式，即课堂上以教师讲授为主，课下以学生实践为主，通过学习使学生掌握泛函分析基本思想，加

深对数学知识的理解，达到学生能力培养的目标，同时为今后学习

提供必要的理论基础。

通过本课程的考核，使学生比较系统地了解与掌握度量空间和线性

赋范空间、有界线性算子和线性连续泛函、内积空间和巴拿赫空间、巴拿赫空间中的基本定理的基本概念、基本性质，提高抽象思维能力，为今后学习打下必要的基础，并能在较高的理论水平的基础上

处理数学分析等课程的有关内容。

在教学过程中应要求学注意联系数学与应用数学专业的基础课程；

要充分利用泛函分析的方法进行证明；注意培养学生应用泛函分析

能力，提高证明的能力。

三、课程目标

本课程既要注重讲授基本的理论和知识，更要重视对学生的逻辑思

维能力的培养和提高。 1、总目标

通过介绍本课程，使学生了解本课程的性质、地位及研究的主要范围、研究方法与该学科的进展；引导学生自觉、主动学习，改变被

动式学校的方式，使学生掌握泛函分析的基本知识和基本理论；通

过训练学生对一些结论的证明，使学生具备较强的抽象思维能力、

逻辑推理能力，从而形成严格而精确的数学素养。

2、分目标

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四、课程内容

根据课程特点，本课程内容划分为四个教学单元，每一单元的内容

进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分。

第一单元度量空间和线性赋范空间 1、基础性内容

度量空间的概念和常见例子、度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间、度量空间的完备化定理、压缩映照原理、线性空间、线性赋范空间和巴拿赫空间的基本概念。

2、提高性内容

在具体空间上定义度量，应用压缩映照原理解决具体问题。 3、拓

展性内容

文化素质拓展：泛函分析发展简史。知识拓展：把具体度量空间完

备化。第二单元有界线性算子和线性连续泛函 1、基础性内容

有界线性算子、线性连续泛函、线性算子空间、共轭空间。 2、提

高性内容广义函数大意。 3、拓展性内容

文化素质拓展：巴拿赫代数简单知识。知识拓展：简单度量空间的

共轭空间。第三单元内积空间和巴拿赫空间 1、基础性内容

内积空间的基本概念、投影定理、bessel不等式及相关定理、riesz 定理、自伴算子、酉算子、正常算子。

2、提高性内容重要定理的证明方法。

3、拓展性内容

文化素质拓展：泛函分析中著名数学家简介。知识拓展：应用本章

定理证明一些相关结论。第四单元巴拿赫空间中的基本定理 1、基

础性内容