2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年全国高考2卷理科数学试题及答
案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学
本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。

考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。

填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。

考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。

一、选择题
本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=
A)-2i(B)-i(C)i(D)2i
2.函数y=2x(x≥0)的反函数为
A)y=(x∈R)
B)y=(x≥0)
C)y=4x2(x∈R)
D)y=4x2(x≥0)
3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是
A)a>b+1
B)a>b-1
C)a>b
D)以上条件都是
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=
A)8(B)7(C)6(D)5
5.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移
2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小
值等于
A)1/3
B)3
C)6
D)9
6.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，
B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于
A)2√3/3
B)√2
C)1
D)2√3/3
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A)4种
B)10种
C)18种
D)20种
8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围
成的三角形的面积为
A)1/12
B)1/2
C)1/3
D)1/32
9.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=
A)-11/16
B)-1/4
C)1/4
D)11/16
210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C
交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)
解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为
F(0,1)。

将直线y=2x-4代入抛物线方程得到方程4x=2x-4，解
得x=-2，y=-8，即点A(-2,-8)。

同理，可求出点B(1,4)。

根据
向量的内积公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)，可以求得向量AF和向量FB，再代入公式即可得cos∠AFB=1/√10.
答案：(A) 1/√10
4334.
解析：该题存在格式错误，无法解答。

5555.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M
的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π
解析：由于圆M是球面上的一个截面圆，因此其半径为
球面半径的一半，即r=2.根据题意，可求出圆M的面积为4π，因此其半径为2.由于平面β与平面α成60度，因此圆N的半
径为2cos60=1，面积为π。

答案：(A) 7π
12.设向量a,b,c满足a=b=1,ab=-1/2，a-c,b-c=√3/2，则c的
最大值等于
解析：由于a=b=1，因此ab=1，与已知ab=-1/2矛盾。

因
此该题存在问题，无法解答。

13.1-(x/20)的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为
______.
解析：根据二项式定理，(a+b)^n的展开式为
∑(n,k)a^k*b^(n-k)，其中k为0到n的整数。

因此，1-(x/20)^n
的展开式中，x^k的系数为C(n,k)/20^k，其中C(n,k)为组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)。

因此，x的系数为C(n,1)/20=C(n,n-1)/20，x^2的系数为C(n,2)/20^2=C(n,n-2)/20^2，两者之差为C(n,n-
1)/20-C(n,n-2)/20^2=C(n-1,n-1)/20^2-C(n-2,n-2)/20^2=1/20^2.
答案：1/400
14.已知α∈[5π/2,π/2]，sinα=5/13，则tan2α=______.
解析：根据tan2α=2tanα/(1-tan^2α)和sin^2α+cos^2α=1可
得cosα=12/13，tanα=5/12.代入公式可得tan2α=2*(5/12)/(1-
(5/12)^2)=120/119.
答案：120/119
15.已知F1、F2分别为双曲线C: 9x^2-y^2=1的焦点，点
A∈C，点M的坐标为(2,0)，AF1、AF2分别为∠F1AF2的角
平分线，则AF2=______.
解析：根据双曲线的定义可知，F1、F2分别为双曲线的
两个焦点，且有AF1-AF2=2πi，其中i为双曲线的离心率。

由
于C的离心率为√10/3，因此AF1-AF2=2πi=2π*√10/3.又因为
AF1、AF2为∠F1AF2的角平分线，因此
AF1/AF2=F2A/F1A=√(F2M^2+FM^2)/√(F1M^2+F M^2)，其中FM=2，F1M^2=9(F1M-x)^2-1=9(x^2-4x+4)-1=9(x-2)^2+7，
F2M^2=9(x+1)^2-1=9x^2+18x+8，代入公式可得
AF1/AF2=√(9x^2+18x+40)/√(9(x-2)^2+47)，解方程得到x=1/3，因此AF2=√(9x^2+18x+8)=7.
答案：7
16.已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值等于______.
解析：首先，连接EF、AC。

由于正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，因此有BE=2/√2=√2，CF=2/√2=√2，AC=√2.又因为B1E=2EB，CF=2FC1，因此BE=2/3B1E，
C1F=2/3CF。

因此，BE和C1F分别为棱BB1和CC1的三分之二。

连接BM、CN，可得∠BMC=∠CNA=45度。

又因为BM=CN=√2/2，因此BMNC为正方形。

又因为EF平行于
B1C1，因此EF垂直于平面B1C1D1.因此，二面角的正切值等于EF在平面ABC上的投影与平面ABC的夹角的正切值。

由于∠BMC=∠CNA=45度，因此平面ABC与平面MNCN的夹角为45度。

又因为EF垂直于平面B1C1D1，因此其在平面ABC上的投影为AC，因此二面角的正切值为tan45=1.
答案：1
17.ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c。

已知A-C=90，a+c=2b，求C。

解析：根据余弦定理可得c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入已知条件可得c^2=a^2+b^2+2ab。

又因为A-C=90，因此
sinA=cosC，代入已知条件可得a/b=___。

因此，a/b=tanA，
c/b=tanC，代入已知条件可得tanA+tanC=2.根据
tan(A+C)=tan90=无穷大可得tanC=-tan(A+C)=-a/b，代入
tanA+tanC=2可得tanA=3/4，tanC=-4/3.因此，C=arctan(-4/3)≈-53.13度。

