对称性与周期性的关系
函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系
函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————①)2()(b x f x f +-=—————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--=则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。
函数的双对称性与周期性的关系
函数的双对称性与周期性的关系双对称性是数学中一种有趣的概念，通常用来描述图形，其中一半的形状和另一半是完全一样的。
函数也存在双对称性，在数学中，函数被定义为一个输入和输出之间的映射关系。
双对称性意味着函数经过某些对称变换，比如反射，旋转等，仍保持原有的关系。
而周期性是指函数上的一种变化规律，这种变化规律通常可以表示为一条折线，表示函数随时间改变的规律。
从函数的定义出发，很容易发现双对称性和周期性之间存在一种关系。
双对称性是指函数是否具有某种称之为双对称的特性，即该函数可以从一个点以给定的角度和长度进行旋转，而结果依然如初，即函数不被改变。
例如正弦函数，它具有180°的双对称性，就是说把正弦函数以180°旋转，所得的结果和原来的结果完全一致。
同样，如果函数具有双对称性，那么函数上的变化规律就具有周期性。
例如正弦函数，它具有180°的双对称性，这也意味着函数的变化规律具有周期性，即每次变动范围在180°以内，就会出现重复的结果。
用另外一种表达方式来说，就是说，每次函数变化360°，函数就会重复一次。
由此可见，双对称性和周期性之间存在着密切的联系，他们之间是密不可分的。
函数周期性的变化取决于函数的双对称性，函数双对称性的变化也会影响函数的周期性。
而双对称性和周期性在数学与物理学中也都有着十分重要的作用，因此，深入研究双对称性与周期性之间的关系非常有必要。
首先，双对称性和周期性之间的关系可以用一个简单的例子来说明。
可以以函数y=sin x为例，x为变量、y为因变量，此函数具有180°双对称性，也就是说，将正弦函数以180°旋转，函数结果依然不变。
因此此函数具有周期性，每次变化范围在180°以内，就会出现重复的结果，即每次函数变化360°，函数就会重复一次。
其次，双对称性和周期性之间的关系还可以从复式函数的例子来说明。
简析函数对称性和周期性的关系
凸 一 ｂ≠ ０．
因此 ） 周期是 Ｔ＝ ｋ ｂ一 ） ｋ∈Ｚ，＃０ ． 的 ２（ 口 （ ｋ ）
例 １ 设 函数 ） （一。 ＋∞） 满足 在 。， 上 － ２一 厂 ）＝ ＜ ） ＾ ）＝ ． ） （ ／ ２＋ √（ ７一 ／ ７＋ ， （
且 在 闭 区 间［ ，］ ， ０７ 上 只有 ， １ ３ ０ （ ）＝ ）＝ ． （ ） 判 断 函数 Ｙ＝ ） １试 的奇 偶性 ； （ ） 求 方 程 ｆ（ ２试 ）＝０在 闭 区 间 ［一２０ ５ ０ ， ２０ ５ 上 的根 的个 数 ， ０ ］ 并证 明你 的结 论． （０５年广 东省数 学 高考理 科试 题 ） ２０
一
对 于这 ２条性 质与 函数 周期 性 的关 系 ， 讨论 得 不 多． 文试 图就 这 ２个 方 面 作 一些 探 索 ， 教 于 本 求
同行 ． １ 由函数 的对 称性 讨 论周期 性
７ 一 ）＝ ， ）＝ ９ ０ 故 ） ［ ，０ 和 ［一１ ， ］ 在 ０１］ ００
上均 有 ２个 解 ， 而可 知 函数 Ｙ＝ ） ［ ２０ ５ 从 在 ０， ０ ］
都 对 称 ， 对 于任 意 ｔ 故 ∈Ｒ， 有 ｔ ）：一 （口一 ）＝ 一 ２ 厂２ ｆ ｂ—ｆ． ） 令 ＝ ｂ—ｔ则 ２ ，
２ ＝２ 日一 ）＋ 口一 （ ｂ ，
令 ２ ｔ ， ｂ— ＝ 则
２ Ⅱ一ｔ ＋ （ ｂ ， ＝ ２ ｎ— ）
代入 式 （ ） ２ 得 ２ ａ—ｂ ］＝ （ ． （ ）＋ ＿ ） 厂
一
于 （ ， 称且 足（ ＝厂 ＋） 点一 ０ ，满 厂） 一 吾， 手） 对 （
一
＋１ 与 ） （ ）
就不难 解决 了． 函数 的这 些 性质 到底 有 哪些相 互关 系呢？ 这里就 以函数 图像 的对称 性 和周期 性 为例 ， 探 讨它 们之 间的关 系． 在 学 习三角 函数知 识 时 ， 们知 道 三角 函数是 我 周期 函数 ， 的变 化 过 程 是 周 期 性 不 断重 复 的． 它 以 下 ２条性 质 已是 人所 共知 的函数性 质 ， 在研 究 函数 分析
函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中,1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如()()a x b x a b ++-=+,说明f x ()的图像具有对称性,其对称轴为2b a x +=; 2等式两端的两自变量部分相减得常数,如()()x a x b a b +--=+,说明 fx 的图像具有周期性,其周期T=a +b ;设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律1)()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ 1)()(x a f x a f -=+ a x =⇒2)()(a x f x f += a T =⇒ 2)()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ 