化工原理——流体流动

第一章 流体流动
知识目标:
本章要求熟悉流体主要物性(密度， 黏度)数据的求取及影响因素， 压强的定义、表示方法、单位及单位换算，连续性和稳定性的概念，管内流体速度分布，流体的流动类型， 雷诺准数及其计算。

理解流体在管内流动时产生阻力损失的原因，测速管、孔板流量计、转子流量计的基本结构， 测量原理及使用要求。

掌握静力学方程， 连续性方程，柏努利方程， 管路阻力计算公式，简单管路的计算方法。

了解湍流时的流速分布， 复杂管路计算。

能力目标:
通过对本章的学习，学会能应用静力学原理和动力学原理处理工程过程的设计型计算和操作型计算。

气体和液体通称为流体，原来是固体的物料，有时也可以做成溶液以便于输送或处理。

流体具有流动性，其形状随容器的形状而变化，一般将液体视为不可压缩性流体，与此相反，气体的压缩性很强，受热时体积膨胀很大，因此将气体视为可压缩的流体。

流体流动是化工生产过程中是普遍的现象，研究流体流动的目的是要能解决以下几个工程问题：（1）流体的输送、输送管路的设计与所需功率的计算、输送设备的选型与操作；2）流速、流量的计算，系统中的压强或压强差的测量，设备液位及液封高度的确定；（3）根据流体流动规律减少输送能耗，强化化工设备中传热、传质过程等。

工程上研究流体流动的方法是：只研究流体的宏观运动，不考虑流体分子间的微观运动，也就是说，将流体视为有许多分子组成的“微团”，又把“微团”称作质点，质点的大小与它所处的空间相比是微不足道的，但比分子运动的自由程度要大得多。

在流体的内部各个质点相互紧挨着，他们之间没有任何空隙而成为连续体。

因此将流体视为有无数质点组成的其间无任何空隙的连续介质，即所谓的连续性假定。

第一节 流体静力学
流体静力学是研究流体在外力作用下处于静止或相对静止状态下的规律，本节讨论静止流体在重力场中内部的压力变化规律，在讨论此规律之前，先对与此有关的物理量做些说明。

一、密度
单位体积流体所具有的质量称为流体的密度，其表示式为
m
v ρ=
（1－1）
式中： m —— 流体的质量，kg ； v —— 流体的体积，m 3。

12,n ααα 12,n
ρρρ 密度是流体的物性数据，各种流体的密度值可以从有关的物理化学手册中查得。

液体的密度基本上不随压力而变化，但随温度稍有改变，因此在手册上查取液体密度时，要注意所指的温度。

气体的密度随压力、温度而改变，压力不高时气体的密度可按理想气体状态中方程计算。

m PM
v RT ρ=
=
（1—2）
式中：m ——质量，kg ； v ——体积，m 3；
M ——摩尔质量，kg/kmol ；
P ——压力，k Pa ；（注意，压力单位为kPa 时，密度单位为kg/ m 3）； R ——气体常数，R =8.315 kJ/(kmol·K) ； T ——热力学温度，K 。

也可以采用下述关系计算：101.3 kPa 、0 ℃时1 kmol 气体的体积22.4 m 3，由理想气体状态方程可知：
3000.1203(/)22.4T M P PM kg m P T T ρ=
= （1—2a ）
式中：P 0=101.3 kPa ； T 0=273K 。

当在一定温度、压力下查得某气体的密度，求操作条件下气体的密度时，则
1
1
1T p p T ρρ=⋅
（1—2b ）
下标1表示手册中查得的条件。

化工过程中遇到的流体大多为混合物，而手册中一般仅提供纯物质的密度，混合物的密度可通过纯物质的密度计算如下，对于液体均相混合物，假定混合前后总体积不变则：
12
121
..............n m
n αααρρρρ=
+++ （1—3）
式中： ρm ——混合物的密度，3/kg m ；
——混合物中各组分质量分率；
—— 混合物中各组分的密度，3
/kg m 。