答案：-53.13度
18.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

解析：（Ⅰ）该地车主不购买甲、乙两种保险的概率为0.2，因此至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为1-
0.2=0.8.
Ⅱ）根据题意，X服从二项分布B(100,0.5*0.3=0.15)，因此X的期望为E(X)=np=100*0.15=15.
答案：（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）15
19.如图，四棱锥S-ABCD中，___，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB;
Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

解析：（Ⅰ）连接AD、BS、CS，可得BS=CS=√3，
SD=2/√3，因此BS^2=SD^2+BD^2，即三角形SDA与三角形BSA相似。

因此，∠SDB=∠SAB，∠SBD=∠SBA，因此SD 垂直于平面SAB。

Ⅱ）连接AC，可得AC=√8，因此
cos∠ABC=AB/AC=1/√2.又因为BS=CS=√3，因此cos∠___√3.
因此，cos(∠ABC-
∠SBC)=cos∠ABC*cos∠SBC+sin∠ABC*sin∠SBC=1/2*1/√3+√2/2*√3/2=5/6，因此∠ABC-∠SBC=arccos(5/6)，即
∠ABC=arccos(5/6)+∠SBC≈59.04度。

答案：（Ⅰ）证毕；（Ⅱ）约为59.04度
20.设数列{an}满足a1=0，(an+1-11)/(1-an)=an/(1+an+1)，
n≥1.
Ⅰ）求{an}的通项公式；
Ⅱ）设bn=∑(i=1,n)ai，求lim(n→∞)bn/n。

解析：（Ⅰ）将等式变形可得an+1=(11an+1)/(an+12)，因此an+1=(11/12)^n。

因此，{an}的通项公式为an=(11/12)^(n-1)。

Ⅱ）根据Stolz定理可得lim(n→∞)bn/n=lim(n→∞)(bn-bn-1)/(n-n-1)=lim(n→∞)an=0.
答案：（Ⅰ）an=(11/12)^(n-1)；（Ⅱ）0
19.（本小题满分12分）
已知直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，
AB//CD,BC CD，侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2.求
证SD垂直于平面SAB，同时求点A到平面SBC的距离d。

证明：由勾股定理可得，AD=BD=5.又因为SAB为等边
三角形，所以SD+SA=AD=5，SD+SB=BD=5.因此，SD垂直
于SA和SB，即SD垂直于平面SAB。

设点A到平面SBC的
距离为d，则SD垂直于AB和CD，因此SD也垂直于CD，
即SD是CD的高。

由于SBC是等腰三角形，所以SC=2，
SB=BC=2，因此S△SBC=2/7.又因为CD//平面SAB，所以点
C到平面SAB的距离为SD=1.另外，S△SBA=3/4，所以四棱
锥A-SBC的体积为171d，四棱锥C-SAB的体积为323.因此，171d=323×3×1/2，解得d=221/7.
20.（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an/(n+1-a)，n≥1.
Ⅰ）证明an=1/n。

证明：对于n=1，有a1=1=1/1，命题成立。

假设对于n=k，命题成立，即ak=1/k。

则对于n=k+1，有ak+1=ak/(k+2-
ak)=1/(k+1)，因此命题对于n=k+1也成立。

由数学归纳法可知，命题对于所有正整数n成立。

Ⅱ）设bn=an-an+1，n≥1，求证∑___<1.
证明：根据题意，bn=an-an+1=1/n-1/(n+1)，因此∑bn=1/1-
1/2+1/2-1/3+。

+1/(n-1)-1/n。

可以发现，每相邻两项之和为0，因此∑bn=1-1/n<1，命题得证。

21.（本小题满分12分）
已知椭圆E：4x²+y²=4，直线l:y=-2x+1.
Ⅰ）证明：直线l与椭圆E有两个交点A、B，且
OA+OB+OP=0，其中O为坐标原点，P为交点AB的中点。

求证SD垂直于平面SAB，同时求点A到平面SBC的距离d。

证明：代入方程得，椭圆E与直线l的交点坐标为
A(1/2,0)和B(-1/2,2)。

设交点AB的中点为P(0,1)，则
OA+OB+OP=0.将P带入椭圆方程可得SD垂直于平面SAB。

点A到平面SBC的距离d即为SD的长度。

由于SBC是等腰
三角形，所以SC=2，SB=BC=2，因此S△SBC=2/7.又因为
CD//平面SAB，所以点C到平面SAB的距离为SD=1.另外，
S△SBA=3/4，所以四棱锥A-SBC的体积为171d，四棱锥C-SAB的体积为323.因此，171d=323×3×1/2，解得d=221/7.
Ⅱ）设bn=an-an+1，n≥1，求证∑___<1.
此题无需求解。

1.点P在C上，根据（Ⅱ）：4x²-22x-1=0及直线l:y=-
2x+1，可得到点A(-1,3)，点B(2,-3)，点Q(2,1)，点P在C上。

2.证明：（Ⅰ）当x>0时，f'(x)=(12(x+2)-2x)/(x²+1-
(x+2)²)=(x+1)(x+2)²/(x²+1-(x+2)²)>0，因此f(x)在(0,+∞)上单调
递增，所以f(x)>f(0)=1.
Ⅱ）p=100×99×。

×82×81/99×98×。

×2×1=81×(99×81)×(98×81)×。

×(91×89)×90/(100×99×。

×10×9×8×。

×2×1)（共有19对数相乘）
由（Ⅰ），-10，故f(x)在(-1,0)上单调递增，所以f(-
1)<f(x)<f(0)=1/10.
即f(-1)<f(-1/10)<f(0)，即19ln(9/10)<-2，两边同时取e的对数得：9/10<e^(-2)=2/e。

综上所述：p<2e/10^19.。