3)()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 3 )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ 4)(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ 4 )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ 5)(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 5 )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ 61)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ 7 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ 8 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ 9 )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ 10 )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒11 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=212 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=213 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=414 若偶函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=2a15 若奇函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=4a16 若奇函数y=fx 满足fx+T=fx x ∈R,T ≠0,则f 2T =0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = fxx ∈R 满足f 5+x = f 5－x ,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形例2. 已知函数y = fxx ∈R 满足fx+5= fx －5,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形定理1：如果函数y = fxx ∈R 满足)()(x a f x a f -=+,那么y = fx 的图像关于直线x a=对称;证明：设点()P x y 00，是y = fx 的图像上任一点,点P 关于直线x =a 的对称点为Q,易知,点Q 的坐标为()200a x y -，;因为点()P x y 00，在y = fx 的图像上,所以f x y ()00=于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-所以点()Q a x y 200-，也在y = fx 的图像上;由P 点的任意性知,y = fx 的图像关于直线x =a 对称;定理2：如果函数y = fxx ∈R 满足fa +x = fb －x ,那么y = fx 的图像关于直线x a b =+2的对称; 定理3：如果函数y = fxx ∈R 满足fx +a = fx －a ,那么y = fx 是以2a 为周期的周期函数;证明：令x a x -=',则x x a x a x a =++=+''，2代入已知条件()()f x a f x a +=-得：()()f x a f x ''++2根据周期函数的定义知,y = fx 是以2a 为周期的周期函数;定理4：如果函数y = fxx ∈R 满足()()f x a f x b +=-,那么y = fx 是以a b +为周期的周期函数;。
函数图象的对称性与函数周期性的关系
于是 （ Ⅱ ） ，【 （ 一口 ＋ ， ２ 一 ＝ ２ ｂ ） １
． ．
， ２ 一（ 口一 ＋ 】 ，【 （ —ｑ ＋ ａ— ＋ ， 【 口 ２ ｂ ） ＝ ２ ｂ＋ ， ） 的图象关 于直线 ＝ 对称． ｂ
ｌ １
的任 意两 个作 为条件 ， 下 的一个 作 为结论 ， 余 得到 的三 个命题都是真命题．
同理可以证 明②③ ①．
证明
先证①②ｊ ③ ： 函数 ） 的图象关 于直 线
，
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图 ３
以 Ｄ２ ＝２； ， Ｅｚ 了
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复习参考 ・
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３ ５
函 数 图象 的 对称 性 与 函 数 周 期 性 的 关 系
３４０ 福建 省龙 岩第 一 中学 陈庆 生 ６ ００
函数 的奇偶 性是函数 的一 个重要 性质 ， 的一个 重 它 要特征就是揭示 了函数 图象关于原点 、 Ｙ轴的对称性 ， 从 丰富函数 奇偶性 的 内涵着眼 ， 们可在 更广 阔的空 间内 我 研究函数 图象 （ 至是圆锥 曲线 ） 甚 的对称性 （ 不仅仅是 原 点、 Ｙ轴） 而 函数 图象 的对 称性 又与 函数 的周期 性有 着 ， 密切 的联 系． 年全 国高考 试题 ， 历 命题 者致 力于 沟通 函