对于气体混合物，可按式（1—2）计算，但需将其中的摩尔质量M 按平均摩尔质量M 计算，即:
1122n n M y M y M y M =+++ （1—4）
式中： 12,n y y y ——气体混合物各组分的摩尔分数；
12,n M M M ——气体混合物各组分摩尔质量，kg/kmol 。

二、压力 (一) 压力的概念
垂直作于流体单位面积上的力，称为压力强度，简称压强，工程上多称为压力。

法定单
位是Pa （帕），即2
/N m 。

此外还有一些习惯上使用的单位，现列出一些常见的压力单位
及其换算关系：
1 atm=1.013×105 Pa=101.3kpa （千帕）=0.1013MPa （兆帕）=10.33 m ·H 2O =760 mmHg=1.033 kgf/cm
2 （二） 压力的表示方法
１.绝对压力（简称绝压），是指流体的真实压强，即以绝对零压为准测得的流体压力。

2.表压力（简称表压），是指工程上用测压仪表以当地大气压为基准测得的压力值，它是流体的真实压力与当地大气压的差值，即：
表压=绝对压力—当地大气压力
3、真空度，是指绝压低于当地大气压 的数值。

当绝压小于当地大气压时，用真空 表测得的数值即为真空度。

真空度=当地大气压—绝压
绝压、表压和真空度三者的关系如图1—1所示。

不难看出，真空度也等于表压的负值。

当压力数值用绝压或真空度表示时，应分别注明，以
免混淆。

例如500kPa （绝），700mmHg （真）， 未注明时即认为是表压，记录真空度或表压
时，还要注明当地大气压，若没有注明，则认为是1atm 。

思考题1-1. 怎样理解真空度是表压的负值？
例1—1 已知甲地平均大气压为746 mmHg ，乙地大气压为755 mmHg 。

某离心泵的入、出口处分别装有真空表和压力表，现在甲地测得真空表和压力表的读数分别为280 mmHg 和160 mmHg ，试求：（1）入、出口处的绝压各为多少？（2）若将该泵移至乙地使用，在绝压不变的情况下，泵的真空表和压力表读数各为多少？
解：（1）甲地操作时的绝压： 由题意知：甲地的大气压位P 甲
＝746mmHg ，离心泵入口处真空表读数
P 真
＝280 mmHg ，
入出口处压力表读数P 表
＝160 mmHg
入口处的绝压为
746280466P P P m m H g -入甲
真＝－＝＝
出口处的绝压为
P 甲出
表＝P ＋P =746+160=906 mmHg
（2）乙地的大气压为
755P mmHg 乙＝
乙地操作时真空表和压力表的读数：
P P 乙入真乙
＝－P ＝755-466＝289mmHg
906755151P P P mmHg
-乙出表乙＝－＝＝
本体说明：绝压不受当地大气压的影响，而真空度和表压与当地大气压有关。

三、流体静力学基本方程
静止流体内部任一点的压力，称该点的静压力，研究流体平衡时的规律，其实质是研究流体处于相对静止状态下流体内部压力变化的规律，为了便于进行讨论，先介绍静止液体内部压力变化的规律然后推广到气体。

（一）静力学方程的推导
图1—2 液柱受力分析图
如图1—2所示容器中液体是静止的，液面上方的压力为0P （外界大气压）。

取容器中液体内部任意一垂直液柱为研究对象，其截面积为A ，若以容器底面为基准水平面，液柱的上、下端段面与容器底的垂直距离分别为1Z 和2Z ，作用于上、下端面上并指向此两端面的压强分别为1P 和2P 。

在重力场中，该液柱在垂直方向上受到的作用力有：
（1）作用在液柱上端面上的总压力：
11()
F PA =方向向下
（2）作用在液柱下端面上的总压力：
22()
F P A =方向向下 （3）液柱自身的重力：
12()G gA Z Z ρ=-（方向向下） 由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作
用力的合力为零，即有
1122()PA gA Z Z P A ρ+-= （1—5）
整理得 1
2
12
P P Z g Z g
ρρ+=
+ （1—6）
或 21121()P P Z Z gP P h g ρ=+-=+ （1—6a ）
将液柱上端上移至液面时，则1P 变为液面上方的压力0P 、h 是静止液体内部任意截面到液面的距离，则距液面h 处的点压强为P ，式（1—6a)可改写为
0P P gh ρ=+ （1—6b ）
式（1—6）和式（1—6b ）均称流体静力学基本方程，它反映静止流体内压力变化的规
律。

