构造函数法证明不等式的八种方法

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构造函数法证明不等式的八种方法
利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是
1
【例2】已知函数 f (x) ln( x 1)x ，求证：当x 1时，恒有
x x
1 ln( 1)
x 1
近几年高考的热点。

1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
1
g( x) ln( x 1) ，从其导
数入手即
x 1
可证明。

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、从条件特征入手构造函数证明
【例1】若函数y= f ( x) 在R上可导且满足不等式x f (x) >－ f (x) 恒成立，且常数a，b 满足a>b，
求证：．a f (a)>b f (b)
3、作差法构造函数证明
1
2 x
【例3】已知函数ln .
f (x) x 求证：在区间(1,) 上，函数 f ( x) 的
图象在函数
2
2
3
g(x) x 的图象的下方；
3
分析：函数 f (x) 图象在函数g( x) 的图象的下方不等式f ( x) g( x) 问题，设F (x) g( x) f (x) 【变式1】若函数y= f ( x) 在R上可导且满足不等式 f (x) > f (x) ，且y f (x) 1为奇函数.
求不等式 f ( x) <
x
e 的解
集.
4、换元法构造函数证明
...
【例4】（2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
1)
1
2
n
1
3
n
都成
立.
【变式2】若函数y= f ( x) 是定义在,0 上的可导函数且满足不等式2f ( x) xf (x) >
2
x .
1
分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只
需令x
n
，则问题转化为：当x 0
时，恒有
2
3
ln( x 1) x
x
2 f x f
求不等式(x2015) ( 2015) 4 ( 2) 0的解集.
3 x2 x
成立，现构造函数h( x) x ln( 1) ，求导即可达
到证明。

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5、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 1
x
1 1 【例 5】证明当0
,(1 x)
x
e
2
x 时
8、主元法构造函数
【例 8】（全国）已知函数
f (x) ln( 1 x) x,
g(x) xln x
a b
(1) 求函数 f ( x) 的最大值；(2)设0 a b , 证明 ： ) (
) ln 2
0 g (a) g (b) 2g (
b a .
2
6、构造形似函数 【例 6】证明当a
e
b
,证明
b
b a
a
【思维挑战】
1、（ 2007 年，陕西） f ( x) 是定义在 （0，+∞）上的非负可导函数， 且满足x f ( x) f (x) ≤ 0，对任意正数
a 、
b ，若 a <b ， 则必有（
）
7、构造二阶导数函数证明导数的单调性 （A ）af ( b ) ≤ bf ( a ) （B ）bf ( a ) ≤ af ( b ) （C ）af ( a ) ≤ f ( b ) （D ）bf ( b ) ≤ f ( a )
【例 7】已知函数
1
x 2
f (x) ae x
2
(1) 若 f(x) 在 R 上为增函数 , 求 a 的取值范围;(2) 若 a=1, 求证 :x ＞0时,f(x)>1+x
5
2 2
1
f
2
ax g x
a 2
x b 其中 a >0，且 b
a
3a ln a
(x)
x
（2007 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 2 , ( ) 3
ln
,
2、
2
2
，
求证： f ( x) g( x)
...
3、已知函数f
x
b
( ln( 1) ，求证：对任意的正数a、b , 恒有ln a ln 1 .
x) x
b
1 x
a
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