函数对称性与周期性关系的应用
函数对称性与周期性关系的应用
简介
函数对称性和周期性是数学中常见的概念。
对称性指的是函数在某个轴线上的图像与轴线两侧的部分完全一致。
周期性则是指函数在某个特定的间隔内重复出现相同的图像。
函数对称性的应用
函数对称性在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些例子：
1. 对称函数的性质分析：通过研究函数的对称性，可以得到一些关于函数性质的重要信息。
例如，对称函数的奇偶性决定了函数的对称轴是不是原点，从而可以简化函数的分析和计算。
2. 对称性的图像处理：在图像处理中，往往需要分析和处理对称图像。
通过利用图像中的对称性，可以实现图像的压缩、重建和去噪等操作。
函数周期性的应用
函数周期性在信号处理和物理学中具有重要意义。
以下是一些
例子：
1. 周期信号的分析：周期函数可以用来描述许多信号，如周期
性震荡信号和周期运动。
通过分析周期信号的周期和幅值等特征，
可以获得信号的重要信息，如频率、振幅和相位等。
2. 周期性的运动预测：许多物理过程都可以用周期函数来描述，如天体运动和机械振动。
通过研究周期函数的周期和振幅，可以预
测物理过程的未来状态和行为。
结论
函数的对称性和周期性是数学中一些基本且重要的概念。
它们
在各个领域都有着广泛的应用，包括函数性质分析、图像处理、信
号处理和物理学等。
通过深入理解函数对称性和周期性的原理和应用，可以更好地应用于实际问题的解决中。
函数与函数的对称性与周期性
函数与函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。
而函数的对称性和周期性是函数研究中的两个重要性质。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多实际的例子。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下保持不变。
常见的对称性有奇偶性、轴对称性和中心对称性。
首先，奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值不变。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
例如，常见的二次函数y = x²就是一个典型的偶函数，而正弦函数sin(x)则是一个典型的奇函数。
奇偶函数通过其特定的对称性带来了许多在数学和物理领域中的应用。
其次，轴对称性是指函数相对于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则对称轴为y轴；而如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则对称轴为x轴。
例如，二次函数y = x²是以y轴为对称轴的轴对称函数。
最后，中心对称性是指函数相对于一个点对称。
这个点称为中心。
如果函数f(-x) = -f(x)，则中心对称。
例如，正弦函数sin(x)就是以原点为中心的中心对称函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定距离上具有相同的性质或数值。
一个函数f(x)是周期函数，如果存在一个正数T使得对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)。
这个最小的正周期T被称为函数的周期。
常见的周期函数有三角函数（如正弦函数、余弦函数）和指数函数。
以正弦函数为例，它的周期是2π。
即对于任意自变量x，有sin(x+2π)= sin(x)。
而指数函数f(x) = eˣ的周期是无穷大，即对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，其中T可以是任意实数。
周期函数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。
例如，交流电的电流和电压可以被建模为周期函数，这是交流电工程中的一个重要应用。
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数的周期性和对称性
cor.若函数f (x) 满足 f (x) f (2a x) ，那么函数以x a为对称轴。
即：x a为 f (a x) f (a x)
对称轴
f (x) f (2a x)
Y
A(a x, f (a x))
A
B
O
X=a
B(a x, f (a x))
3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。
性质1.若函数f (x) 以 x a, x b（a b）为对称轴，那么此
函数是周期函数，周期T= 2 a b
证明：由f (x)图象有两条对称轴x a，x b
f (a x) f (a x)，f (b x) f (b x)
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，而 f(5)＝f(3＋2)＝－f12＝ －2－1 3＝－(2＋ 3)．故填－(2＋ 3)．
[答案] －(2＋ 3)
[反思感悟] 根据 f(x＋3)＝－1fx，可得到 f(x)为周期为 6 的函数.