式（1—6）中，P
ρ称为静压能，Zg 称为位压能，静压能和位压能通称机械能，其单位为/J kg ，表示单位质量流体所具有的能量。

（二） 静力学方程的讨论
1. 式（1—6）和式（1—6b ）说明，静止、连续、均匀的流体同一水平面上的静压力相等，且流体内部各点的机械能守恒，但静压能和位压能之间可以相互转化。

2. ，作用于液面上方的压力有任何大小改变时，液体内部各点的压力也有同样的改变。

即静止流体上方的压力能以同样的大小传递到液体的各个地方（巴斯卡原理)
3. 将式（1—6a ）各项除以g ρ，则方程变为0
P P h g ρ-=，说明压强差的大小可以用一
定高度的液体柱表示。

这就是压强或压强差可以用mm Hg 、m 2H O 来表示的原因。

值得指出，应用静力学方程时，液体的密度必须为常数，液体的密度一般是常
数，而气体密度虽然随压力变化较大，但
图1-3 例1—2附图
在化工设备中，气体密度随高度的变化可以忽略，视为常数，所以一般静力学方程也适用于气体。

例 1—2 如图1-3所示，流体在水平管内流动，上部连接一倒U 型压差计，
11223344''''----，，，分别为四个不同的水平面，试判断P 1与P 1' 、P 2与P 2'、P 3与P 3'、P 4
与P 4'是否相等？
解：
11
P P '-在同一水平面上，与之连通着的，流体满足静止、连续、均质，所以
11
P P '=，
223344P P P P P P '''
与，与，与 虽然也分别处于同一水平面上，但与之连通着的流体不均质
或不静止，所以
223344P P P P P P '''
≠≠≠，，。

例1—3图1-4所示的开口容器内盛有油和水。

油层高度h 1=0.7m 、密度1ρ=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。

（1）判断下列两关系是否成立，即p A =p A ' , p B =p B ' （2）计算水在玻璃管内的高度h 。

解：（1）判断题给两关系式是否成立
p A =p'A 的关系成立。

因A 与A '两点在静止的连
通着的同一流体内，并在同一水平面
上。

所以截面A-A'称为等压面。

p B =p'B 的关系不能成立。

因B 及B '两点虽在静止流体的同一
水平面上，但不是连通着的同一种流体(不均值)，即截面B-B '不是等压面。

（2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p A '，而p A 和p A ' 都可以用流体静力学基本方程式计算，即：
p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2 p A '=p a +ρ2gh
于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh 简化上式并将已知值代入,解得：
112228000.710000.6
1.161000h h h m ρρρ+⨯+⨯=
==
（三）静力学方程的应用
流体静力学基本方程在工程实际中的应用十分广泛，常
用于工业生产过程中压强的测量、贮罐内液位的测量、液封高度的计算、流体内部物体受到的浮力以及液体对壁面的作用力的计算等。

利用静力学方程计算时注意以下要点：
1．根据题意绘出示意简图； 2．在示意图上选出等压面；
3．分别列出各等压面上的静力学方程；
4．根据等压面上静压力相等的特点，联立求出待求的物理量。

以下举例说明：
1．压强和压强差的测量
运用流体静力学基本原理测定流体的表压强或压强差的
图1- 5 U 型管压差计
图1-4 例1—3 附图
图1—2 U 型管压差计
仪器常见的有如下几种：
(1) U 型管压差计
如图1—5所示，U 形管两端口与被测流体B 的测压点相连接（连接管内与指示液液面上方均充满流体B ），在U 形玻璃管内装有密度为A ρ的指示液A （对指示液的要求：A
与B 不发生化学反应、互不相溶，且A B ρρ>），若1
2p p >，则U 形管中指示液面将出现如图1—5所示的高度差R ，其数值随压差（
12p p -）值的变化而变化。

