用母函数法统一解决三类排列与组合问题

用母函数法统一解决三类排列与组合问题

作者：高仕学

来源：《课程教育研究》2017年第07期

关于三类排列与组合问题在排列组合知识中已经得到解决，但其方法都不相同，有的方法简单，有的方法复杂。如果用母函数概念，不仅可以统一三类排列与组合问题，而且使复杂问题简单化，简单问题一目了然。下面我们就用母函数方法，通过举例解决三类排列与组合问题。

一、用母函数法统一解决三类组合问题

首先，什么是母函数？

形式幂级数A（x）=anxn叫数列{an}的普通母函数，简称母函数。

其次，举例用母函数法统一解决三类组合问题。

例1 在四张不同的卡片中任取3张，问有多少种不同的取法？

解：这是一个无重合组合问题

设从中任取r个的不同取法有ak种

则{an}的母函数为（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=（1+x）4展式中项x3的系数

a3=C=4

所以有4种不同的取法

例2 在a，b，c，d，e五个字母中任取3个，允许重复，问有多少种不同的取法？

解：这是一个无限重合组合问题

设从中任取r个的不同取法有ak种

则{an}的母函数为（1+x+x2+x3）5，而

（1+x+x2+x3）5=（）5=（1+x2）5（1+x）5

=（1+Cx2+Cx4+Cx6+Cx8+Cx10）

（1+Cx1+Cx2+Cx3+Cx4+x5）

=1+5x+10x2+35x3+…

展式中项x3的系数a3=35

所以有35种不同的取法

例3 在口袋中放着12个球，其中有3个红球，3个白球，6个黑球，从中任取8个球，问有多少种不同的取法？

解：这是一个有限可重的组合问题

设从中任取r个的不同取法有ak种

则{an}的母函数为

（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6）

直接计算得项x8的系数a8=3+4+3+2+1=13

所以有13种不同的取法

二、用母函数法解决三类排列问题

首先，什么是指母函数？

形式幂级数u（x）=ar叫数列{an}的数型母函数，简称指母函数。

其次，举例用母函数法统一解决三类排列问题。

例4 用1，2，3，4四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解：这是一个无重排问题

设有ar个三位数

则{an}的指母函数为u（x）=（1+x）（1+x）（1+x）（1+x）=P

展式中项的系数a3=4？鄢3？鄢2=24

所以，可以组成24个没有重复数字的三位数

例5 有n个正方形排成一行，今用红、白、黑三种颜色给这n个正方形染色，每个正方形只染一种颜色。如果要求染白色的正方形必须是偶数个，问有多少种不同的染法？

解：这是一个无限可重排问题

设有ar种不同的染法

而在问题中对红、黑两种没有要求，只要求白色出现偶数次，则{an}的指母函数为：

u（x）=（1+x+++…++…）

？鄢（1+x+++…++…）

？鄢（1+++…++…）

又问题是求n一无限可重排列的个数

u（x）=（1+x+++…++…）2

？鄢（1+++…++…）

=（3r+1）

所以ar=an=（3n+1），即有（3n+1）不同的染法。

例6 有五个数字，其中两个1，两个2，一个3，问用这五个数字能组成多少个四位数？

解：这是一个有限可重排问题

设ar表示组成r位数的个数

则{an}的指母函数为

u（x）=（1+x+）（1+x+）（1+x）

=1+3x+8+18+30+30

所以a4=30，即有30个四位数

综上所述，用母函数法确能统一解决三类排列与组合问题，它是一种行之有效的简便方法，它能使读者在学习时，化繁为简，化难为易，给其带来莫大的方便，大家不妨试一试。

参考文献：

[1]曹汝成.《高等代数》（组合数学）

作者简介：

高仕学（1956.08.30-），男，汉族，重庆人，理学士，教授，五次参与主持市级课题研究，主编数学教材，发表多篇教学论文。