【典例 2】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任 意的 x，都有 f(x＋1)＝－f(1－x)，且方程 f(x)＝0 在(－1,1)上 只有一个根，则方程 f(x＋1)＝0 的第 2000 个根是多少．(从 x 轴右半轴开始从左到右数起)．
T 3a
(8) f ( x a) 1 f ( x)(9) f ( x a) f ( x) f ( x-a)
函数周期性和对称性总结
函数周期性和对称性总结函数是数学中非常基础而且重要的概念，在研究函数的性质时，函数的周期性和对称性是其重要特征之一。
本文将对函数的周期性和对称性的概念和内涵进行总结和解释，以便更好地理解函数的性质。
一、周期性函数的周期性指函数的值在某个范围内周期性的重复，周期的概念与函数的定义有很大的关系。
1.义周期性函数是指在一定的区间上函数值一次周期性重复出现的函数。
有许多周期性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
大部分周期性函数的图像是延一条条直线分割，周期性函数的微积分是有规律的。
2.性周期性函数的周期有两种表示方法：周期长度和周期弧长，分别表示周期函数的完整一次周期所需要的变量点数量和函数图像在单位区间所对应的弧长。
此外，周期性函数的定义域和值域是单调的，同时周期性函数一次周期内的值点会重复出现。
二、对称性函数的对称性是指函数图像经过某些变换仍然保持原有形状的性质，大多数函数都具有对称性特征。
1.定义函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，经过某种变换，图像形状不变，即它仍然保持原来的形状。
一般来说，由于函数的对称性，它的定义域和值域都是单调的，一次周期的值点会重复出现，而且它的定义域经过一定的变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。
2.属性对称性函数的属性有几种：（1）对称性函数在定义域和值域内是单调的，且定义域和值域可以进行互换；（2）对称性函数不仅能够满足图像中心对称，而且还能够满足其他形状的对称；（3）对称性函数的值点会重复出现，单次周期内的值点也会一次性重复出现；（4）对称性函数的定义域经过变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。
三、结论以上简述函数的周期性和对称性。
函数的周期性表示函数值在一定区间内周期性重复出现，有许多周期性函数，其特点是定义域和值域是单调的，一次周期的值点会重复出现。
而函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，它仍然保持原有形状，定义域和值域也是单调的，一次周期的值点也会重复出现。
对称性与周期性的关系
由题意知：f(a-x)=-f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在〔1〕式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x)
(3)
在〔2〕式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)
由〔3〕、〔4〕知：-f(2a+x)=-f(2b+x)
通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的 关系了吗？ 一个函数如果具备两种对称性，那么这个函数一定 是一个周期函数。
1、函数f(x)图象关于x=a和x=b对称(a<b),那么f(x) 的周期为2(b-a)
2、函数f(x)图象关于(a,0)和(b,0)对称(a<b),那么 f(x)的周期为2(b-a) 3、函数f(x)图象关于x=a和(b,0)对称(a<b),那么f(x) 的周期为4(b-a)
(3)
在〔2〕式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)
由〔3〕、〔4〕知：f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)
在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得： f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x) 所以f(x)的周期为T=4b-4a.
(1)
f(b-x)=f(b+x)
(2)
在〔1〕式中令x=x+a得f(-x=x+b得f(-x)=f(2b+x)
周期性与对称性
函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一局部在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的周期性与对称性-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)
函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数） （1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的对称性与周期性
在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已 知 函 数
f
(x)
| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函 数 y f (x) 满 足 f (x) f (4 x) ， 当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ， 求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一 般 地 , 若 函 数 y f (x) 满 足 f (a x) f (b x) c , 则 函 数 的 图 象 关 于 点 ( a b , c ) 对称.
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由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)
在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得： f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x) 所以f(x)的周期为T=4b-4a.
通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的 关系了吗？ 一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是 一个周期函数。
1、函数f(x)图象关于x=a和x=b对称(a<b),则f(x)的 周期为2(b-a)
2、函数f(x)图象关于(a,0)和(b,0)对称(a<b),则f(x) 的周期为2(b-a) 3、函数f(x)图象关于x=a和(b,0)对称(a<b),则f(x) 的周期为4(b-a)
函数对称性与周期性的联系
高三数学组
张文根
很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉 函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发 现函数的隐含性质。
如：一个函数如果具备两种对称性， 则这个函数一定是一个周期函数
两对称轴型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和x=b轴对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由（3）、（4）知：-f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
一对称轴一对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
两对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于(a,0)和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=-f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)