当（12p p -）为
一定值时，R 也为定值。

a －b 水平面为等压面。

由静力学基本方程，可得：
左侧：1()a B p p g Z R ρ=++ 右侧：
2b B A p p gZ gR ρρ=++
因为
a b p p =
所以 12()A B p p gR
ρρ-=- （1—7）
由式（1—7）可见，指示液的液位差R 的数值可计算出压差的大小。

当被测液体为气体时，有于
A B ρρ>>，式（1—7）可简化为
12A p p gR ρ-= （1—7a ）
(2) 倾斜U 形管压差计
当被测压差值很小时，读得的R 必然很小，为了减小由于读数造成的相对误差，可采用如图1—6所示的倾斜U 形管压差计，倾斜角α愈小，读数'
R 则愈大，'
R 与R 的关系为
'
/sin R R α= （1—8）
(3) 倒U 形管压差计 当被测系统为液体时，
也可选用比被测液体密度小的流体（如气体）作指示剂，采用如图1—7所示的倒U 型管压差计进行测量。

当12p p >时，管左端的B 液面将升高而右端液面降低，出现如图1—7所示的高度差R 。

运用静
力学方程可得
12()A B p p gR ρρ-=-
（1—9）
B A ρρ>>，所以
当指示剂A 选用气体时，由于
12B p p gR
ρ-=
（1—9a ） (4) 微差压差计——双液体U 型管压差计
如图1—8所示，当12()p p -值
非常小时，用上述压差
计测得的读数都将很小而不够精确，可在U 形管压差计顶部增加两个扩大室，在U 形管下部装入指示液A ，上部装入指示液C ，指示液A 与C 互不相溶。

扩大室截直径比U 形管的直径要大于10：1，
'
1000
10143920850
A C R R mm ρ
ρρ==⨯=--0a p p gh ρ=+'/14.3A C
R R ρ
ρρ=
=-/0
b p p gh ρ=+故当测量微压差12()p p -时，R 的变化对扩大室内C 的液面高度的影响极小并可忽略，A 的低端液面为等压面，可得
12()A C p p gR ρρ-=- （1—10） 显然，当
12p p -值很小时，为获得较大的读数R ，应当选
择密度接近的指示液A 和C 。

例1—4 测量某空气管路中两点的压差值。

采用普通U 形管压差计，用水作指示液时读数为10mm 。

现改用双液柱微差计
来测量，选用的指示液为40％的酒精水溶液和煤油，其密度分
别为920和850 3
/kg m ，问此时读数应为多少？读数的放大倍
数是多少？
解：已知水的密度ρ=10003
/kg m ，40％的酒精密度A ρ=9203/kg m ，煤油的密度C ρ=8503
/kg m 。

按式
（1—7）和式（1—10）可得
'12()A C p p gR gR ρρρ-==-
已知R=10mm ，于是
则放大倍数为
2．测量液面位置
化工厂中经常要了解容器内
液体的贮存量，控制设备内的液位，
因此需要随时知
道液面位置。

测量设备内液位的装置有多种，如玻璃管液位计，浮标液位
计、液柱
压差液位计等。

图1-9为最简单的液位测量装置，设备中的液位与玻璃管中的液位高度R 相等。

若要测量离操作室较远或埋
在地面
以下的容器内的液位时，可采用图1—10所示的装置。

自管口通入压缩空气，用调节阀1调节其流量。

管内空气的流速控制得很小，只要在鼓泡观察器2内看到有气泡缓慢逸出即可。

因此，气体通过吹气管4的流动阻力可以忽略不计。

管内某截面压强用U 管压差计3来测量。

若U 管压差计3中的指示液密度为/
ρ，贮槽中液体的密度为ρ。

由于管4中气体部分的压力各处可视为相等。

即a b p p =，
且由静力学方程和得到 /
h R
ρρ=。

压差计读数R 的大小，反映贮槽5内液面的
v
q u A ==高低。

3．计算液封高度
工业生产工程中为了控制设备内气体压强不超过某规定值，常采用如图1—11所示的安全液封装置。

当气体压强超过规定时，气体就冲出水层而逸出，这种装置称为液封或水封。

液封管插在液封槽中的深度可根据设备内的压强值由静力学基本方程式求得。

即p
h g ρ=
，
实际操作时，液封管插入深度应大于计算值。

此外，在化工厂中，经常要将真空系统中的液体排至大气中，不允许外界空气漏入系统内，这时也要采用液封装置。

如图1—12所示总管内走的为负压气体，其中管道中的冷凝水需要及时排除管外，在排除冷凝液的同时需防止外界空气漏入设备内，在主管道上垂直安装一排液细管，其下部插入水槽中，排液细管中液柱的高度h ，是通过液体静力学基本方程式求算。

思考题1-2 用U 形管压差计测量一楼某处气体管道中某点的压强，为了操作方便，将
U 形管压差计安装在三楼，这时应如何根据该压差计读数计算测压点的压强？
第二节 流体管内的流动
流体在管道中的流动，是化工生产过程中非常普遍的现象。

本节主要讨论流体在管中流动的原因以及流体流动的规律。

先介绍流体流动的基本概念。

一、流量和流速
（一）流量 1．体积流量
单位时间内流过管子任意截面的流体体积，以q v 表示，其单位为3
/m s 。

2．质量流量
单位时间内流过管子任一截面的流体质量，以q m 表示，其单位为/kg s 。

q v 与q m 之间的关系为：
m v
q q ρ= （1—11）
（二）流速 1．平均流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离称为流速，以u 表示，单位为/m s ，它等 于体积流量除以管道截面积。

即：
（1—12）
或
2/()
kg m s ⋅1084mm mm
∅⨯
m v q q uA ρρ== （1—13）
式中：A —— 管子截面面积，2
m ； u —— 流体的平均流速，/m s 。

2．质量流速
质量流速G 表示单位时间内通过管子单位截面上的质量流量，其表达式为：
m v q q G u A A ρρ=
== （1—14）
式中：G ——液体的质量流速， （三） 管道直径的计算
一般管道截面都是圆形，若以d 表示管子内径，则：
2
2
44
v v
q q u d d π
π=
=
（1—15）
d =
（1—15a ）
式中：d ——管子内径，m 。

式1—15a 是确定管道直径的最基本公式。

流量v q 依生产任务规定，选择适宜的流速后就可以用式1—15a 算出管子直径。

流速的大小主要依据经济运行指标进行权衡决定，通常可选用经验数据。

表1—1列出某些流体在一定操作条件下适宜流速的范围，可供设计者选用。

例1-5某厂需要敷设一条输送自来水的管道，输水量为42000/kg h ，试设计所需的管道直径。

解：用式1—15a 计算所需的管道直径，即：
d =
水的密度约1000 kg/m 3，故体积流量为：
342000
0.0117/36001000v q m s
=
=⨯
自表1—1中查出：输送自来水时选取 1.5/u m s =，故：
7
0.0997d m =
=
算出的管径往往不能和管子规格中所列的管径相符，此时可在规格中选用和计算直径相接近的管子。

参考附录二十三，本题选用 热扎无缝钢管合适。

其管子外径为108 mm 、壁厚为4 mm 。

管径确定后，应重新核定流速，即：
2
2
0.0117
1.49/(0.1080.0042)4
4
v q u m s
d π
π
=
=
=-⨯
1122n n u A u A u A ==== 常数
1122n n
u A u A u A ===
表1—1 某些流体在管道中的常用流速范围
流体的类别及情况
流速范围 m ·s -1
流体的类别及情况 流速范围 m ·s -1
自来水（5
310Pa ⨯左右）
水及低粘度液体 高粘度液体
工业供水（5
810Pa ⨯以下）
锅炉供水（5
810Pa ⨯以下）
饱和蒸汽 过热蒸汽
蛇管、螺旋管内的冷却水 低压空气 高压空气
1～1．5 1．5～3．0 0．5～1．0 1．5～3．0 ＞3．0 20～40 30～50 ＜1．0 12～15 15～25
一般气体（常压） 鼓风机吸入管 鼓风机排出管
离心泵吸入管（水一类液体） 离心泵排出管（水一类液体） 往复泵吸入管（水一类液体） 往复泵排出管（水一类液体） 液体自流速度（冷凝水等） 真空操作下气体流速
10～20 10～15 15～20 1．5～2．0 2．5～3．0 0．75～1．0 1．0～2．0 0．5 ＜10
二、稳定流动和非稳定流动
稳定流动 流体在管道内流动时，任一截面处的流速、流量和压力等有关有关的物理量不随时间而改变，只随位置而改变，这种流动称为稳定流动。

非稳定流动 流动过程中，系统的参变量不但随所在空间而变化而且随时间变化的流动称为非稳定流动。

化工生产中的操作大多数是连续生产，属于稳定过程，所以本节只介绍稳定流动。

三、流动系统中的物料衡算——连续性方程式
在稳定流动过程中，对图1—13所示的系统进行物料衡算。

流体从截面/
11-流入，从截面/
22-流出，且在所划的输送范围内无流体的泄漏与补充，根据质量守恒定律知，单位时间内进入截面的流体质量必等于由22'-输出的质量，即：
12
m m q q = （1—16）
推广之
12m m mn q q q == （1—16a ）
因m q uA ρ=故式1—16可以写成：
111222n n n u A u A u A
ρρρ=== （1—16b ） 式中符号的下标为截面的序号。

式1—16，式1—16a 及式1—16b 为流体连续性方程式
若输送的是不可压缩的流体，则ρ=常数，式1—16b 式变为：
（1—16c ） 或
图1—13连续方推倒导
22
12120.10820.004(
) 1.5() 4.46/0.07620.0025
d u u m s d -⨯==⨯=-⨯2
2212221211
4()4
d u A d d u A d ππ===图1-14 伯努利方程的推导
12v v vn q q q ==== 常数 （1—16d ）
式1—16c 及1—16d 说明输送不可压缩液体时体积流量为常数。

若输送管路为圆管，则式1—16c 变为：
222
1122n n
u d u d u d ===
（1—16e ）
常用式（1—16e)计算管路上截面的流速或管径。

例1—6如图1—13所示的系统中输送的是水，已知管道中1—1＇截面的直径为φ108mm ×4mm ，系统排出管道 2—2＇截面的直径为φ76mm ×2.5mm 。

水在1—1＇截面处的流速为1.5m/s ，试求水在排水管中的流速。

解：水是不可压缩流体，故采用1—16c 进行计算，即：
上式说明液体在管道中流过时的速度与管道的内径平方成反比。

由上式得：
四、稳定流动系统中的能量衡算——柏努利方程式 （一）柏努利方程的推导
如图1
—14所示，质量为m kg 的流体由
/11-截面流至22'-截面。

流体的
流速分别为1u 和2u ，两截面上的压
1p 和2p ，对/11-截面和22'-截面
力分别为的流体作能
量衡算。

1．位能 位能是流体因受重力的作用处于不同的位置所具有的能量，计算位能时应先规定一个基准—14中的00'-面。

设流体与基准面
面，如图1
的距离为z ，m kg 的流体在/
11-截面和22'-截面上的位能分别为mz 1 g 和mz 2 g 。

将1kg 流体由基准水平面提升至其上垂直距离z m 处所作的功称为位压能，/
11-截面和22'-截面上的位压能分别位
1z g 和2z g 。

其单位为/J kg 。

2．动能
动能是流动着的流体所具有的能量，其值等于流体从静止状态加速到流速为u 所需的功。

1kg 流体在管内流动时某截面上具有的动能称为动压能，其在/
11-截面和22'-截面上
的动压能分别为21/2u 和2
2/2u ，单位为/J kg 。

3．静压能
在图1—15所示的管路内，流体以一定流速u 流过。

于其上装一垂直于管轴的细玻璃管，在玻璃管中的液位将上升至一定高度。

说明流动着的流体内部任一位置处也有静压强。

如
图1—15所示，管路1—1＇截面所受压力为p 1，流体要流入1—1＇截面，必须克服该截面上的压力而作功，该功称为静压能。

若将m kg 的流体推过截面积为1A 的1—1＇截面，走过的距离为V 1/A 1，根据功=力×力矩，
则流体流过1—1＇截面时的静压能
1
11111
(
)V p A p V A ==，其单位为J 。

故1kg 流体的静压能
为111
p V p m
ρ=
，其单位为/J kg 。

4．外加功（有效功）
若管路上安装了泵或鼓风机等流体输送机械，便有能量从外界输送到流动系统内。

1kg 流体由输送机械获得的能量称为有效功，以w e 表示，其单位为/J kg 。

5．阻力损失
实际流体在流动过程中要克服各种阻力，机械能将减小，1kg 流体自11'-截面到22'-截面，由于摩擦而消耗掉的能量称阻力损失或能量损失，用
f w 表示，单位为/J k
g 。

6．柏努利方程式
流体在流动过程中，通过各个截面上的动压能、静压能、位压能通称为流体所具有的机械能，根据能量守恒定律，应有：进入系统的机械能+外界向系统补加的有效功=离开系统的机械能+机械能的损失。

所以在11'-截面和22'-截面之间进行机械能衡算，可得：
2211221222e f
u p u p gz w gz w ρρ+++=+++ （1—17）
式(1—17)称为柏努利方程式，是以单位质量流体为衡算基准柏努利方程。

若以单位重量为衡算基准，则柏努利方程的表达形式为
（1—18）
式（1—18）中，各项的单位均为m ，表示单位重量流体所具有的机械能，其中z 、 p/(ρ
g)、u2/2g 、H f 分别成为位压头、静压头、动压头和压头损失。

He 称为输送设备对流体提供
的有效压头。

五、柏努利方程式的讨论
1．式1—17是实际流体的柏努利方程，若流体无粘性，在流动过程中不产摩擦阻力，
图1-15 测量流动系统中液体的静压强
即 0f w = 。

这种流体称为理想流体。

对于理想流体，若系统无需补加能量，即0e w =，则1—17式简化为
21112u p gz ρ++222
22u p gz ρ=++
（1—19）
（1—18）式说明，理想流体在管道中流动时，各截面上的总机械能守恒，而每一种机械能不一定相等，但它们之间可以相互转化。

2．对于静止流体，其流速为零，此时式1—18变为
1
2
12p p gz gz ρ
ρ+
=+
上式即前述的流体静力学基本方程（1—6），由此可知柏努利方程式不但说明流体的运动规律，也说明静止时的规律。

流体静力学基本方程式是柏努利方程式的一个特例。

3．对不可压缩流体，若过程的压强变化与初始绝对压强之比小于20%，即
211()/100p p p -⨯%＜20%时仍可用式1—17、式1—18及式1—19进行计算，但式中的ρ应
取两截面上的算术平均值。

4．式1—17中gz 、2
u 、/p ρ与e w 及f w 有明显的区别。

前三项是指在某截面上
流体本身所具有的总机械能，后两项是流体在11'-与22'-面间流体从外界获得的能量以及消耗的能量。

式中e w 是输送机械对单位质量流体所作的有效功，是选用流体输送机械的重要依据。

单位时间内输送机械所作的有效功称为有效功率，以e N 表示，即：
e m Ne w q = （1—20）
式中
m
q 为流体的质量流量，其单位为/kg s ，e N 为有效功率，其单位为/J s 或W 。

若泵的效率为η，则泵的轴功率为：
e
N N η=
（1—21）
六、柏努利方程式的应用
应用柏努利方程式解决流体流动问题时，可按以下步骤进行： 根据题意，画出代表过程的示意简图。

选基准面，基准面是用来确定柏努利方程中两截面的位置,即
1z 和z 2
的大小，所以基准
面必须是水平面，基准水平面可以任意选取，计算出的z ∆都是一样的，但习惯上总是取衡算开始或终了的截面，这样两个z 中必有一个为零，可使计算简化。

选截面，两个截面的选取有以下的原则：
1．截面一定要与流动方向相垂直，且两截面间的流体满足连续性假定。

两截面上的p 、u 、z 等物理量均取平均值；
2．截面应选在已知量多，计算方便处，未知量应在截面上，或两截面间。

一般选择流体开始流动和终结流动两个截面，因为这两个截面上已知数量多；
3．截面若选在管口以外，截面上的流速视为零；。